2017年秋高一数学函数专项训练题(含答案)

2017年秋高一数学第一学期函数压轴训练题

1．（本小题满分12分）已知x满足不等式2(log1x)27log1x30，求f(x)log222xxlog2的最42大值与最小值及相应x值．

2.（14分）已知定义域为R的函数f(x)2xa2x1是奇函数

（1）求a值；

（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

（3）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求实数k的取值范围；

3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)上的函数f(x)(1) 求实数a,b的值；

(2) 用定义证明:函数f(x)在区间(1,1)上是增函数； (3) 解关于t的不等式f(t1)f(t)0.

4. (14分)定义在R上的函数f(x)对任意实数a,bR,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，

(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式f(x3)f(5)1

5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x-2bx+(I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M。

2

22axb12为奇函数,且. f()21x25b(b≥1)， 4

6.（12分）设函数f(x)loga(x3a)(a0,且a1)，当点P(x,y)是函数yf(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数yg(x)图象上的点. （1）写出函数yg(x)的解析式；

（2）若当x[a2,a3]时，恒有|f(x)g(x)|1，试确定a的取值范围；

（3）把yg(x)的图象向左平移a个单位得到yh(x)的图象，函数F(x)2a1h(x)a22h(x)ah(x)，（a0,且a1）在[1,4]的最大值为5，求a的值.

44

xx7. （12分）设函数f(x)lg124a(aR).

3（1）当a2时，求f(x)的定义域；

（2）如果x(,1)时，f(x)有意义，试确定a的取值范围； （3）如果0a1，求证：当x0时，有2f(x)f(2x).

8. （本题满分14分）已知幂函数f(x)x(2k)(1k)(kz)满足f(2)（1）求整数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；

（2）对于（1）中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)1mf(x)(2m1)x，在区间

0,1上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

9. （本题满分14分）已知函数f(x)ax1(a0且a1)

（Ⅰ）若函数yf(x)的图象经过P3,4点，求a的值； （Ⅱ）当a变化时，比较f(lg1)与f(2.1)大小，并写出比较过程； 100（Ⅲ）若f(lga)100，求a的值．

10. （本题16分）已知函数f(x)log9(9x1)kx(kR)是偶函数． (1)求k的值；

(2)若函数yf(x)的图象与直线y1xb没有交点，求b的取值范围； 2(3)设h(x)log9a3x4a，若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范

3围．

11. （本小题满分12分）二次函数yf(x)的图象经过三点A(3,7),B(5,7),C(2,8). （1）求函数yf(x)的解析式（2）求函数yf(x)在区间t,t1上的最大值和最小值

12.(本小题满分14分) 已知函数f(x)2(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)定义:若函数g(x)xxa,且f(x)为奇函数． x2a,(a0),x0,则函数g(x)在(0,a]上是减函数,在[a,)是增函x数.设F(x)f(x)f(x1)2,求函数F(x)在x[1,1]上的值域．

13.(本小题满分16分) 设a0,b0,已知函数f(x)axb. x1(Ⅰ)当ab时,讨论函数f(x)的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当x0时,(i)证明f(1)f()[f(

bab2)]; a

14.(本小题满分16分)

设函数f(x)lg[ax(1a)x]的定义域区间为I,其中a0. (Ⅰ)求I的长度L(a)(注:区间(,)的长度定义为); (Ⅱ)判断函数L(a)的单调性,并用单调性定义证明;

(Ⅲ)给定常数k(0,1),当a1k,1k时,求区间I长度L(a)的最小值.

