教育最新K122018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数

§2.3 幂函数

学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝1

x2，y＝x3，y＝，y＝x2 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂

x的大小(重点)．

预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x5是幂函数．( )

－

1

4

(2)函数y＝2

－x

是幂函数．( )

1(3)函数y＝－x2 是幂函数．( )

4

提示 (1)√ 函数y＝x5 符合幂函数的定义，所以是幂函数；

－

(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；

1

(3)× 幂函数中x的系数必须为1，所以y＝－x2 不是幂函数．

α

知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：

(2)幂函数的性质： 幂函数 y＝x y＝x2 R [0，＋∞) y＝x3 R R 1y＝x2 y＝x1 －定义域 值域 R R [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 小学+初中+高中

小学+初中+高中

奇偶性 单调性 公共点 【预习评价】 5

(1)设函数f(x)＝x3 ，则f(x)是( )

奇 增 偶 x∈[0，＋∞)，增 x∈(－∞，0]，减 奇 增 非奇非偶 增 奇 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减 都经过点(1,1) A．奇函数 B．偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________．

解析 (1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．

1－

(2)易知f(x)＝x3＝3在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f(3.17)>f(3.71)，即3.17

x

－3

>3.713.

－

答案 (1)A (2)3.173>3.713

－

－

题型一 幂函数的概念

【例1】 (1)在函数y＝x2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )

－

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.

解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．

(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1

规律方法 判断函数为幂函数的方法

(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．

(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，

小学+初中+高中

小学+初中+高中

y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．

1

【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f2的值等于________． 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23， 111∴f＝log3＝. 2223答案

1

3

题型二 幂函数的图象及应用

1

【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±2四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )

11

A．－2，－，，2

2211C．－，－2,2，

22

11

B．2，，－，－2

2211

D．2，，－2，－

22

1

－2，－分别在幂函数f(x)，(2)点(2，2)与点g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：2①f(x)>g(x)；

②f(x)＝g(x)；③f(x)(1)解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增1速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝

21

－，曲线C4的n＝－2，故选B． 2

答案 B

1

(2)解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)

2＝x1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：

－

小学+初中+高中

小学+初中+高中

①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x

－1

1或y＝x2 或y＝x3)来判断．

mn

【训练2】 如图是函数y＝x (m，n∈N*，m，n互质)的图象，则( )

m

A．m，n是奇数，且<1 nm

B．m是偶数，n是奇数，且n>1 m

C．m是偶数，n是奇数，且n<1 m

D．m是奇数，n是偶数，且n>1 解析 由图象可知y＝x 是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当m

x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在y＝x的图象下方，故n<1. 答案 C

典例迁移 题型三 利用幂函数的性质比较大小 mn

mn

【例3】 比较下列各组数中两个数的大小： 小学+初中+高中

小学+初中+高中

20.310.3－2－1与－3－1. (1)与；(2)5335解 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 20.310.321

又>，所以5>3. 53

(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 2323

－－1>－－1. 又－<－，所以3535

20.31－0.3

【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“5与3”，则二者的大小关系如何？

1－0.30.30.3解 因为＝3，而y＝x在(0，＋∞)上是单调递增的， 320.30.320.31－0.32

又<3，所以5<3.即5<3. 5

20.3

5【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“5与0.3 ”，则二者的大小关系如何？

2x220.3>25 ，又因为函数y2

解 因为y1＝在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<，所以5555

2222

2220.3＝x5 在(0，＋∞)上为增函数，且>0.3，所以5 >0.35 ，所以>0.35 .

2

25

55规律方法 比较幂值大小的三种基本方法

【训练3】 比较下列各组数的大小： 20.530.533

(1)3与5；(2)－3.14与－π； 1432(3)2 与4 .

23解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，

3520.530.5∴3＞5. 小学+初中+高中

3

1

小学+初中+高中

(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.

1x14 ＜12 . (3)∵y＝是R上的减函数，∴2221

y＝x是[0，＋∞)上的增函数，

23212 .∴32 ＞14 . ∴ ＞4242

课堂达标

14，，则f(2)＝( ) 1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点21

A．

4

B．4

α

3

1

111

3

C．

2

2

D．2

1

111－2α4，，解析 设幂函数为y＝x，∵幂函数的图象经过点∴＝4，∴α＝－，∴y＝x ，222

1

2

∴f(2)＝22 ＝，故选C．

－

2

答案 C

2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )

11

－

A．y＝x3 B．y＝x2

5

C．y＝x3

2

D．y＝x3

解析 A中定义域值域都是R；B中定义域值域都是(0，＋∞)；C中定义域值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．

答案 D

1

3．设a∈－1，1，2，3，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )





A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

解析 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的1

定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x2 的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当

2a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A．

答案 A

1

小学+初中+高中

小学+初中+高中

1

4．函数y＝x3 的图象是( )

1

解析 显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数．同时由当0x，1

当x>1时，x3 答案 B

5．比较下列各组数的大小：

772212π－－－

(1)－88 与－8 ；(2)－3 与－3 .

936

77777

11111－

解 (1)－88 ＝－8 ，函数y＝x8 在(0，＋∞)上为增函数，又>，则8 >8 .

8

8977

1－

从而－88 <－8 .

9

224ππ

－ －3 ＝－3 ＝－3 ，－－3 ＝－3 .因为函数y＝x－3 在(0，＋∞)上为减(2)33666函数，

2π4π

－－3 <－－3 . 又>，所以3666

课堂小结

1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．

2．幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

3．简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．

2

2

222222

小学+初中+高中