摘 要
小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。 本文在简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，对以小波为工具进行数字图像处理进行了有益的探索。最后详细介绍了基于阈值的小波分析的图像去噪算法及其在信号处理中的应用。
关键字：小波分析 研究现状 应用 图像去噪 阈值
ABSTRACT
ABSTRACT
Wavelet analysis is a rapidly developing and novel subject. Nowadays，it has been widely used in practical applications. To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value. After a brief description of the history of wavelet development and the basic theoretical knowledge of wavelet，this paper makes valid probe towards digital image processing using wavelet. Finally，this paper analysis and study of the classical thresholding denoising methods and the new scopes of wavelet applications.
key word: Wavelet Analysis , Research Status , Application , Signal Denoising, Thresholding
目 录 i
目 录
第一章 绪论 ................................................................................................................... 1
1.1小波发展简史 ........................................................................................................................ 1
1.2 小波变换及应用 ................................................................................................................... 1 1.3 论文的主要工作 ................................................................................................................... 3
第二章 小波及小波分析的理论基础 .......................................................................... 5
2.1 小波分析 ............................................................................................................................... 5 2.2 正交小波 ............................................................................................................................... 6
第三章 小波分析的应用 ................................................................................................. 9
3.1 小波分析的应用现状 ........................................................................................................... 9
3.2 小波阈值去噪研究 ............................................................................................................. 11
3.2.1 小波去噪算法的研究概况 ...................................................................................... 11 3.2.2 小波阈值去噪的算法原理 ...................................................................................... 12 3.2.3 小波去噪的应用及发展 .......................................................................................... 13
