加查县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

加查县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}

2． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A． B．（4+π） C． D．

3． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

4． 下列命题中的假命题是（ ） A．∀x∈R，2x﹣1＞0

B．∃x∈R，lgx＜1

C．∀x∈N+，（x﹣1）2＞0 D．∃x∈R，tanx=2

5． 已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6． 已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A．0

B．

C．

D．

7． 关于函数f(x)2lnx，下列说法错误的是（ ） x（A）x2是f(x)的极小值点

（ B ） 函数yf(x)x有且只有1个零点 （C）存在正实数k，使得f(x)kx恒成立

（D）对任意两个正实数x1,x2，且x2x1，若f(x1)f(x2)，则x1x24

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8． 如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论：① BD//平面CB1D1；② AC1BD；③ AC1平面CB1D1.其中正确结论的个数是（ ）

A． B． C． D．

9． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）

A．24 B．80 C．64 D．240

12i(i是虚数单位）的虚部为（ ） iA．-1 B．i C．2i D．2

10．复数z【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．m⊂α，n∥m⇒n∥α

B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α

C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β

12．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前28项之和S28=（ ） A．7

B．14

2

C．28 D．56

二、填空题

13．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 14．在（2x+

6

）的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．

15．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ． 16．对于集合M，定义函数

对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|fA（x）fB（x）

=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为 ．

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17．在区间[﹣2，3]上任取一个数a，则函数f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值的概率为 ．

18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

三、解答题

19．f(x)sin2x3sin2x. 2A2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

20．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|． （Ⅰ）求函数f（x）的最小值m； （Ⅱ）若正实数a，b足+=

，求证：

+

≥m．

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21．已知函数f(x)(xk)ex（kR）． （1）求f(x)的单调区间和极值； （2）求f(x)在x1,2上的最小值．

（3）设g(x)f(x)f'(x)，若对k,及x0,1有g(x)恒成立，求实数的取值范围．

22

22．设函数

．

35（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．

2

（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx有唯一零点，求正数λ的值．

23．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

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（ I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；

（ II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

24．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.

（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.

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加查县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．

2． 【答案】 D

【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形， 四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D．

【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．

3． 【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

4． 【答案】C

【解析】解：A．∀x∈R，2

x﹣1

=

=，

=

，

0正确；

B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确； C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确； D．存在x∈R，tanx=2成立，正确． 综上可知：只有C错误． 故选：C．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．

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5． 【答案】A 【解析】解：

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

故选：A．

6． 【答案】D

22

【解析】解：抛物线y=4x的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y=4x的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1，直线的斜率为﹣1， 该直线的倾斜角为：故选：D．

【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

7． 【答案】 C

【解析】

．

21x22，f'(2)0，且当0x2时，f'(x)0，函数递减，当x2时，f'(x)0，2xxx17(x)22124，函数递增，因此x2是f(x)的极小值点，A正确；g(x)f(x)x，g'(x)21xxx2112所以当x0时，g'(x)0恒成立，即g(x)单调递减，又g()2e10，g(e2)22e20，

eeef(x)2lnx2所以g(x)有零点且只有一个零点，B正确；设h(x)，易知当x2时，xxx2lnx2111222f(x)h(x)22，对任意的正实数k，显然当x时，k，即k，

xxxxxxxkxxf(x)kx，所以f(x)kx不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草f'(x)第 8 页，共 17 页

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图

8． 【答案】D 【解析】

可看出（0，2）的时候递减的更快，所以x1x24

考

点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直. 9． 【答案】B 【解析】 试题分析：V168580,故选B. 3考点：1.三视图；2.几何体的体积. 10．【答案】A 【解析】z12i12i(i)2i，所以虚部为-1，故选A. ii(i)11．【答案】D

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【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误； 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误； 在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；

在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确． 故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

12．【答案】C

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．

=14（a6+a23）=28．

∴函数f（x）关于直线x=1对称， ∴a6+a23=2．

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

则{an}的前28项之和S28=故选：C． 属于中档题．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，

