高中数学基础知识大全(全国新课标版)

高中数学基础知识大全（新课标版)

第一部分 集合

1。理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值?还是曲．．．．．线上的点?…

2 。数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数．．．．问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3。（1) 元素与集合的关系：xAxCUA,xCUAxA. （2)德摩根公式： CU(A(3）AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB。

BAABBABCUBCUAACUBCUABR

注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。 （4）集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个;真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；

n非空真子集有2–2个.

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一。

2．函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ；③判别式法 ;④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

ab⑥利用均值不等式 ab2a2b2； ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、 2x绝对值的意义等);⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等)；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题： (1）复合函数定义域求法：

① 若f（x）的定义域为[a,b],则复合函数f［g（x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ② 若f[g（x）］的定义域为［a,b]，求 f（x）的定义域,相当于x∈［a,b]时，求g（x）的值域。 （2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域(最值）、单调性、图象等问题，先分段解决,再下结论。 5．函数的奇偶性：

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 ．．．．

⑵f(x)是奇函数f(x)f(x);f(x)是偶函数f(x)f(x)。 ⑶奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)0

第 1 页

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2);

⑵单调性的判定：①定义法:一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号;②复合函数法③图像法

注：证明单调性主要用定义法。 7．函数的周期性：

（1)周期性的定义：对定义域内的任意x,若有f(xT)f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①ysinx:T2 ；②ycosx:T2 ；③ytanx:T; ④yAsin(x),yAcos(x):T（3）与周期有关的结论：

2 ；⑤ytanx:T

||||f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：ya(a0,a1)；⑵对数函数:ylogax(a0,a1)； ⑶幂函数：yx （R) ；⑷正弦函数:ysinx;⑸余弦函数:ycosx ； （6)正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0（a≠0)；⑻其它常用函数: ① 正比例函数：ykx(k0)；②反比例函数：ymnnmx2ka(k0)；③函数yx(a0) xx㈡.⑴分数指数幂：aa；amn1amn（以上a0,m,nN，且n1)。

b⑵。①aNlogaNb； ②logaMNlogaMlogaN；

③logaMnlogaMlogaN； ④logambnlogab。 NmlogmNlogN。对数恒等式：aaN。

logma⑶。对数的换底公式：logaN9．二次函数：

⑴解析式：①一般式:f(x)axbxc；②顶点式:f(x)a(xh)k,(h,k)为顶点;

第 2 页

22

③零点式：f(x)a(xx1)(xx2) （a≠0)。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向;②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

b4acb2b二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x,顶点坐标是2a，4a. 2a210．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ）yf(x)yf(xa)，(a0)—-—左“+”右“－”； ⅱ）yf(x)yf(x)k,(k0) ———上“+”下“－”； ② 对称变换：ⅰ)yf(x)yf(x)；ⅱ）yf(x)yf(x)；

ⅲ） yf(x)yf(x)； ⅳ)yf(x)xf(y);

③ 翻折变换:

ⅰ)yf(x)yf(|x|)——-(去左翻右）y轴右不动，右向左翻(f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱ）yf(x)y|f(x)|—-—(留上翻下）x轴上不动，下向上翻（｜f(x)｜在x下面无图象）； 12．函数零点的求法:

⑴直接法(求f(x)0的根）;⑵图象法;⑶二分法。

（4）零点定理：若y=f（x)在［a,b］上满足f(a）·f(b）〈0 ， 则y=f（x）在(a，b）内至少有一个零点。

x0yx(0,0)y0第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1⑵弧长公式:lR;扇形面积公式：S180弧度,1弧度(180)5718'

11lRR2。 222．三角函数定义：角终边上任一点（非原点)P(x,y)，设|OP|r 则:siny,cosx,tany

rrx3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切,四余弦；（简记为“全s t c”) 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限\" 5．⑴yAsin(x) 对称轴:令xk2,得x; 对称中心:(k,0)(kZ)； kx) 对称轴：令xk，得x⑵yAcos(k2;对称中心：(,0)(kZ)；

⑶周期公式:①函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期T2 (A、ω、为常数，

第 3 页

且A≠0）.②函数yAtanx的周期T （A、ω、为常数，且A≠0）。 6．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;7．三角函数的单调区间及对称性: ⑴ysinx的单调递增区间为2ksinxtanx cosx2,2kkZ,单调递减区间为 232k,2kkZ,对称轴为xk(kZ)，对称中心为k,0(kZ)。 222⑵ycosx的单调递增区间为2k,2kkZ,单调递减区间为2k,2kkZ， 对称轴为xk(kZ),对称中心为k⑶ytanx的单调递增区间为k,0(kZ)。 22,kkkZ,0kZ。 ，对称中心为228．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；

tan()tantan.