1.解：由2(log1222x)27log1x30，∴3log1x2211， ∴log2x3， 22而

f(x)log2xxlog2(log2x2)(log2x1) 4231(log2x)23log2x2(log2x)2，

24

331当log2x时f(x)min 此时x=22=22，

24

当log2x3时f(x)max2. 解：（1）由题设，需经验证，

912，此时x8． 4412xf(0)12a0,a1，f(x)12x

f(x)为奇函数，a1---------（2分）

121221（2）减函数--------------（3分）

x,xR,xx,xxx0，

由（1）yf(x)f(x) xx,02x2x,2x2x0,(12x)(12x) 证明：任取

2112x212x2112x112x122(2x12x2)(12x1)(12x2)1122120

y0

该函数在定义域R上是减函数--------------（7分）

abaxb1223. 解：(1)由f(x)为奇函数,且 f()211x21()252abx1122则f()f()，解得：a1,b0。f(x)1x221(1)2252(2)证明：在区间(1,1)上任取x1,x2，令1

x1x21,

x1x2x1(1x22)x2(1x12)(x1x2)(1x1x2) f(x1)f(x2)(1x12)(1x22)1x121x22(1x12)(1x22) 1x1x21  x1x20 ,1x1x20 , (1x12)0, (1x22)0

f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2)

故函数(3)

f(x)在区间(1,1)上是增函数.

f(t1)f(t)0  f(t)f(t1)f(1t)

t1t1f(x)在区间(1,1)上是增函数  1t1 0t

211t1 函数

故关于t的不等式的解集为(0,1). 24（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)

因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x

所以kx>x,f(kx)f(x1)f(x2)f(x1)f(kx2)f(x1)f(k)f(x2)f(k)

有题知，f(k)<0

f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)

所以f(x)在（0，+）上为减函数 法三：设x1,x20,且x1x2

x2xxx)f(2) 21f(2)0 x1x1x1x1f(x1)f(x2)f(x1)f(x1f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2) 所以f(x)在（0，+）上为减函数 b的对称轴为直线x＝b（ b≥1）， 4b31(I) ①当1≤b≤4时，g(b)＝f(b)＝-b+; ②当b＞4时，g(b)＝f(4)＝16-b，

445解：f(x)=(x-b)-b+

2

2

2

2bb (1≤b≤4)4综上所述，f(x)的最小值g(b)＝ 。3116b (b＞4)4113)+， ∴当b＝1时，M＝g(1)＝-8431313②当b＞4时，g(b)＝16-b是减函数，∴g(b)＜16-×4＝-15＜-，

4443综上所述，g(b)的最大值M= -。

4(II) ①当1≤b≤4时，g(b)＝-b+

2

b4＝-(b-

2

；

6. 解：（1）设点Q的坐标为(x',y')，则x'x2a,y'y，即xx'2a,yy'。 ∵点P(x,y)在函数yloga(x3a)图象上 ∴y'loga(x'2a3a)，即y'loga1∴g(x)log1

axax'a(2)由题意x[a2,a3]，则x3a(a2)3a2a20，又a0，且a1，∴0a1

110.

xa(a2)a|f(x)g(x)||loga(x3a)loga∵f(x)g(x)1||log(x24ax3a2)|

axa1

1 ∴1loga(x24ax3a2)22∵0a1∴a22a，则r(x)x4ax3a在[a2,a3]上为增函数， ∴函数u(x)loga(x4ax3a)在[a2,a3]上为减函数，

22

从而[u(x)]maxu(a2)loga(44a)。[u(x)]minu(a3)loga(96a)

又0a1,则(96a)loglog(44a)aa10a1957 12（3）由（1）知g(x)loga1，而把yg(x)的图象向左平移a个单位得到yh(x)的图象，则xah(x)loga1logax，∴F(x)2a1h(x)a22h(x)ah(x)2a1logaxa22logaxalogax2axa2x2x

x221，又在[1,4]的最大值为5， 即F(x)ax(2a1)x，又a0,且a1，F(x)的对称轴为x2a22a4411a24a20a26(舍去)或a2①令2a22a46；此时F(x)在[1,4]上递减，∴F(x)的最大

422值为F(1)51a1(2a1)5a8a160a4(244146,)，此时无解；

148a22a101a1，又a0,且a1，∴0a1；此时F(x)在[1,4]上递增，∴②令2a22a4224F(x)的最大值为F(4)516a28a45a142，又0a1，∴无解；

