1.平行四边形及其性质
例1如图，O是卜二・ABCD对角线的交点.△ OBC的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .
根据平行四边形对角线互相平先 所OC =
分析:
1
AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知 AD=BC，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC与厶OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB，进而可得」ABCD的周长.
解 EBCD中0A二= OB = OD = |ED （平行四边形的
对角线互相平分）
•••△ OBC 的周长=0B + 0C + EC
=19 + 12 + BC=59 ••• BC=28 —ABCD 中，
• BC=AD(平行四边形对边相等) • AD=28
△ OBC的周长-△ OAB的周长 =(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB) =BC-AB=15 • AB=13
•••二ABCD的周长 =AB + BC + CD + AD =2(AB + BC) =2(13 + 28) =82
说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符
号语言表示出来后，便容易发现其实质，即 BC与AB之差是15 .
例2判断题
(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. (2) 平行四边形的两角相等.() (3) 平行四边形的两条对角线相等.( (4) 平行四边形的两条对角线互相平分.
) (
) ()
(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫 做两条平行线的距离.(
)
(6) 平行四边形的邻角互补.( )
分析：根据平行四边形的定义和性质判断. 解： (1) 错
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不 是两条对边.如图四边形 ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形
ABCD 不是平行四边形．
(2) 错
平行四边形的性定理 1，“平行四边形的对角相等． ”对角是指四 边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．
(3) 错
平行四边形的性质定理 3，“平行四边形的对角线互相平分． ”一 般地不相等． (矩形的两条对角线相等 )．
(4) 对
根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的． (5) 错
线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两 条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做 这两条平行线的距离．
(6) 对
由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可 知．平行四边形的邻角互补．
例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且 AE=CF .求证：ED // BF .
分析：欲址 DE // BF，只需/ DEC二 / AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.
证明：
vAE=CF
AE+EF二CF+EF ••• AF=CE 在二ABCD中
AB // CD（平行四边形的对边平行） • / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等） AB=CD（平行四边形的对边也相等） •••△ ABF刍乂 CDE（SAS） •••/ AFB= / DCE
• ED // BF（内错角相等两直线平行）
说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处 理.
例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .
分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形 定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB
（或
DM // AC）,得至U DE=BH、只需证 HC=FG ,因 AF=BD=EH , / CEH=
/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.
分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG
CKE .
过E作EH // AB交于H
v DE // BC
•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义） ••• DB=EH
DE=BH（平行四边形对边也相等） 又 BD=AF
• AF=EH
v BC // FG
AGF= / C（两直线平行同位角相等） 同理 / A= / CEH • △ AFG EHC(AAS) ••• FG=HC
••• BC二BH+HC二DE二FG
.过C作CK // AB交DE的延长线于K.
v DE // BC
•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义） • CK=BD DK=BC
（平行四边形对边相等） 又 BD=AF • AF=CK
v CK // AB
• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）
v BC // FG
•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等） 又/ CEK二/ AED（对顶角相等） •••/ AGF= / CEK
•••△ AFG S' CKE（AAS） FG=EK DE+EK=BC • DE+FG=BC
例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在 CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.
u --- ---------- r
分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°
进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.
解：在二ABCD 中，AD // BC
•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补） vZ ABC=3 / A •••/ A=45 ,Z ABC=135
•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）
• EF 丄 CD
• Z F=45° （直角三角形两锐角互余） • EF=CE=1
在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）
vAD=BC=1
二BF = CF”EC = Q[
例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , AB长为6cm，求一 ABCD的面积.
Z CAB=30 ,
解： 过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)
vZ CAB=30
-■.CH 二丄 = 1 X10=5
2 2
••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2) 答：二ABCD的面积为30cm2 .
说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点 D的高，故选择 过点C作高.
例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //
求证：S△ ACE二S △ ABF
分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等 底同高的三角形.
证明：将EF向两边延长分别交 AD、AB的延长线于G、二 ABCD DE // AB
•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等） / GDE= / DAB（同上） AD // BC
•••/ DAB= / FBH（同上） :丄 GDE= / FBH
v DE // BH , DB // EH
•四边形BHED是平行四边形
VDE二BH（平行四边形对边相等）
H.GDE 刍乂 FBH（ASA）
••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等） .GE=FH（全等三角形对应边相等）
.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等） .S △ ADE = S △ ABF
说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即 对应的高，为了区别，可以把高记成 ha，表明它所对应的底是a.
例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .
分析EF二DE （目标）
十
BEDP 为口 DF\"d叫西
3 ] r
1=Z 3 Z 1=Z 2 f t
\"S亠彩姑皤彩B
口 ABCD
证明：
T四边形ABCD是平行四边形
二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相 等）
•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）
而Z] = ^ZADC, Z2=|ZABC
•••/ 2= / 3
• DF // BE（同位角相等两条直线平行） •四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义） • BF=DE .（平行四边形的对边相等） 说明：此例也可通过△ ADF
CBE来证明，但不如上面的方
法简捷.
例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .
分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, EG=EC ,从而得出结论.
过E点作EG // BC交AB于G点.
可得v EF // AB
••• EG=BF
v CD为Rt△ ABC斜边AB上的高
• / BAC + / B=90° .Z BAC + / ACD = 90° • / B= Z ACD
•Z ACD=Z EGA v AE 平分Z BAC •Z 1= Z 2
又 AE=AE
• △ AGE ACE(AAS) • CE=EG • CE=BF . 说明：
(1)在上述证法中， “平移”起着把条件集中的作用. AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)
本题也可(2) 以设法平移例10如图，已知I — ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于 E, AF 丄DC 于 F，/ EAF=2 / C,求 AE 和 AF 的长.
