成都田中高2011级高三上期第一次月考理

数学试题（理科）

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1.已知集合A{xx12},B{xlog2x2}，则AB（ ）

A．(1,3) B．(0,4) C .(0,3) D．(1,4)

i32.复数z在复平面内对应的点位于（ ）

1iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．log2100+log125的值是（ ）

2A． 0 B． 1 C． 2 D．3 4.在△ABC中，“A300”是“sinA1”的（ ） 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5. 命题“xR.，都有ln(x2+1)>0”的否定为（ ） A xR，都有ln(x2 +1)≤0 C xR，都有ln(x2+l)<0

B x0R，使得ln(x02+1)>0 D x0R，使得ln(x02+1)≤0

6．已知m，n是两条不同直线，,是两个不同平面，给出四个命题： ①若m,n,nm，则 ②若m,m，则// ③若m,n,mn，则 ④若m//,n//m//n，则// 其中正确的命题是（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则该几何体的体积为（ ）

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(A) 1 (B)323 (C) 3 (D) 338．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）种

9．函数f(x)ax2bx(a0,b0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2，则最小值是（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 32 10．定义域为R的偶函数f(x)满足对xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

x[2,3] 时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(|x|1)在(0,)上至

8ab的ab少有三个零点，则a的取值范围是（ ） A．(0,2356) B．(0,) C．(0,) D．(0,) 2356第II卷(非选择题，共1OO分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

423411．若(12x)a0a1xa2xa3xa4x,则a1a2a3a4 12．在区间1,2上任意取一个数x，则x0,1的概率为 。 13．向量a，b的夹角为

4，且|a|=2，|b|=1，则向量a在b方向上的投影为

14．某算法的程序框图如图所示，执行该算法后输出的结果i 的值为

15．定义在R上的函数f(x),如果存在函数g(x)kxb(k,b为常数),使得

f(x)g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个“承托函

数”.现有如下命题：

①g(x)2x为函数f(x)2x的一个承托函数；

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②若g(x)kx1为函数f(x)xlnx的一个承托函数，则实数k的取值 范围是[1,)；

③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数；

④对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个； 其中正确的命题是 ；

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。 已知

cos2A3cosBC1.

（I）求角A的大小；

（II）若ABC的面积S53，b5，求sinBsinC的值.

17．（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列bn的首项为1，bn1bn20． (1)求a1和a2的值；

(2)求数列an，bn的通项an和bn；

(3)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn。

18．（本题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1. （Ⅰ）求证：AF平面CBF； （Ⅱ）求三棱锥COEF的体积； （III）求二面角的EBCF大小.

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C D B E

AF

19．（本小题满分12分）为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为每个男生通过的概率均为

3，48。 152。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行3测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。

20．（本小题满分13分）设m是实数，记M{m|m1}，

f(x)log3(x24mx4m2m1) m1(1)证明：当mM时，f(x)对所有实数都有意义； (2)当mM时，求函数f(x)的最小值；

(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1.

21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0.

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（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x[0,),有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明i1n2ln(2n1)2（nN*）. 2i1高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

成都田中高2011级高三上期第一次月考

数学试题（理科）

一、选择题（510分=50分） 题号 1 答案 Ｃ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ 二、填空题（55分=25分）

11 ０ ； 12 １／３ ； 13 根号２ ；

14 ６ ； 15 ４ ；

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

cos2A3cosBC1C对应的边分别是a，b，c。B，16在ABC中，角A，已知. （I）求角A的大小；

（II）若ABC的面积S53，b5，求sinBsinC的值. 解：（I）由已知条件得：cos2A3cosA1 „„ 2分

2cos2A3cosA20，„„ 4分

解得

cosA12，角A60 „„ 6分

（II）

S1bcsinA53c4，„„ 8分 22由余弦定理得：a21，

2R2a228sin2A „„ 10分

sinBsinCbc54R27. „„ 12分

17已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列bn的首项

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为1，

bn1bn20． (1)求a1和a2的值；

(2)求数列an，bn的通项an和bn；

(3)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn。

18.（本题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1. （Ⅰ）求证：AF平面CBF； （Ⅱ）求三棱锥COEF的体积； （III）求二面角的EBCF大小.

18．（Ⅰ）证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB, 平面ABCDI平面ABEFAB，

CB平面ABEF，

A

C D B E

OF ∵AF在平面ABEF内，∴AFCB， …………… 3分 又AB为圆O的直径，∴AFBF，

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∴AF平面CBF. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由（1）知CB面ABEF即CB面OEF， ∴三棱锥COEF的高是CB， ∴CBAD1,……… 8分

连结OE、OF，可知OEOFEF1 ∴OEF为正三角形，∴正OEF的高是3，………10分 211133∴VCOEFCBSOEF1，……10分 1332212（III）求二面角的EBCF大小为300.

19. 为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为每个男生通过的概率均为

3，48。 152。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行3测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。

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20

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21已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x[0,),有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明i1n2ln(2n1)2（nN*）. 2i1【答案】

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1)f(x)=x-ln(x+a)的最小值是0,其中a>0， f'(x)=1-1/(x+a)=(x+a-1)/(x+a), f'(1-a)=0,故f(x)|min=f(1-a)=1-a=0,a=1.

2）x>=0时f(x)=x-ln(x+1）<=kx^2, x=0时不等式成立；x>0时 k>=[x-ln(x+1)]/x^2,记为g(x), g'(x)=[1-1/(x+1)]/x^2-2[x-ln(x+1)]/x^3 =[-x^2-2x+2(x+1)ln(x+1)]/[(x+1)x^3], 设h(x)=-x^2-2x+2(x+1)ln(x+1),则 h'(x)=-2x-2+2[ln(x+1)+1] =-2x+2ln(x+1), h''(x)=-2+2/(x+1)<0, ∴h'(x)↓，h'(x)g(0+)→[1-1/(x+1)]/(2x) →1/[2(x+1)] →1/2， ∴k>=1/2.

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