4442③令142a12a226a26a24a20且a0,且a1∴14211a或a28a2a1042222a26且a1，此时

1)5a2(2a1)(2a1)5(2a1)5a24a10，解得：F(x)的最大值为F(2a24442a4a42a24a2a25，又12a26且a1，∴a25； 综上，a的值为25. xxxxx7解：（1）当a2时，函数f(x)有意义，则1224012240，令t2不等式化为：

32t2t101t1，转化为12x1x0，∴此时函数f(x)的定义域为(,0)

22xx（2）当x1时，f(x)有意义，则124a0124a0a1x2(1x1x)，令

xxx3442y(1x1x)在x(,1)上单调递增，∴y6，则有a426；

xx2x2x(12x4xa)2124a124alglg（3）当0a1,x0时，2f(x)f(2x)2log，

333(122x42xa)设2t，∵x0，∴t1且0a1，则

x(12x4xa)23(122x42xa)t4(a23a)2at3t2(2a2)2(t1) t4(a23a2)2at3t2(2a2)2(t1)(at1)2t2(at21)2(t1)20

∴2f(x)f(2x) 8解: （１）

f2f3，2k1k01k2,

kZ,k0或k1；当k0时，fxx2，当k1时，fxx2；

k0或k1时，fxx2．

（２）

gx1mfx2m1xmx22m1x1， m0，

2m1111 2m2mgx开口方向向下，对称轴x又

g01,gx在区间［０，１］上的最大值为５，

1110m22m1526g15m22m9. （Ⅰ）函数

m56 2yf(x)的图象经过P(3,4) ∴a3-14，即a24. 又a0，所以a2.

11)f(2.1); 当0a1时，f(lg)f(2.1) （Ⅱ）当a1时，f(lg1001001)f(2)a3，f(2.1)a3.1 因为，f(lg100x 当a1时，ya在(,)上为增函数，

133.1)f(2.1). ∵33.1，∴aa. 即f(lg100x当0a1时，ya在(,)上为减函数，

133.1)f(2.1). ∵33.1，∴aa. 即f(lg100lga1100. （Ⅲ）由f(lga)100知，alga12（或lga1loga100）. 所以，lga ∴(lga1)lga∴lga2. ∴lg2alga20，

1 或 lga2， 所以，a1 或 a100. 1010(1)因为yf(x)为偶函数， 所以xR,f(x)f(x)， 即 log9(9x1)kxlog9(9x1)kx对于xR恒成立.

xx1log(9x1)x恒成立, 1)log9(9x1)log999x9于是2kxlog9(9而x不恒为零，所以k(2)由题意知方程log9(91)x1. -----------------4 2x1x1xb即方程log(9x1)xb无解.

922令g(x)log9(91)x，则函数yg(x)的图象与直线yb无交点.

x91log11 因为g(x)log999x9x任取x1、x2R，且x1x2，则09192，从而

xx11.

9x19x2log11，即g(x)g(x)，

于是log911129x1x299所以g(x)在,上是单调减函数. 因为111，所以g(x)log110.

99x9x所以b的取值范围是,0. ----------------------- 6

(3)由题意知方程3xx1a3x4a有且只有一个实数根．

33x2令3t0，则关于t的方程(a1)t若a=1，则t4at10(记为(*))有且只有一个正根.

33，不合, 舍去； 4若a1，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由0a3或－3；但a3t1，不合，舍去；而a3t1； 4422方程(*)的两根异号a110a1.

