2020年高考理科数学全国卷3

2020年高考理科数学

全国卷3

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为

A. 2

D. 6

B. 3

C. 4

2. 复数

1的虚部是 13i3A. 

10B. 1 10 C.

1 104 D.

3 103. 在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，则下面四种情

i1形 中，对应样本的标准差最大的一组是 A. p1p40.1，p2p30.4 C. p1p40.2，p2p30.3

B. p1p40.4，p2p30.1 D. p1p40.3，p2p30.2

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区

K 新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)，其中K为

1e0.23(t53)最

大确诊病例数。当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln193） A. 60

B. 63

C. 66

D. 69

5. 设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线C:y22px(p0)交于D、E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为

1A. (,0)

41B. (,0)

2 C. (1,0) D. (2,0)

6. 已知向量a、b满足|a|5，|b|1，ab6，则cosa,ab

A. 31 35 B. 19 35 C.

17 35 D.

19 3527. 在ABC中，cosC，AC4，BC3，则cosB

311A. B. 938. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

C.

1 2

2D. 3A. 642 B. 442 C. 623

2

D. 423

9. 已知2tantan()7，则tan

4A. -2 B. -1 C. 1 2

110. 若直线l与曲线yx和圆x2y2都相切，则l的方程为

511A. y2x1 B. y2x C. yx1

22 D.

D. y11x 22x2y211. 设双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为5。P是C上一

ab点， 且F1PF2P。若PF1F2的面积为4，则a =

A. 1

D. 8

B. 2

C. 4

12. 已知5584，13485。设alog53，blog85，clog138，则 A. abc B. bac cab

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

C. bca

D.

xy0,13. 若x、y满足约束条件2xy0,则z3x2y的最大值为____________。

x1,214. (x2)6的展开式中常数项是____________（用数字作答）。

x15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________。

116. 关于函数f(x)sinx有如下四个命题：

sinx①f(x)的图像关于y轴对称。 ②f(x)的图像关于原点对称。 ③f(x)的图像关于直线x④f(x)的最小值为2。

其中所有真命题的序号是________________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （12分）

设数列{an}满足a13，an13an4n。

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

2对称。

3

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn。

18. （12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） [0,200] 2 5 6 7 (200,400] 16 10 7 2 (400,600] 25 12 8 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好 空气质量不好 n(adbc)2附：K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2人次 ≤ 400 人次 > 400

19. （12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1 上，且2DE = ED1，BF = 2FB1。

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB = 2，AD = 1，AA1 = 3，求二面角A—EF—A1的正弦值。

4

20. （12分）

x2y215已知椭圆C:21(0m5)的离心率为，A、B分别为C的左、右顶点。

425m（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求APQ的面积。

21. （12分）

11设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点(,f())处的切线与y轴垂直。

22（1）求b；

（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。

22. [选修44：坐标系与参数方程]（10分）

2x2tt,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于2y23tt,A、B两点。

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。

23. [选修45：不等式选讲]（10分）

5

设a,b,cR，abc0，abc1。 （1）证明：abbcca0；

（2）用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}34。

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