1tantan2222②sin()sin()sinsin；cos()cos()cossin。 ③asinbcos=a2b2sin()（其中，辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限 决定,tanb ). a29．二倍角公式:①sin22sincos.(sincos)12sincos1sin2

②cos2cossin2cos112sin(升幂公式）。

2222cos210．正、余弦定理： ⑴正弦定理：

1cos21cos2(降幂公式）。 ,sin222abc2R (2R是ABC外接圆直径 ) sinAsinBsinC注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

③

abcabc. sinAsinBsinCsinAsinBsinC222b2c2a2⑵余弦定理:abc2bccosA等三个；cosA等三个。

2bc

第 4 页

11。几个公式:⑴三角形面积公式:①S111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）；②2221111SabsinCbcsinAcasinB。③SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2 2222⑵内切圆半径r=2SABC; 外接圆直径2R=

sinAabc

abc; sinBsinC第四部分 平面向量

1。平面上两点间的距离公式：dA,B(x2x1)(y2y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)。 2.向量的平行与垂直： 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2),且b0，则：

①a∥bb=λax1y2x2y10；

② ab （a0)a·b=0x1x2y1y20。 3。a·b=｜a|｜b｜cos〈a，b〉=x1x2+y1y2;

注：①｜a|cos〈a，b>叫做a在b方向上的投影;|b｜cos〈a,b〉叫做b在a方向上的投影；

②a·b的几何意义：a·b等于|a｜与｜b|在a方向上的投影｜b｜cos的乘积. 4。cos5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线OPxOAyOB且xy1。

第五部分 数列

1．定义:

(1)等差数列｛an｝an1and(d为常数,nN）anan1d(n2)2anan1an1(n2,nN*)anknbSnAn2Bn｛an}⑵等比数列

an12q(q0)anan-1an1(n2,nN) an

2．等差、等比数列性质:

等差数列 等比数列

n1通项公式 ana1(n1)d ana1q

第 5 页

前n项和 Snn(a1an)n(n1)nna1d 2.q1时，Sa1(1q)

n221qa1anq1qn—m

1.q1时，Snna1;性质 ①an=am+ （n－m）d， ①an=amq;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq

③Sk,S2kSk,S3kS2k,成AP ③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

m ④ak,akm,ak2m,成AP，d'md ④ak,akm,ak2m,成GP，q'q 3．常见数列通项的求法：

⑴定义法(利用AP，GP的定义）;⑵累加法(an1ancn型）;⑶公式法： S1 (n=1) an= Sn－Sn-1 (n≥2) an1cn型）⑷累乘法（；⑸待定系数法(an1kanb型）转化为an1xk(anx) an(6)间接法（例如：an1an4anan1114）；（7)(理科）数学归纳法. anan14．前n项和的求法:⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。 5．等差数列前n项和最值的求法：

an0an0 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 S或Sn最小值⑴n最大值an10an10 第六部分 不等式

aba2b21．均值不等式：ab(a,b0)

22ab2a2b2)(a,bR)。 注意：①一正二定三相等；②变形：ab(222．极值定理:已知x,y都是正数，则有：

(1)如果积xy是定值p，那么当xy时和xy有最小值2p; （2)如果和xy是定值s，那么当xy时积xy有最大值

212s. 43.解一元二次不等式axbxc0(或0)：若a0，则对于解集不是全集或空集时,对应的 解集为“大两边，小中间\".如:当x1x2,xx1xx20x1xx2;

xx1xx20xx2或xx1。

4。含有绝对值的不等式：当a0时，有：①xaxaaxa；

22 ②xaxaxa或xa。

22第 6 页

5*.分式不等式： (1）

fxfx0fxgx0； （2)0fxgx0； gxgx(3)

fxgx0fxgx0fxfx ； (4）。 00gx0gx0gxgxf(x)0f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0。

f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)6＊。指数不等式与对数不等式 （1）当a1时，af(x)ag(x)(2）当0a1时，af(x)ag(x)3．不等式的性质：

⑴abba；⑵ab,bcac;⑶abacbc；ab,cd

acbd；⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,cd0 acbd；⑸ab0anbn0(nN);⑹ab0nanb(nN)

第七部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AB； ⑵事件A与事件B相等：若AB,BA，则事件A与B相等，记作A=B;

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或AB）; ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB） ； ⑸事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB）,则事件A与互斥； ⑹对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件。 2．概率公式： ⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；

基本事件的总数⑶几何概型:P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积等） ；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

第八部分 统计与统计案例

1．抽样方法:

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量

第 7 页

为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样. 注：①每个个体被抽到的概率为

n； N②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法.

⑵系统抽样：当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样.

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本.