二、填空题

13．【答案】【

2 3解

析

】

14．【答案】 240

【解析】解：由（2x+

6

），得

=

由6﹣3r=0，得r=2．

．

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∴常数项等于．

故答案为：240．

15．【答案】 ﹣2 ．

【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数， 得

故答案为：﹣2．

16．【答案】 {1，6，10，12} ．

【解析】解：要使fA（x）fB（x）=﹣1， 必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A} ={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}， 所以A△B={1，6，10，12}． 故答案为{1，6，10，12}．

，解得：a=﹣2．

【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题． 17．【答案】

．

【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a， 则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，

32

若f（x）=x﹣ax+（a+2）x有极值，

2

则f'（x）=x﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，

即判别式△=4a﹣4（a+2）＞0，

2

解得a＞2或a＜﹣1， ∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，

则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2， ∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=， 故答案为：

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【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．

18．【答案】 3+

．

【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即

个，

个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第3+即为3+故答案为：3+

．

．

三、解答题

19．【答案】（1）k【解析】

试题分析：（1）根据2k得A3,k5（k）；（2）23. 622x62k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由2Af1可23，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

1131cos2xsin2xsin(2x)， 2226235令2k2x2k，解得kxk，kZ，

262365]（kZ）. ∴f(x)的单调递减区间为[k,k36试题解析:（1）f(x)第 12 页，共 17 页

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考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 20．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分） （Ⅱ）证明：∵（∴（∴

++

）×≥（

+

）[

]≥（

2

）=3，

2），

≥2．…（7分）

【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

21．【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k1,)，单调递减区间为(,k1)，

f(x)极小值f(k1)ek1，无极大值；（2）k2时f(x)最小值f(1)(1k)e，2k3时f(x)最小值f(k1)ek1，k3时，f(x)最小值f(2)(2k)e2；（3）2e.

【解析】

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（2）当k11，即k2时，f(x)在1,2上递增，∴f(x)最小值f(1)(1k)e； 当k12，即k3时，f(x)在1,2上递减，∴f(x)最小值f(2)(2k)e2； 当1k12，即2k3时，f(x)在1,k1上递减，在k1,2上递增， ∴f(x)最小值f(k1)ek1．

（3）g(x)(2x2k1)ex，∴g'(x)(2x2k3)ex， 由g'(x)0，得xk当xk

3， 23时，g'(x)0； 23当xk时，g'(x)0，

233∴g(x)在(,k)上递减，在(k,)递增，

223k3故g(x)最小值g(k)2e2，

23k3335又∵k,，∴k0,1，∴当x0,1时，g(x)最小值g(k)2e2，

2222∴g(x)对x0,1恒成立等价于g(x)最小值2e又g(x)最小值2e∴(2ek32k32；

k3235对k,恒成立．

22)mink，故2e．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想

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之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴

①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减． 所以x=1是f（x）的极大值点．… ②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=因为x=1是f（x）的极大值点，所以综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…

2

（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx有唯一零点，

，由f'（1）=0，得b=1﹣a．

．…

．

＞1，解得﹣1＜a＜0．

即λx﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，

2

2

设g（x）=λx﹣lnx﹣x，

则2

．令g'（x）=0，2λx﹣x﹣1=0．

因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0， 方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0． 因为x＞0，所以x1应舍去．

当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增． 当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．… 因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0， 则

即

因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*） 设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时， h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解． 因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，

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代入方程组解得λ=1．…

【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

23．【答案】

【解析】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．

由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

，

，

，

．

所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．

．

所以随机变量ξ的分布列为： 0 ξ P 1 ．

2 3

24．【答案】（1）【解析】

233小时；（2）． 314试

题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t. 由余弦定理得：BCABAC2ABACcosBAC， 所以(21t)10(9t)2109t()，

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25或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.

322（2）由AC96，BC2114.

332化简得36t9t100，解得t在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．

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