自适应Chirplet时频分析

单纯的时域或频域分析不能够充分描述非平稳信号，而时频分析提供了信号的频谱内容随时间变化的信息，是非平稳信号分析的有力工具。

关键词: 傅立叶变换；时频分析； 匹配追踪；小波基；自适应分解 0引言

通常的信号分析与处理是在幅值、时间、频率等域进行的。傅立叶变换建立了信号从时域到频域的映射，经过一百多年的发展，以傅立叶变换为基础的信号处理方法如幅值谱、功率谱、倒频谱分析等已经成为信号分析与处理的重要工具。但上述研究都是在传统的时域分析和频域分析的领域内进行的，而频域分析中所用的频谱分析、功率谱分析等都是假设信号为平稳信号。虽然傅立叶变换建立了从时域到频域的映射，但它并没有将时域和频域合成一个域，这样，时域图上无法确定任意时间点频率分量的局部信息，同样，频域图上也无法确定任意频率处其谱分量的时间局部化信息。傅里叶(Fourier)分析对处理传统的包含线性、高斯性和平稳性假设条件的信号是非常有效的。然而，随着研究的深入，具有非平稳、非线性、非高斯等特殊特征的信号逐渐成为现代信号处理技术要面临的主要对象，为了解决非平稳信号的分析问题，时频联合分析(简称时频分析)方法应运而生，时频分析(Time Frequency Analysis TFA )是处理非平稳信号的重要工具，它在时频域一维平面上揭示时变信号的内部结构，其着眼于真实信号组成成分的时变特征，将一个一维时间信号以二维的时间－频率密度函数的形式表示出来，旨在揭示信号中包含了多少频率分量，以及每个分量随时间变化的特性。1946年D. Gabor提出的著名Gabor变换为时频分析奠定了理论基础[1]。1947年P. K. Potter等提出的短时Fourier变换[2](STFT)则是一种更为实用的时频分析方法，并将其绝对值的平方定义为谱图，使其成为非平稳信号分析的强有力工具。1948年，法国学者J. Vi1le将物理学家E P Wigner在1932年提出的Wigner分布[3]引入到信号处理领域，由于其优良的边缘特性及局部能量汇聚特性，成为时频分析中最重要的工具之一。 1匹配追踪和自适应分解

匹配追踪和自适应分解是基于完全不同的思路提出的时频分析方法。匹配追踪是由M allot和Zhang提出的[7]，目的是对信号进行最优化的小波分解。传统的二进小波分解将时频平面机械地划分成一组规则的时频区域，将信号在各个不同区域进行投影，所得到的分布并不是最优的，一旦母小波选定则小波分析在每个频率段的分辨率即成为固定值。匹配追踪则采用优化搜索算法，每次在一个“字典”中搜索与信号局部特征最佳匹配的小波，得到其尺度变换和平移参数，并将其从信号中去除。虽然匹配追踪算法不是正交的，但是每一次搜索都是保持能量收敛的，经过多次搜索能量收敛之后，就得到一个小波函数的集合，该集合就是信号的一个时频分解。

匹配追踪类似于统计参数估计中的投影追踪算法[8]，被分析函数向词典中的每一个函数进行投影，选择投影分量最大，匹配最优的函数参数作为分解参数，然后将搜索到的函数从被分析函数中去除。从时频分析核函数的角度来看，匹配追踪所用的词典是由小波基函数通过不同的时移和尺度变换得到的，而小波基函数可以看作单载频正弦(或余弦)波的一部分。复正弦波和小波的二维螺旋和时频分布分别如图1a-图1d所示，可以直观地看出:

(1)小波基的时频汇聚性能和波相比有了极大的提高;

(2)无限长的正弦波占据了整个时间轴，其频率分辨率为无穷大，但是没有任何的时间分辨率;

(3)通过不同时间延迟、频率中心和尺度变换小波基对信号进行分解，就可以得到信号不同频率成分随着时间的变化规律。

图1

匹配追踪算法对信号的分解可以看作是在时频平面上用不同的小波基函数对信号局部特征进行近似。匹配追踪算法每次搜索基函数均要对词典中每一个基函数都进行一遍匹配计算，显然其运算量是相当大的，很难应用到实时信号处理中。

几乎同一时期，Qian也从另外的角度提出了自适应分解理论[9-10]，提出了搜索基函数的代价函数，并采用自适应搜索高斯基函数参数的方法实现信号的自适应分解，可以说至此才有了真正意义上的信号自适应分解算法。虽然自适应分解算法采用的基函数和匹配追踪算法采用的基函数是相同的，但是其不仅避开了构造基函数词典所需的运算量，并目从真正意义上自适应计算基函数的参数，从运算速度和自适应程度上都有了前所未有的提高。