第四章 总结和展望 ................................................................................................... 15 致谢 ................................................................................................................................. 17 参考文献 ......................................................................................................................... 19
ii 目 录
第一章 绪论 1
第一章 绪论
1.1小波发展简史
小波分析是时频发展的新理论，是80年代后期发展起来的。1981年，由法国物理学家Morlet在分析地震数据时首先提出了小波分析的概念。在这以前，人们已做了大量基础性的工作，如1910年Haar提出了Haar函数，建立了Haar函数的规范正交基等。1985年，法国数学家Meyer首先提出了光滑的正交基—Meyer基。1986年，Meyer及其学生Lemarie提出了多尺度分析的思想。1988年，年轻的女数学家Daubechies提出了具有紧支集光滑正交基—Daubechies基，为小波的应用增添了催化剂。后来信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的概念， 并在此基础上建立了Mallat塔形算法（即快速小波算法FWA）。这一算法的作用相当于Fourier分析中的FFT，它使得小波从理论走向更为宽广的应用研究[1]。 1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包的概念计算法。它推广了Mallat的塔形算法，构成了一种更精细的分解方法，并且这种算法对信号的特性具有自适应能力。次年，耿中行提出了小波包分解的移频算法，提高了信号分析的准确性。该算法被同时应用于机械的振动信号分析中。1993、1994年，David E.Newland提出了谐波小波的概念，谐波小波不但实现算法简单而且具有良好的相位定位能力。二进小波与谐波小波的结合，将给旋转机械振动信号的分析提供极大的方便。
小波的提出先是取得了应用成果（如Morlet的地震数据处理等），再形成理论，最后在应用领域全面铺开，因此更具有实用价值。国外研究小波的时间较早，而国内小波研究起步较晚，直到1990年才有论文公开发表，中国国家自然科学基金委员会已将小波分析与信号处理列为鼓励与重点资助研究领域。
1.2 小波变换及应用
近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。在数学家们看来，小波分析是一个新的数学分支，是泛函分析、Fourier 分析、样条分析、调和分析的最完美结晶。小波分析源于信号分析，小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波变换是将数据或函数分割成不同的频率部分并
2 小波发展及应用的研究
用适当的方法去研究每一部分的数学工具，是经典 Fourier 分析理论的发展[2]。 小波变换的实质是将信号向一系列小波基上进行投影，小波变换分为连续型和离散型。正交小波和双正交小波是离散小波变换的两种特殊情况。离散小波变换理论主要建立在多尺度分析或滤波器的基础上，关键是如何构造正交小波基，它的应用相当广泛。连续小波变换理论建立在群论的基础上，对信号细致变化的探测时更灵敏。
小波变换不同于 Fourier 变换的地方是它同时对信号 （函数） 进行时间和频率的局部化，因而被誉为“一种数值变焦镜，它能够集中注意数据中感兴趣的地方。 ”[3]因此小波变换比 Fourier 变换在使用上更加灵活，也更符合实际情况的需要。
连续小波变换在方向的选择上有其自由度和优越性，而离散小波变换只能沿x、y轴方向搜索。离散小波变换小波基的选择一般均由多尺度分析方法构造；而连续小波变换小波基的构造具有更大的灵活性，可视具体情况而定。不同的连续小波变换小波基函数由不同的特点，一些基函数对空间变量的变化敏感；一些对方向变量反映灵敏。
多分辨分析是小波分析的核心内容之一，其系统和过程符合人类视觉和思维方式。最常见的多分辨分析有两大类：一类是时间有限多分辨分析，另一类是样条多分辨分析。如果说小波分析是描述信号的一种语言，则多分辨分析和Mallat算法就是这种语言的语法规则。Mallat算法通过调节尺度因子实施对信号由细至粗的分解和有粗至细的重构。
由于传统小波在提取和识别高频方面不够精确，Meyer认为传统小波不是处理音乐和语音的最佳工具，在充分考虑Fourier分析、加窗Fourier分析、传统小波分析各自性能优劣的基础上，Meyer等人提出并建立了两种新型杂交小波：小波包和Malvar小波。
小波基的构造与选择是小波分析的主要内容。在使用基本小波，如二进小波、二进对偶小波、框架及小波时，对于时间-频率分析和其它的应用，有许多重点必须考虑。它们是:时间-频率窗的大小，计算的复杂性和有效性，实现的简单型，基小波的的光滑与对称性以及逼近阶。
信号处理现如今已经成为当代科学技术活动中不可缺少的一部分，而在小波分析的许多领域中，都可以将其归结为信号处理问题。小波分析可以对信号进行
第一章 绪论 3
时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特性，是一种新的多分辨分析方法，特别适合分析和处理非平稳信号，被誉为信息信号的“显微镜”。作为信号处理和分析的工具，傅立叶分析曾在数字信号处理领域占据绝对的位置，但随着小波理论的日趋完善，小波分析显示了其强大的生命力和显著的优越性，并且正在信号处理以及其它许多领域取得越来越广泛和深入的应用。
1.3 论文的主要工作
本文主要介绍了小波和小波变换的基本理论，并在此基础上讨论了近几年小
波理论的研究进展和小波的应用现状，其中重点介绍了小波在图像信号处理和图像去噪方面的研究情况。
第一章是绪论部分，主要介绍了小波的发展历史、小波分析的一些特征，以及小波分析在一些领域的应用情况，并对本文的全部工作进行简单的总结。 第二章主要介绍了小波和小波变换的数学基础和一些基本理论基础，主要包括小波、小波分析、离散小波变换和正价小波变换等。