综上所述，实数a的取值范围是{3}11. (1)解

(1,)． ----------------------- 6

A,B两点纵坐标相同故可令f(x)7a(x3)(x5)即f(x)a(x3)(x5)7将C(2,8)f(x)(x3)(x5)7x22x8…………4分

代入上式可得a1 (2)由f(x)x22x8可知对称轴x1

1） 当t11即t0时yf(x)在区间t,t1上为减函数

f(x)maxf(t)t22t8 f(x)minf(t1)(t1)22(t1)8t29………6

2） 当t1时，yf(x)在区间t,t1上为增函数f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)8t29

f(x)minf(t)t22t8 …………8分

3）当1t

t110即0t12时 f(x)maxf(t)t2t8 2f(x)minf(1)9 …………10分

4）当01tt11即

1t1时 2

f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)8t29

f(x)minf(1)9 …………12分

12.(本小题满分14分) 已知函数

f(x)2xa2x,且

f(x)为奇函数．

(Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)定义:若函数

ag(x)x,(a0),x0,则函数g(x)在(0,a]上是减函数,在[a,)是增函数.设

xF(x)f(x)f(x1)2,求函数F(x)在x[1,1]上的值域．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R， ∵

f(x)为奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，a=-1 ……………3分

x112x1x1x122……………3分 (Ⅱ) F(x)f(x)f(x1)2=2x222x221t，则当x[1,1]时，t[,2]， ……………3分

211∴yt2

2t111∵当t[,2]时，函数yt2单调递减；当t[2,2]时，

22t11函数yt2单调递增； ……………2分

2t设2x∴当t当t2时，y的最小值为22

117717时，y，当t2时，y，y的最大值为 ……………2分

42241722,。 ……………1分 4∴函数F(x)在x[1,1]上的值域是13.(本小题满分16分)

设a0,b0,已知函数f(x)axb. x1(Ⅰ)当ab时,讨论函数f(x)的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当x0时,(i)证明

bb2f(1)f()[f()];

aa(ii)若

2abf(x)ab,求x的取值范围. ab

解：（Ⅰ）由

当a当af(x)aba，得 x1b时，f(x)分别在,1,1,上是增函数； ……………2分 b时，f(x)分别在,1,1,上是减函数； ……………2分

abb2abb，f(),f()2aabaa（Ⅱ）（i）∵

f(1)bbaab …………2分 b1a∴

bbbb2f(1)f()ab[f()]2，∴f(1)f()[f()] ……………1分

aaaa（ii）∵

2abf(x)ab abbbf()f(x)f()， ……………2分 aa∴由（i）可知，①当a②当ab时，f(x)a，H=G=a，x的取值范围为x0. ……………2分 b时，∵

bbb1，∴aaa

由（Ⅰ）可知，

f(x)在0,上是增函数，∴x的取值范围为bbb1，∴aaabxaba ……2分

③当ab时，∵

由（Ⅰ）可知，

f(x)在0,上是减函数，∴x的取值范围为

bbx ……2分 aabxaba；当a综上，当ab时，x的取值范围为x0；当ab时，x的取值范围为b时，x的取值范

围为

bbx。 ……………1分 aa14.(本小题满分16分) 设函数

f(x)lg[ax(1a2)x2]的定义域区间为I,其中a0.

(Ⅰ)求I的长度L(a)(注:区间(,)的长度定义为(Ⅱ)判断函数L(a)的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数k(0,1),当a);

1k,1k时,求区间I长度L(a)的最小值.

解：（Ⅰ）由ax(1a2)x20，得0xa1a2， ……………2分

I(0,aa∴)L(a)1a21a2。 …………1分

（Ⅱ）L(a)在

0,1上是增函数，在1,上是减函数， ……………1分

a1a2(a1a2)(1a1a2)…………2分 221a121a2(1a12)(1a2)设0a1a21，则L(a1)L(a2)∵0a1a21，∴a1a20,1a1a20，∴L(a1)L(a2) ……………2分

∴L(a)在

0,1上是增函数 ……………1分

同理可证，L(a)在

1,上是减函数 ……………1分

1,1k1 ……………1分

（Ⅲ）∵k(0,1)，∴01k由（Ⅱ）可知，L(a)在

1k,1上是增函数，在1,1k上是减函数

L(a)的最小值为L(1k),L(1k)中较小者； ……………2分

(2k)[1(1k)(1k)]2k3∵L(1k)L(1k)0……2分

[1(1k)2][1(1k)2][1(1k)2][1(1k)2]∴L(a)的最小值为

1k ……………1分 2k2k2