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数n N注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2．频率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图.⑵当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数,即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3．总体特征数的估计：

n⑴样本平均数x1(x1x2xn)1xi;

nni1n⑵样本方差S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]1(xix)2 ；

nni1n⑶样本标准差S1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]=1(xx)2

inni1

第九部分 算法初步

1．程序框图： ⑴图形符号：

① 终端框（起止框);② 输入、输出框; ③ 处理框(执行框)；④ 判断框；⑤ 流程线 ； ⑵程序框图分类：

①顺序结构： ②条件结构: ③循环结构： r =0？ 否 求n除以i的余数 输入n 是 n不是质数 n是质数 i=i+1 第 8 页

i=2 in或r=0? 否 是 注：循环结构分为:Ⅰ．当型（while型） —-先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型(until型)——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句:

⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容\"；表达式

赋值语句： 变量=表达式

⑵条件语

句：① ②

IF 条件THEN IF条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型： WHILE条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件

新课标数学部分公式及结论

n2.从集合Aa1,a2,a3,,an到集合Bb1,b2,b3,,bm的映射有m个。

3。函数的的单调性： (1)设x1,x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数。

x1x2（2）设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0, 则f(x)为减函数。

4*。函数yf(x)的图象的对称性:

第 9 页

①yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)； ②yf(x)的图象关于直线xab对称f(ax)f(bx)f(abx)f(x); 2③yf(x)的图象关于点(a,0)对称fxf2axfaxfax0，

yf(x)的图象关于点(a,b)对称fx2bf2axfaxfax2b.

6．奇偶函数的图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

nn17．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性：

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项）的系数全为零。 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项（即偶数项）的系数全为零。

8. 若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数yf(xa)b的图象； 9. 几个常见的函数方程:

（1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c. (2)指数函数f(x)a，f(xy)f(x)f(y),f(1)a0。

(3）对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1). （4）幂函数f(x)x，f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5）余弦函数f(x)cosx，正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，f（0）=1。 10*。几个函数方程的周期（约定a〉0） (1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a; （2）f(xa)f(x),或f(xa)则f(x)的周期T=2a;

11。①等差数列an的通项公式：ana1n1d，或anam(nm)dd②前n项和公式： sn'x11(f(x)0)，或f(xa)(f(x)0), f(x)f(x)anam。

nmn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n。 222212.设数列an是等差数列,S奇是奇数项的和，S偶是偶数项的和，Sn是前n项的和，则 ①前n项的和SnS奇S偶； ②当n为偶数时,S偶S奇nd，其中d为公差； 2③当n为奇数时，则S奇S偶a中,S奇Sn1n1n1a中,S偶a中，奇， 22S偶n1第 10 页

SS偶Sn奇n（其中a中是等差数列的中间一项)

S奇S偶S奇S偶13。若等差数列an和bn的前2n1项的和分别为S2n1和 T2n1,则

anS2n1. bnT2n114。数列an是等比数列,Sn是其前n项的和，kN*,那么（S2kSk)2=Sk·S3kS2k。 15。分期付款（按揭贷款）：

ab(1b)n每次还款x元（贷款a元,n次还清，每期利率为b）. n(1b)116.裂项法:①

1111111； ②；

2n12n122n12n1nn1nn1③

1ab1abab ；④

n11。

n1 !n !n1 !17＊．常见三角不等式: (1）若x(0,2),则sinxxtanx.

（2） 若x(0,2)，则1sinxcosx2。

(3） |sinx||cosx|1。 18。正弦、余弦的诱导公式:

nnnn(1)2sin,n为偶数(1)2cos,n为偶数sin());cos(。 n1n122(1)2cos,n为奇数(1)2sin,n为奇数即：“奇变偶不变，符号看象限\".如cossin,coscos。 21tan22tan2tancos219*。万能公式:sin2;；(正切倍角公式）。 tan22221tan1tan1tan20＊。半角公式：tan21.三角函数变换：

①相位变换:ysinx的图象ysinx的图象；

向左0或向右0平移个单位2sin1cos。

1cossinysinx的图象; ②周期变换：ysinx的图象③振幅变换:ysinx的图象yAsinx的图象. 22.在△ABC中，有

①ABCC(AB)纵坐标伸长A1或缩短0A1到原来的A倍1横坐标伸长01或缩短1到原来的倍CAB2C22(AB)； 222第 11 页

②absinAsinB(注意是在ABC中）.

24.若OAxOByOB,则A、B、C共线的等价条件是xy1。

25。三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3), 则其重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 3328*。 三角形四“心\"向量形式的充要条件：

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则： （1）O为ABC的外心OAOBOC。 （2)O为ABC的重心OAOBOC0。

（3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. （4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0。 29.常用不等式：

222a2b2(1）a,bRab2abab（当且仅当a＝b时取“=”号)．

222abab(2）a,bRabab(当且仅当a＝b时取“=\"号)．

222aba2b2ab(a0,b0). （5)

1122ab1（6)柯西不等式：(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

22222第 12 页