第三章主要研究小波分析各个领域的应用现状，其中重点介绍在信号处理的阈值图像去噪问题中应用。首先简单介绍了小波分析在信号去噪算法方面的研究现状，给出了小波阈值去噪的原理及实现算法。
4 小波发展及应用的研究
第二章 小波及小波分析的理论基础 5
第二章 小波及小波分析的理论基础
2.1 小波分析
小波、小波分析，是小波应用的基础，我们给出定义如下:
定义2.1 设L2(R)是一个可测的、平方可积的一维函数空间，R为实数集。小波是由满足（x）dx0的函数（x）通过平移、伸缩而产生的函数族
Ra（： ,bx）a,b(x)a(12xb),a,bR,a0 （2.1） a我们称a（为分析小波或者连续小波。称（x）为小波母函数，当且仅当小,bx）波母函数的Fourier变换满足以下可容性条件：
CRˆ()2d （2.2）
其中，a为缩放因子，b为平移因子。
定义2.2 在定义2.1 的基础上，函数f(x)在L2(R)上的连续小波变换的定义如下：
Wfa,b(x)f(x),a,b(x)a12(xb)dx （2.3） a 小波变换对函数f(x)在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过放缩因子a和平移因子b来得到的。根据a，b的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号f(x)的局部化分析。而在实际应用中，尤其是在数字信号处理领域里，为了实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数f(x)的积分形式展开为级数和的形式。下面我们给出离散小波形式和离散小波变换。
离散小波是通过把小波函数a（中的参数a，b离散化得到的，参数a，,bx）b的离散化形式为：
maa0,bnb0a0m,m,nZ （2.4）
定义 2.3 若a（是满足（2.2）式中的小波母函数，并可以表示如下： ,bx）6 小波发展及应用的研究
m2
mn(x)a0则称mn(x)为离散小波。
(a0mxnb0),m,nZ （2.5）
特别的，当a02,b01时，就可以得到二进小波：
m,n(x)2(2mxn)m,nZ （2.6）
二进小波是满足可容性条件的小波，具有很多优良的特性，是离散小波中最常用的一种形式。
函数f(x)的离散小波变换，即在小波基上将其展开为小波级数和的形式。 定义2.4 若函数f(x)L2(R)能写成以下形式：
f(x)m2m,nZcm,nm,n(x), （2.7）
cm,nf,m,n;m,nZ则称上式为函数f（x）的离散小波变化。
对众多的小波我们可以根据不同的分类标准对其进行分类，根据小波函数
(x)本身可以把它分为单小波和多重小波；根据框架理论可以把m,n(x)分为正交小波，半正交小波和非正交小波。框架是对规范正交基的推广，下面给出小波框架的定义。
定义2.5[4] 满足下述条件的离散小波称为框架：
Af(x)f(x),m,n(x)Bf(x),m,n222 （2.8）
0AB,f(x)L2(R)把A，B称为框架边界，在上式中，当A=B时称m,n(x)为紧框架，特别是当A=B=1时构成一组正交基。
2.2 正交小波
正交小波和正交小波基在小波、一小波分析理论中占有非常重要的地位，下面给出正交小波和正交小波基的概念。
定义2.6 设小波母函数(x)L2(R)，若函数族m,n(x)|m,nZL2(R) 第二章 小波及小波分析的理论基础 7
满足以下条件：
J,K,m,n(j,m)(k,n),j,k,m,nZ （2.9）
则称(x)构成L2(R)的正交小波。
定义2.7 小波母函数(x)L2(R)满足上式，若函数族m,n(x)|m,nZ构成L2(R)的一组正交基，则称该函数族为L2(R)的正交小波基。
8 小波发展及应用的研究
第三章 小波分析的应用 9
第三章 小波分析的应用
3.1 小波分析的应用现状
小波分析最早应用在地震数据压缩中，以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果。现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面，小波分析已成为国际研究热点。无论是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础，按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换，这种非线性小波变换处理非线性问题更为有效。
小波变换能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去，实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平稳描述、机械零件故障特征频率的分析、微弱信号的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。近年来，通过我国科技人员的不断努力，已取得了可喜的进展，成功研制开发出小波变换信号分析仪，填补了国内空白，具有国际先进水平。在理论和应用研究基础上，提供了普遍适用于机械设备在线和离线非平稳检测诊断的技术和装置，取得了经济效益，得到国家科技进步奖励。
小波分析在工程实际中比较成功的应用主要体现在如下几个方面: （1）小波分析在故障诊断中的应用。
小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功。小波分析不仅可以在低信噪比的信号中检测到故障信号，而且可以滤去噪声恢复原信号，具有很高的应用价值[5]。梯形小波变换适用于电力系统故障分析，尤其适用于电动机转子鼠笼断条以及发电机转子故障分析[6]。用二进小波Mallat算法对往复压缩机阀盖振动信号进行分解和重构，可诊断出进、排气阀泄漏故障[7]。利用小波包对变速箱故障声压信号进行分解，诊断出了变速箱齿根裂纹故障等[8]。 （2）小波分析在图像处理中的应用。