匹配追踪算法和上述的自适应分解算法的共同缺点是:它们处理调频类信号缺乏足够的能力。匹配追踪和自适应分解算法中基函数对被分析信号的拟合均是对信号的零阶近似，采用时频谱在时频平面上平行于时间轴的一系列基函数对信号进行分解。由于基函数中缺乏调频信息，处理调频类信号时产生太多的截断和误差，给调频类信号的参数化分解带来了巨大困难。为了处理现实世界中大量具有调频特性的信号，在后续的研究中将基元函数扩展为高斯包络线性调频信号(Chirplet)[11]，其为高斯包络波(选择高斯包络信号作为参数化处理的基函数是因为高斯函数在时频平面上具有最佳时频汇聚特性，其时宽-带宽积达到Heisenberg测不准原理的下限)信号加频率调制后的产物。高斯包络波(Gabor小波)的表达式为

gk(t)ake(ak/2)(ttk)ejk(ttk) (1)

2式中：j1；jtk是chirplet的时间中心；fk为频率中心，ak以(tk,k)为时频中心，在时间轴上的展开宽度。

通过加入频率调制并保持单位能量得到Chirplet其表达式为

g(t)4akaexpk(ttk)2[jkk(ttk)](ttk) (2) 22式中:k调频斜率。通过调频项的加入，在保持了高斯包络基良好的时频汇聚性能的同时，极大地提高了信号变换的灵活性。复调频和Chirp1et信号的二维螺旋及其时频分布分别如图2a,b,c,d所示。

图2

匹配追踪算法和自适应分解算法在本质上是一致的，其日的均是要寻找最佳匹配信号特征的函数对信号进行分解，在算法的实现步骤上也很类似。自适应分解的思路是逐个搜索信号包含的最优基元函数，通过按照一定规律循环搜索基函数参数，并且每循环一次都要计算新的参数形成和剩余信号的匹配程度。1992-1994年，Qian和Chen提出了信号的自适应Gauss基表示，研究了高斯基集上的信号分解，与此同时，Mallat提出的匹配追踪自适应分解也是考虑了时移、频移和尺度变化的参数，取得了优于常规时频分析的效果。根据信号的不同特点，按照与信号最为匹配的原则来自适应分解信号方法的关键，是如何自适应设计最佳的基函数，这等价于如何准确估计基函数中相应的参数，因而，采用这类方法进行信号分解，其分解效果的优劣，将更多地取决于基函数参数估计算法的有效性及准确性。 2自适应Chirplet的信号分解

Chirplet基函数集合构成了L(R)空间的完备集合，根据信号分解原理，可以将该空间中的任何信号自适应分解到相应的该类基函数上，虽然Chirplet基函数不能构成正交基，但仍然可以使用最大投影匹配原理逐步递推分解，将信号展开为一系列Chirplet加权和的形式，即：

2x(t)aigi(t)xq(t) （3）

i0q1其中，xq(t)为分解q次后的残余信号，i为自适应分解的序号，第i步分解所得的Chirplet基函数gi(t)，i(tci,ci,ci,i)，残余信号xi1(t)：

xi1(t)xi(t)aigi(t) (4) 当分解次数i=0时，x0(t)x(t)，第i步分解所得的匹配系数ai是信号x‘(t)与基函 数gi(t)之间的内积，即：

aixi(t),gi(t) (5) xi(t)gi(t)dt

该算法的主要任务是求解最佳的Chirplet参数，自适应地构造基函数gi(t)，使信号残余：

xi1(t)2xi1(t)xi1(t)dt (6)

达到最小，虽然Chirplet构成的基函数不一定正交，但最大投影分解原理保证每一步分解的余量与该步投影的基函数是正交的，因而

minxi1(t)minxi(t)aigi(t)gi(t)gi(t)222 (7)

因基函数具有单位能量，即

Egi(t)故式()等价于： maxaigi(t)221 (8)

maxxi(t)gi(t)dt (9)

gi(t)2 tci,ci,ci,imaxxi(t),gi(t)

2基于Chirplet的自适应信号分解过程可总结如下: (1)初始化，确定精度要求ε或最大分解次数N。

(2)对信号残量，确定最匹配的Chirplet基函数，满足：

(3)计算匹配系数ai：

tci,ci,ci,imaxxi(t),gi(t) (10)

2aixi(t),gi(t) (11)

(4)计算残余信号

xi1(t)xi(t)aigi(t) (12)

(5)判断是否满足迭代中止条件

xi1(t) (13) x(t)或

nN (14) 若条件满足，则中止，否则，转至步骤(2)，继续下一次分解。

从上述分解过程可见，自适应匹配投影分解的目的，在于将待分析的信号展开成一系列基函数的线性组合，其中这些基函数是根据投影能量为最大的准则，从一个包含这些基函数的冗余的基函数集中挑选出来的。

Chirplet自适应分解中寻找最佳基函数的问题实质上是一个全局优化问题。式可见它是一个四参数的多维非线性优化问题，通常没有解析形式的解，也不能通过一次全平面的搜索找到最佳投影基，而只能按照一定的搜索策略，进行一系列的一维或多维搜索来逼近这个最佳基。

