灵石县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣2，0） +∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．∪（﹣2，﹣1）（0，
2． 设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
，则f（3）=（ ） D．10
C．m＞6
03． 函数f（x﹣）=x2+A．8
B．9
C．11
4． 已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ） A．m＞2
B．m＞4
D．m＞8
5． 已知三棱锥SABC外接球的表面积为32，ABC90，三棱锥SABC的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A．4 B．42 C．8 D．47 第 1 页，共 16 页
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6． 已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（ ） A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
7． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ） A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 2]的最大值等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．12
9． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．
B．
C．
D．0
B．∃x∈R，lgx＜1
C．∀x∈N+，（x﹣1）2＞0 D．∃x∈R，tanx=2
C．a＞0，△≥0
D．a＞0，△＞0
8． 定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，
，则的值是（ ）
10．下列命题中的假命题是（ ） A．∀x∈R，2x﹣1＞0
11．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A．80 B．40 C．60 D．20
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若面积的最大值为4A．等腰三角形
，则此时△ABC的形状为（ ） B．正三角形 C．直角三角形
D．钝角三角形
（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的
二、填空题
13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
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14．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．
15．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为 ． 16．函数f（x）=log
2
（x﹣2x﹣3）的单调递增区间为 ．
y217．已知实数x，y满足3xy30，目标函数z3xya的最大值为4，则a______．
2xy20【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 18．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
1 2 3 4 推销员编号 工作年限x/（年） 3 5 3 =
x+
10 7 14 12 年推销金额y/（万元）2 由表中数据算出线性回归方程为推销金额为 万元．
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
三、解答题
19．某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（单位：元） 销量y（单位：万件） 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 =﹣15x+210；根据所学的统计
（1）现有三条y对x的回归直线方程： =﹣10x+170； =﹣20x+250；
学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定多少元？（利润=销售收入﹣成本）
20．（本小题满分12分）
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如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E是PD的中点. （1）证明：PB//平面AEC；
（2）设AP1，AD3，三棱锥PABD的体积V3，求A到平面PBC的距离. 4111]
21．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
22．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
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23．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）． （1）求a的值；
2
（2）比较f（2）与f（b+2）的大小；
（3）求函数f（x）=a
（x≥0）的值域．
24．0）N0）在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，，（a，，其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是 ①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
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灵石县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
2． 【答案】A
22
【解析】解：方程|x+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，
2
作函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象如下，
，
结合图象可知， m的可能值有2，3，4； 故选A．
3． 【答案】C
【解析】解：∵函数故选C．
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=2
，∴f（3）=3+2=11．
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4． 【答案】C
2
【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①； 由①②得到m＞6为所求． 故选C 值
5． 【答案】A 【解析】
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 6． 【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A， 正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B．
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7． 【答案】A
2
【解析】解：∵不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
2
且△=b﹣4ac＜0，
2
综上，不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
8． 【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x﹣2，
3
33
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=2﹣2=6．
故选C．
9． 【答案】A
【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin
=sin∠AOC=
=
，则AC=
，OA=1
所以：∠AOB=120° 则
•
=1×1×cos120°=
．
故选A．
10．【答案】C
【解析】解：A．∀x∈R，2
x﹣1
=
0正确；
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B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确； C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确； D．存在x∈R，tanx=2成立，正确． 综上可知：只有C错误． 故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， ∴三年级要抽取的学生是故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
12．【答案】A 【解析】解：∵∴∴
（acosB+bcosA）=2csinC，
2
（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC，
×200=40，
sinC=2sin2C，且sinC＞0，
，
，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
=4
，
∴sinC=
∵a+b=8，可得：8≥2
∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A．
二、填空题
13．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
S 0 1 1 2 6 3 27 4 n
43符合，跳出循环．
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14．【答案】 2 ．
【解析】解：函数可化为f（x）=令∴
∴函数f（x）=即M+m=2． 故答案为：2．
15．【答案】
cm2 ．
，
，则
=
为奇函数，
，
的最大值与最小值的和为0．
的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分， 取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1， 则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形． 根据正六棱台的性质得OC=∴CC1=
=
，O1C1=．
=
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm． ∴正六棱台的侧面积： S===
2
（cm）．
．
故答案为： cm2．
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【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．【答案】 （﹣∞，﹣1） ．
【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}
2
令t=x﹣2x﹣3，则y=
因为y=在（0，+∞）单调递减
t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1） 故答案为：（﹣∞，﹣1）
17．【答案】3
【解析】作出可行域如图所示：作直线l0：3xy0，再作一组平行于l0的直线l：3xyza，当直线
l经过点M(,2)时，za3xy取得最大值，∴(za)max327，所以zmax7a4，故
a3．
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18．【答案】
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6， 代入回归方程，可得a=﹣当x=8时，y=
，
万元． ，所以
=
x﹣
，
．
估计他的年推销金额为故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】 【解析】（1）∵（∴选择
，
=
（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，
=
（90+84+83+80+75+68）=80；
）在回归直线上， =﹣20x+250；
22
（2）利润w=（x﹣5）（﹣20x+250）=﹣20x+350x﹣1250=﹣20（x﹣8.75）+281.25，
∴当x=8.75元时，利润W最大为281.25（万元）， ∴当单价定8.75元时，利润最大281.25（万元）．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
313. 13第 12 页，共 16 页
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试
题解析：（1）设BD和AC交于点O，连接EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO//PB，EO且平面AEC，PB平面AEC，所以PB//平面AEC.
3133，可得AB，作AHPB交PB于H.由题设知BC平PAABADAB，由V2664PAAB313面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，又AH，所以A到平面PBC的距离为PB13313.1 13（2）V考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 21．【答案】（1）a＝
118（2）（－∞，－1－]．（3） 2e27【解析】
f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥
（2）
212lnx2lnx令g（x）＝2，x＞0，则g（x）＝．
xx3令g（x）＝0，解得x＝e．
当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．
2lnx． 2x第 13 页，共 16 页
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1， e11所以－（a＋1）≥，即a≤－1－，
ee1所以a的取值范围为（－∞，－1－]．
e所以g（x）max＝g（e）＝（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，
所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．
②当
5＜a＜2时， 3
当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0． 所以h（a）在（
5，2）上单调递增， 3第 14 页，共 16 页
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所以当a∈（
558，2）时，h（a）＞h（）＝． 3327③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为
8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 22．【答案】
【解析】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
2
∴f（2）﹣f（1）=a﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
2
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a=
，解得a=0（舍去），或a=．
故a的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
23．【答案】
x
【解析】解：（1）f（x）=a（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）， 2
∴a=，
∴a=
x
（2）∵f（x）=（）在R上单调递减， 2
又2＜b+2， 2
∴f（2）≥f（b+2）， 2
（3）∵x≥0，x﹣2x≥﹣1，
∴1
≤（）﹣=3
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∴0＜f（x）≤（0，3]
24．【答案】 ①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线； 确；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确； 此坐标平面内有且无数条黄金直线． 故答案为：①②③． 算能力，属于中档题．
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计
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