在图像处理中，小波分析的应用是很成功的，而这一方面的著作和学术论文也特别多。二进小波变换用于图像拼接和镶嵌中，可以消除拼接缝[9]。利用正交变换和小波包进行图像数据压缩[10]，可望克服由于数据压缩而产生的方块效应，获得较好的压缩效果。利用小波变换方法可进行边缘检测[11][12]、图像匹配[13]、图
10 小波发展及应用的研究
像目标识别[14]及图像细化等。
（3）小波分析在语音信号处理中的应用。
语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储。利用小波分析可以提取语音信号的一些参数，并对语音信号进行处理。小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括：清/浊音分割;基音检测；去噪、重建与数据压缩等几个方面。小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了很好的效果。
（4）小波分析在ICT中的应用
ICT即工业计算机断层摄影，主要用于机械构件的无损探伤。但是ICT图像的投影数据存在一定的噪声，这给图像处理带来困难。利用小波变换先对投影数据进行滤波，重建后取模极大值，所得图像边缘噪声较小。边缘清晰，并可滤去非白噪声。这种将小波分析用于卷积反投影的方法已成功地开辟了一条崭新的技术路线。小波分析方法可用于焊缝位置识别[15]、混凝土内部缺陷识别[16]、及管道检漏[17]等方。
（5）小波分析在地球物理勘探中的应用
在地球物理勘探中，寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的。由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性，因此它是描述、检测函数奇异性的有效工具。我们利用小波变换和分形理论，对石油、天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和高分辨处理，并给出了地震道油气检测的重建相空间法，这对于油气勘探及地震资料的高分辨处理都具有重大的理论意义和应用价值[18]。 （6）小波分析在医学中的应用
淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值，可用于环境检测、药品及各种化合物的毒性检测。在微核的计算机自动识别中，用连续小波就可准确提取胞核的边缘。目前，人们正在研究利用小波变换进行脑信号的分析与处理，这样可有效地消除瞬态干扰，并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲[19]。 （7）小波分析在数学和物理中的应用
在数学领域，小波分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题。而由此产生的小波有限元方法和小波边界元方法，极大的丰富了数值分析方法的内容。在物理领域中，小波表示了量子力学中一种新的凝聚态。在自适应光学中，目前有人研究了
第三章 小波分析的应用 11
可利用小波变换进行波前重构[20]。另外，小波变换适宜于刻画不规则性，为湍流研究提供了新的工具。
（8）小波分析在神经网络中的应用
小波理论提供了一个对前传网分析和理论框架，小波形式在网络构造中被用来使包含在训练数据中的频谱信息具体化。使用小波变换设计处理网络，可使训练问题大大简化。不像传统的前神经网络构造的情况，这里函数是凸的，因此全局极小解是唯一的。把小波分析与神经网络结合起来，可对设备进行智能化诊断
[21]
。利用小波分析可给出惯性导航系统初始对准的线性和非线性模型[22]。
（9）小波分析在工程计算中的应用
矩阵运算是工程中经常遇到的问题，如稠密矩阵作用于向量(离散情况)或积分算子作用于函数(连续情况)的计算。有时运算量极大，利用快速小波变换，可使得运算量大大减少。另外，在CAD/CAM、大型工程有限元分析、机械工程优化设计、自动测试系统设计[23]等方面都有小波分析的应有实例。 （11）小波分析在股票价格行为分析方面的应用
小波分析具有良好的时频局部性，被认为是分析股市数据的有效工具。利用小波变换方法对股票价格信号进行奇异性分析，可提取奇异点并分析其分布规律，它为股市管理和投资提供了帮助[24]。
3.2 小波阈值去噪研究
3.2.1 小波去噪算法的研究概况
从信号学角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但由于在去噪后，还能成功地保留信号特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。在信号处理中,对含噪信号进行去除噪声的处理一直是其重要内容之一。
Mallat 是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，他建立了小波变换快速算法，运用与信号和图象的分解与重构[25]，之后又通过 Lipschitz 指数刻画信号的奇异性，并给出了小波变换进行信号奇异性检测的基本原理[26]，他的又一贡献是提出了一种利用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法[27][28]，这是小波去噪的最经典的方法之一Mallat 通过对小波系数的模极大值处理之后，在小
12 小波发展及应用的研究
波变换域内去除由噪声对应的模极大值点，仅保留由真实信号所对应的模极大值点，然而仅仅利用这有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。Mallat 提出的交替投影法[29]较好地解决了这个问题。然而，交替投影法存在一定的缺陷，它计算量很大，需要通过迭代来实现，有时还不稳定。
Johnstone 等人 1997 年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器。Jansen 等人与 1997 年采用 GCV(Generalized Cross Validation)估计器来估计小波阈值，从而实现对图象中的相关噪声进行去除。