3自适应chirplet分解的时频分析性能

测试信号由三个线性调频高斯信号组成，采样点数为128，信号各参数真值见表l。

表l三个线性调频信号的参数真值 系数a 1 1 1.2 时间中心tc 54 70 60 频率中心c 0.15 0.15 0.4 调频率 0.049 -0.049 0 尺度因子c 10 10 14 对测试信号进行自适应Chirplet分解，经过三次分解后，得到的匹配参数以及残余能量分别见表2、表3。

表2 测试信号自适应分解后的参数值 系数a 1.0029 1.2002 0.9988 时间中心tc 54.0530 60.0000 70.0200 频率中心c 0.1504 0.4002 0.1499 调频率 0.0491 0 -0.0491 尺度因子c 10.0020 14.0060 10.0020 表3测试信号自适应分解过程能量值(单位:m2)

原信号能量 3.8888 第一次分解后残余能量 2.2855 第二次分解后残余能量 0.8972 第三次分解后残余能量 1.3e-5 三次分解后残余能量与原信号能量比 3.5e-6 对比表1、2可见，与参数真值对比，本文方法分解后的三个信号分量参数估计值的精度都很高，经过三次自适应分解后，残余信号的能量已经非常小，残余信号能量与原信号能量比已经小至3.5e-6。

为了与常用时频分布相对比，下面图3分别给出了上述测试信号的时域图，短时傅立叶变换图，wigner分布图以及自适应时频分布图。

(c) Wigner分布 (d) 自适应Chirplet分解

图3测试信号的时频分析对比

从图3可以看出自适应Chirplet分析方法的优越之处，它既消除了干扰项，又保留了wigner分布良好的时频聚集性，从而具有最好的时频分辨率。

抗噪性能研究

仍然使用上面的组合仿真信号，加入信噪比为ldB的白噪声，自适应分解后各参数值如表4、5。

表4 染噪的测试信号自适应分解后的参数值 系数a 1.0806 1.2662 1.1254 时间中心tc 72.2520 55.4230 53.7230 频率中心c 0.1284 0.3980 0.1442 调频率 -0.0436 0.0009 0.0448 尺度因子c 8.052 13.365 6.8199 2表5 染噪的测试信号自适应分解过程能量值(单位:m)

原信号能量 8.9610 第一次分解后残余能量 7.2328 第二次分解后残余能量 5.6882 第三次分解后残余能量 4.5228 三次分解后残余能量与原信号能量比 0.5047 从表4、5可见，由于加入了较高能量的噪声，信号的信噪比较低，致使自适应分解过程受噪声的影响估计精度有所下降，表5中三次分解后残余能量与原来染噪信号能量比为0.5047，虽然该数值较大，但并不是说分解效果不好，该数值较大的主要原因是因为信号中噪声比较大，在分解过程中，逐次将信号分量一一从信号中分解出来，噪声就留在了最后的残余信号中，这也正是自适应Chirplet算法的优点之一。总体分解结果的时频分析见图6

图4 染噪声后的测试信号的时频分析对比

从图4可见在较低的信噪比时，信号的Wigner时频分布图已经完全模糊，而自适应Chirplet分析方法仍能取得良好的时频分析效果。

上述试验的信号类型与基函数类型相同，自适应分解结果较好的证明了该方法对该类信号的有效性，当信号与基函数类型不匹配时，该方法分解的结果又如何呢?下面分别对一正弦信号和一冲击信号应用了本文方法，原信号及分解后的时频图见图5、图6。图5中的单一正弦信号经过本文方法的自适应分解后，由于分解后得到的是具有高斯调幅的基函数，因而分解后信号的包络形状会有所变化，在时频中心点处强度较大，这是由于基函数的特点而形成的，但时频分布在结构上仍能充分反映原信号的时间一频率特性。图6也很好的反映了原脉冲信号的时间一频率特性。以上的实验结果说明，当待分解信号类型与基函数chirplet不相同时，利用本文算法进行自适应Chirplet分解，分解后基函数的Wigner分布仍能较好的反应信号的时频变化特性。

图5 正弦信号

图6 脉冲信号

4总结

chirplet分解方法可以更好的刻画时变信号的特征，但较多的分解方法是首先立一个原子字典，使用匹配追踪方法进行分解。由于随着参数类型的增加，字典中所含的原子个数将大为增加，字典将变得庞大。若信号不能完全与字典中的原子相吻合时，则需要字典中的多个原子进行拟合，这样就会将信号的特征冲淡，因而不能更好的表征信号。此外，在低信噪比的情况下，因为噪声的影响也使得信号特征提取不好。自适应Chirplet估计及信号分解方法保证每一个基函数都是按照与信号最匹配的最大投影分解原则来选择，因而能够以更少的基函数、更稀疏而精确的描述信号，准确地刻画信号的时频特征，不仅可以得到良好的时频分布，更为故障诊断中的智能诊断提供了极为有利的条件。当信号类型与基函数类型相同时，信号分解次数与信号分量个数相同就能完全将信号有效的表示。当信号类型与基函数类型不相同时，信号分量可以用多个基函数来逐段近似，因而仍能得到反映信号特征的时间－频率特性。