分析： 从化简条件开始
①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边口虹CD 的周长=321 fAB=10 AB : BC-5 : 3 p |BC=6
②/ EAF=2 / C告诉我们什么？
AF i FC1 ZFAE^ZC=180°]
o
AE 1 EAF-2 Z C j討 c=6
°
这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的 直角三角形.
长.
于是有 = = = 3
再由勾股定理求出
解：——ABCD的周长为32cm 即 AB+BC+CD+DA=32
v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）
/.AB + BC = - X32 = 16 2
又 AB : BC=5 : 3
5+3 BC= —5+3X3 = 6
/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于v AE 丄 BC / AEC=90
AF 丄 DC / AFC=90 •••/ EAF+ / C=180 / EAF=2 / C
360°
T AB // CD(平行四边形的对边平行)
•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等) 同理/ ADF=60
SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5
£—■
Al = ja =E^ = 5^3 (cm)
在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |BC = 3
■f-j
d—i
AF - 7AD3 -I>Fa = M Ccm)
说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就 从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题 策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.
2 .平行四边形的判定
例1填空题
(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则 四边形AEFD是—，理由是
（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—
分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条 件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得 AD平 行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由 判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边 形ADCF是平行四边形，从而得 AD // CF即BD // CF，再由条件， 可得四边形BCFD是平行四边形.
解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形
（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行 四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.
例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB二 / CBD=90 .求 证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：
「（ 1）两组对边分别平存
（1）C I ）从边看从边看 —（2）两组对边分别相等
_（3）-组对边平行且相尊
（4）两组对角分别相等 平行四边
形 CIID从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 （II）从角看
的四边形绘
因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法. 证法一:
v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .
••• Rt△ ABD 坐 Rt△ CDB .
•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.
• / ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB 即 / ABC= / CDA .
•四边形 ABCD 是平行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 ）．
证法二：
vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .
• Rt△ ABD 坐 Rt△ CDB .
•Z ABD=Z CDB．
• AB //CD.（内错角相等两直线平行）
•四边形 ABCD 是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形 ）．
证法三：
由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .
••• DA=BC 又 T AB二CD
•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平 行四边形）
说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路， 我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种 证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.
例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.
分析：只须证明EGFH为平行四边形.
证明： 连结 EG 、GF、FH 、HE．
T四边形ABCD是平行四边形
•••/ A= / C, AD=CB .
T BG=DH
• AH=CG 又 AE=CF
• △ AEH CFG（SAS） • HE=GF 同理可得 EG=FH
•四边形 EGFH 是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 ）
• EF 与 GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分 ）． 说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和 角问题基本方法．
例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F. 求证：四边形AECF是平行四边形.
分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF ••• AE= CF
进而可得四边形AECF是平行四边形. 证明：口ABCD中，AB屯CD
（平行四边形的对边平行，对边相等） • / ABD= / CDB（两直线平行内错角相等） AE 丄 BD、CF 丄 BD
• AE // CF / AEB= / CFD=90 • △ ABE CDF（AAS） • AE=CF
•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形）
说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是 平行四边形的一个判定方法.
例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H
求证：EF与GH互相平分
分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四 边形，利用已知条件可知四边形 AFCE、四边形EBFD都为平行四 边形，所以可得 AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四 边形.
证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）
v AE=CF /. DE=BF
T四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且
相等的四边形是平形四边形）
二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）
•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平 行四边形）
••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行 四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、 直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件， 以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用 平行四边形的性质加以证明.
例6如图，已知 —ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、 H在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄 HF
分析：证EF、GH互相平分二GEHF为平行四边形.
证明:
连 BG、DH、GF、EH
T ABCD为平行四边形.
••• AD 垒 BC 又 AG=HC • DG 丄 BH
•四边形BGDH为平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
• HO = GO , DO=BO（平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF • OE=OF
•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行 四边形）
••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）
说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线 互相平分来证明
例7如图，—— ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、 H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.
分析： 连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边
证法一:
连结 EH , HF、FG、GE
v AE丄BD , G是AD中点.
-■.GE = CJD =^AD
2
/ GED二 / GDE 同理可得
HF = HB = ^EC, ZHFE = ZHEF
V四边形ABCD是平行四边形
••• AD 岂 BC,/ GDE= / HBF ••• GE=HF，/ GED= / HFB • GE // HF
•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是）
• EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分） 证法二：
容易证明厶ABE CDF
平 行四边形
• BE=DF
T四边形ABCD为平行四边形
••• AD 些 BC
T G、H
分别为AD、BC的中点
• DG 丄 BH
•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形）
• BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分） • OG=OH , OB=OD 又 BE=DF • OE=OF
• EF和GH互相平分.
例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二
/ a, AB=a , BC=b ,
分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两 组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四 边形可作出.
作法:
(1) 作/ EBF二 / a,
⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,
⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点 D, 二四边形ABCD为所求. *证明：
由作法可知AB=CD = a BC=AD=b
二四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)
且/ ABC二 / a, AB=a , BC=b
- ABCD为所求 说明：
常见的平行四边形作图有以下几种： (1) 已知两邻边(AB、BC)和夹角(/ B). (2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).
(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).
⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一对角线(BD，且BD > CD)
求作平行四边形(如图)
条
完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完 成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问 题的思想方法.
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