基本初等函数图像及性质

一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；

常数函数（yC） C0 y C0 y O x O x 平行于x轴的直线 定义域R 二、幂函数yx，x是自变量，是常数； y轴本身 定义域R 1.幂函数的图像： 2.幂函数的性质； 性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇 增 R y R R O 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减 奇 增 （1,1） [0,+∞) [0,+∞) x 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减 [0,+∞) 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x(,)，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；

2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数

m时，n为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），n函数的图形均经过原点和（1,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0

以外的一切实数。

xya三、指数函数(x是自变量,a是常数且a0，a1)，定义域是R；

[无界函数]

1.指数函数的图象：

2.指数函数的性质； y y 性质 函数 定义域 (0,1) 值域 奇偶性 公共点 O R x (0,1) O x (0，+∞) 非奇非偶 过点(0，1)，即x0时，y1 在是增函数 （，）在是减函数 （，）单调性 1）当a1时函数为单调增,当0a1时函数为单调减； 2）不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方； 3）当x0时,y1,所以它的图形通过(0,1)点。

*aN3.（选，补充）指数函数值的大小比较；

y

a.底数互为倒数的两个指数函数

f(x)ax，

1f(x)ax

(0,1) O x 的函数图像关于y轴对称。

y b.1.当a1时，a值越大，的图像越靠近y轴； yax

(0,1) b.2.当0a1时，O a值越大，的图像越远离y轴。 4.指数的运算法则（公式）；yax x y a.整数指数幂的运算性质(a0,m,nQ)；

(3)mnmnaaa(1) mnmnaaa(2)

a(0,1) amnnO nmanm (4)abanbn b.根式的性质； (1)

aa；(2)当n为奇数时，

nnnnaa

n(2)amn1amn1n当n为偶数时，

a (a0)naa

a(a0)am(a0,m,nZ*,n1)c.分数指数幂；

四、对数函数ylogax(a是常数且a0,a1)，定义域x(0,)[无界]

1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式。

对数函数关于直线

bylogax与指数函数yax互为反函数，所以ylogax的图象与yax的图象

yx对称。

2.常用对数：log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN。

3.自然对数：使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数loge记作lnN。 4.对数函数的图象：

y y N简

5.对数函数的性质； 性质 函数 O x O (1,0) x (1,0) 定义域 值域 奇偶性 公共点 (0，+∞) R 非奇非偶 过点(1，0)，即x1时，y0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 单调性 1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；

2）当a1时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1,+)，y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。a1在实际中很少用到。 6.（选，补充）对数函数值的大小比较aN；

a.底数互为倒数的两个对数函数

*y (1,0) O x ylogax，ylog1x

a的函数图像关于x轴对称。

y b.1.当a1时，a值越大，

的图像越靠近x轴；

b.2.当(0a1)时，a值越大，O x (1,0) 的图像越远离x轴。 7.对数的运算法则（公式）；a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么： b.对数恒等式： c.换底公式： (1)logbNO f(x)logax

f(x)logax

y (1,0) 换为e或10为底的对数,即logbNx lnNlnb或

logbNlgNlgb）

logaN（a0,a1，一般常常

logab(2)由公式和运算性质推倒的结论：

d.对数运算性质

(1)1的对数是零，即loga10；同理ln10或lg10 (2)底数的对数等于1，即logaa1；同理lne1或lg101

五、三角函数

1.正弦函数

ysinx,有界函数，定义域x(,)，值域y[1,1]

3，，，2 22图象：五点作图法：0，2.余弦函数

ycosx，有界函数，定义域x(,)，值域y[1,1]

3，，，2 22 图象：五点作图法：0，3.正、余弦函数的性质；

性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 对称中心 R [-1,1] 奇函数 [-1,1] 偶函数 对称轴 在x2k,2k上是增函数 22单调性 在x2k,2k上是增函数 在x2k,2k上是减函数 3在x2k,2k上是减函数 22x2k22时，ymax1 x2k时，ymax1 最值 x2k4.正切函数时，ymin1 y x2k时，ymin1 2ytanx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域y(,) ytanx的图像 5.余切函数ycotx，无界函数，定义域xxk,kZ,y(,) y ycotx的图像 O 6.正、余切函数的性质； x 性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 对称中心 零点 7.正割函数 R O R x 奇函数 奇函数 在( 2k,2k)上都是增函数 在(k,(k1))上都是减函数 ysecx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域secx1 y 2ysecx的图像 18.余割函数ycscx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域cscx1 sinx1 9.正、余割函数的性质； y ycscx的图像 O -1 1 x 性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 偶函数 奇函数 单调性 3(2k,2k)(2k,2k2)减 2223减 (2k,2k)(2k,2k)22(2k,2k)(2k,2k)增 增 22(2k,2k)(2k,2k3)2续表：

性质 函数 对称中心 对称轴 渐近线 六、反三角函数

1.反正弦函数

yarcsinx，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0,]

ysinx在区间,上的反函数称为反正弦函数，记为22A.反正弦函数的概念：正弦函数

yarcsinx

2.反余弦弦函数

yarccosx，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0,]

ycosx在区间0,上的反函数称为反余弦函数，记为

y B.反余弦函数的概念：余弦函数

y yarccosx yarcsinx的图像yarccosx的图像 -1 3.反正、余弦函数的性质； 1 O 性质 x 函数 定义域 [-1,1] -1 O [-1,1] 1 x 值域 奇偶性 单调性 奇函数 增函数 非奇非偶函数 减函数 4.反正切函数

yarctanx，有界函数，定义域x(,),值域,

22C.反正切函数的概念：正切函数

ytanx在区间,上的反函数称为反正切函数，记为

22yarctanx

5.反余切函数

yarccotx，有界函数，定义域x(,),值域0,

D.反余切函数的概念：余切函数

ycotx在区间0,上的反函数称为反余切函数，记为

yarccotx yy arctanx的图像yarccotx的图像 y 6.反正、余弦函数的性质； 函数 性质 O x 定义域 R O x 值域 奇偶性 奇函数 非奇非偶 单调性 增函数 减函数 三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点P(x,y)，记：r．．正弦：sinyx余弦：cos rrx2y2。

正切：tanxy余切：cot

yxrr 余割：csc

yx正割：sec二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：sincsc商数关系：tan平方关系：sin21，cossec1，tancot1

sincoscot，

cossincos21，1tan2sec2，1cot2csc2

三、诱导公式

x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；

y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。

四五

、

、和

角二

公

式倍

和

角差

角公

公

式式

二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

1cos21sin21cos2sin22cos，sin，tan

22sin21cos22六、三倍角公式 七

、

和

差

化

积

公

式

八、辅助角公式

其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，

sinba2b2，cosb，tan 22aaba九、三角函数的周期公式

x)，xR及函数yAcos(x)，xR(A,,,为常数，且函数yAsin(A0,0)

周期：T2

函数yAtan(x)，xk2,kZ(A,,,为常数，且A0,0)

周期：T 十、正弦定理

abc2R（R为ABC外接圆半径） sinAsinBsinC十一、余弦定理