Hsung 等人 1999 年提出一种基于奇异性检测的去噪方法，与 Mallat 的模极大值原理去噪方法类似，但它不进行模极大值检测与处理，因而避免了复杂的重构，而是通过计算一个锥形影响域内小波系数模的和值来估计信号的局部正则性，从而对小波系数进行滤波。该方法几乎不需要噪声的先验信息，并易于推广到二维图象的去噪。
Chang 等人在 2000 年将自适应阈值和平移不变去噪思想结合起来，提出一种针对的空域自适应小波阈值去噪方法[30]，所选阈值可随图象本身的统计特性作自适应的改变。
最近几年来有关小波去噪这方面的文章非常多，而且，直到目前，基于小波去噪方法的研究仍然是极其的活跃，特别是对阈值去噪方法的研究。由于这种方法简单有效，而成为目前研究最广泛的方法，近几年来已有许多改进的阈值方法被提出。
3.2.2 小波阈值去噪的算法原理 设如下的观测信号
f(k)s(k)n(k)k0,1,2,...,N1 （3.1）
其中，s(k)为原始信号，n(k)为方差为2的高斯白噪声，服从N(0,2)。 对观测信号f(k)作离散小波变换，即
Wf(j,k)2j2f(n)(2n0jnk) （3.2）
第三章 小波分析的应用 13
Wf(j,k)为小波系数，但是计算量很大。在实际应用中，常采用Mallat算法来进行小波变换，即
Sf(j1,k)Sf(j,k)*h(j,k) （3.3）
Wf(j1,k)Sf(j,k)*g(j,k)相应的小波重构公式为
Sf(j1,k)Sf(j,k)*h(j,k)Wf(j,k)*g(j,k) （3.4）
其中，h和g分别为尺度函数和小波函数对应的低通和高通滤波器，S f (0, k )为原始信号f ( k )， Sf ( j , k )为尺度系数， Wf ( j , k )为小波系数,以下简单记为wj,k 。 小波阈值去噪的主要理论依据为：属于 Besov 空间的信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中，而噪声的能量却分布于整个小波域内，因此经小波分解后，信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数，于是可以找到一个合适的数λ 作为阈值(门限)，当wj,k小于该阈值时，认为这时的wj,k主要是由噪声引起的；当wj,k大于该阈值时，认为这时的wj,k主要是由信号引起的，从而实现了信噪的分离。小波阈值去噪方法的具体步骤为:
（1）对含噪信号f（k）进行离散小波变换，得到个尺度小波系数wj,k；
ˆj,k，使 （2）对各个尺度的小波系数wj,k进行阈值处理，得到估计小波系数wˆj,kuj,k尽量达到最小； 得wˆ(k)，即为去噪ˆj,k进行小波重建，得到信号f（k）的估计信号f （3）利用w后的信号。
3.2.3 小波去噪的应用及发展
进年来，随着小波理论的日趋完善和小波研究的不断深入，小波分析的应用也日趋广泛。其中，运用小波分析进行信号去噪原理始终是一个热门话题，是小波分析的一个重要的应用之一，并显示出比传统的傅立叶分析更加具有优越之势。特别地，在实际工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，进行去噪处理，传统的傅立叶分析显得无能为力，因为它不能给出信号在某个时间点上的信号变换情况，使得
14 小波发展及应用的研究
信号在时间轴上的任何一个突变都会影响信号的整个谱图。而小波分析由于能同时在时，频域中对信号进行多分辨分析，所以能有效地区分信号中的突变部分和信号噪声，从而实现信号的去噪。
随着对小波算法的深入研究，小波去噪方法也丰富起来。到目前为止，小波去噪方法大致可以分为三大类：第一类是基于小波变换的极大模原理的，即根据信号和噪声在小波变换的各个尺度上的不同传播特性，提出有噪声产生的极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第二类方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号；第三类方法是阈值方法，即对小波系数设置阈值，在众多波系数中，把绝对值较小的系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或收缩，然后对阈值处理后的系数进行小波逆变换，直接进行信号重构，即可达到去噪的目的。该方法是基于这样一个思想：信号对应的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值较小。
第四章 总结和展望 15
第四章 总结和展望
本文主要介绍了小波和小波变换的基本理论，并在此基础上讨论了近几年小波理论的研究进展和小波的应用现状，其中重点介绍了小波在图像信号处理和图像去噪方面的研究情况。
小波理论在不断发展和完善的同时，其应用领域也有许多亟待解决的问题。所以在进一步学习小波理论、加强对小波理解和应用的同时，学习小波新理论、开辟小波新的应用领域将是作者进一步的努力方向和更高的追求目标。
16 小波发展及应用的研究
致谢 17
致谢
在这学期的图像处理的数学基础这门课中，很感谢**老师的认真授课和教导。
短短的这学期的这门课程，使我对于小波有了更加深入的认识，对于我今后的专业课的学习和科研学术的工作有很大的启发意义、受益匪浅。
图像处理的数学基础是一门需要较强数学功底的数学理论课，对于工科学生来说是有一定难度的。但是纪建老师严谨的学术风格和精益求精的教学态度，从一而终认真细致地进行授课。***为我们提供了良好的学习环境和氛围，努力调动大家的学习主动性，建立了积极主动互动的课堂氛围，让大家对于小波分析和小波的应用现状有了更进一步的了解和认识。 在此谨向**老师致以衷心的感谢和崇高的敬意！
18 小波发展及应用的研究
参考文献 19
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