2020-2021学年湖北省武汉市中考数学模拟试卷(3)及答案解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数﹣5，0，4，﹣1中，最小的实数是（ ） A．﹣5 B．0 2．函数y=

C．﹣1 D．4

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤4

3．把xy﹣2yx+y分解因式正确的是（ ） A．y（x+y）（x﹣y） B．y（x﹣y）

2

2

2

3

C．y（x﹣2xy+y）

22

D．（x﹣2y）

2

4．在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表： 成绩（m） 1.50 人数

1

1.60 2

1.65 4

1.70 3

1.75 3

1.80 2

那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ） A．4

B．1.75 C．1.70 D．1.65

5．下列计算正确的是（ ） A．x•x=x B．（a）•a=a

C．（ab）÷（﹣ab）=﹣ab D．（a）÷（a）=1

6．如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（ ）

2

3

2

4

6

2

4

3

4

4

16

3

2

4

9

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（2，5） D．（3，6）

7．4个大小相同的正方体积木摆放成如图所示的几何体，其主视图是（ ）

A． B． C． D．

8．今年的“六•一”儿童节是个星期五，某校学生会在初一年级进行了学生对学校作息安排的三种期望（全天休息、半天休息、全天上课）的抽样调查，并把调查结果绘成了如图1、2的统计图，已知此次被调查的男、女学生人数相同．根据图中信息，下列判断：①在被调查的学生中，期望全天休息的人数占53%；②本次调查了200名学生；③在被调查的学生中，有30%的女生期望休息半天；④若该校现有初一学生900人，根据调查结果估计期望至少休息半天的学生超过了720人．其中正确的判断有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的边长为（ ）

A．4 B．5 C．16 D．25

10．如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点C，连接BC交半圆于点D，连接AD．过O点作BC的垂线ON，与BN相交于点N．过C点作半圆的切线CE，切点为E，与BN相交于点F．当C在AM上移动时（A点除外），设

，则n的值为（ ）

A．n= B．0＜n≤ C．≤n＜1 D．无法确定

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算﹣4﹣（﹣6）的结果为 ．

12．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 ．

13．掷一个骰子，观察向上的一面的点数，则点数不小于4的概率为 ．

14．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 ．

15．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是 ．

16．如图，Rt△ABC中，AC=2∠CAB=30°，，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC=30°，

连BD，则BD的最大值为 ．

三、解答题（共8小题，满分72分）

17．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，4）与（﹣3，﹣8）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求关于x的不等式kx+b≤6的解集．

18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上， （1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．

（2）若点E为AC中点，问点D满足什么条件时候，

=．

19．“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为．

（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？

（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）

20．已知：△ABC在直角坐标系中，A（﹣4，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0）

（1）将△ABC沿直线x=﹣1翻折得到△DEF，画出△DEF，并写出点D的坐标 ． （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△PMN，画出△PMN，并写出点P的坐标 ． （3）请直接写出DP的长度 ．

21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E． （1）求证：DE⊥AC；

（2）连结OC交DE于点F，若sin∠ABC=，求

的值．

22．某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元∕件） 每天销售量y（件）

… …

30 500

40 400

50 300

60 200

… …

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想y是x的什么函数，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐a（a＜4）元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x的增大而增大，求a的取值范围．

23．已知△ABC中，∠ABC=90°，点M为BC上一点，点E、N在AC上，且EB=EM，NM=NC，

（1）求证：∠EMN=∠BEC；

（2）探究：AE、EN、CN之间的数量关系，并给出证明； （3）如图2，过点B作BH∥EM交NM的延长线于H，当

2

=n时，求的值．

24．将抛物线C1：y=x平移后的抛物线C2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（﹣1，0），tan∠CAB=3．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）若抛物线C2上有且只有三个点到直线BC的距离为n，求出n的值；

（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d1，d2，试求d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标．

湖北省武汉市中考数学模拟试卷（3）

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数﹣5，0，4，﹣1中，最小的实数是（ ） A．﹣5 B．0

C．﹣1 D．4

【考点】实数大小比较．

【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可．

【解答】解：∵在﹣5，0，4，﹣1中，﹣5、﹣1是负数，4是正数，且|﹣5|＞|﹣1|， ∴﹣5＜﹣1＜0＜4，

∴在实数﹣5，0，4，﹣1中，最小的实数是﹣5． 故选：A．

【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2．函数y=

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤4 【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣4≥0，

解得x≥4． 故选B．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

3．把xy﹣2yx+y分解因式正确的是（ ） A．y（x+y）（x﹣y） B．y（x﹣y）

2

2

2

3

C．y（x﹣2xy+y）

22

D．（x﹣2y）

2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题．

【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：xy﹣2yx+y =y（x﹣2xy+y） =y（x﹣y）． 故选B．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

4．在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表： 成绩（m） 1.50 人数

1

1.60 2

1.65 4

1.70 3

1.75 3

1.80 2

2

2

22

2

3

那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ） A．4

B．1.75 C．1.70 D．1.65

【考点】众数．

【专题】常规题型．

【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可． 【解答】解：∵1.65出现了4次，出现的次数最多， ∴这些运动员跳高成绩的众数是1.65； 故选：D．

【点评】此题考查了众数，用到的知识点是众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数．

5．下列计算正确的是（ ） A．x•x=x B．（a）•a=a

C．（ab）÷（﹣ab）=﹣ab D．（a）÷（a）=1

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、x×x=x，原式计算错误，故本选项错误； B、（a）•a=a，原式计算错误，故本选项错误；

C、（ab）÷（﹣ab）=ab，原式计算错误，故本选项错误； D、（a）÷（a）=1，计算正确，故本选项正确； 故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

6

2

4

3

2

3

2

4

3

2

4

10

4

4

8

2

3

2

4

6

2

4

3

4

4

16

3

2

4

9

6．如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（ ）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（2，5） D．（3，6）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用已知图形结合B，D点坐标得出两三角形的位似比，进而得出A点坐标．

【解答】解：∵把△COD扩大后得到△AOB，点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0），

∴△COD与△AOB的位似比为：2：5， 则点A的坐标为：（2.5，5）． 故选：B．

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．

7．4个大小相同的正方体积木摆放成如图所示的几何体，其主视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从前面看得到的图象是主视图，可得答案．

【解答】解：从前面看第一层有3个小正方形，第二层中间1个小正方形． 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从前面看得到的视图是主视图．

8．今年的“六•一”儿童节是个星期五，某校学生会在初一年级进行了学生对学校作息安排的三种期望（全天休息、半天休息、全天上课）的抽样调查，并把调查结果绘成了如图1、2的统计图，已知此次被调查的男、女学生人数相同．根据图中信息，下列判断：①在被调查的学生中，期望全天休息的人数占53%；②本次调查了200名学生；③在被调查的学生中，有30%的女生期望休息半天；④若该校现有初一学生900人，根据调查结果估计期望至少休息半天的学生超过了720人．其中正确的判断有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【专题】压轴题．

【分析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．

【解答】解：①期望全天休息的人数占的百分比为（1﹣19%﹣28%）=53%，本选项正确； ②本次调查学生数为（12+26）÷19%=200人，本选项正确；

③在被调查的学生中，男生与女生的人数相等，且共调查200人，故女生共有100人， 则女生期望休息半天的百分比为（100﹣44﹣26）÷100=30%，本选项正确；

④初一学生900人中，估计期望至少休息半天的学生数为900×（28%+53%）=729＞720人，本选项正确； 故选A．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

9．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的边长为（ ）

A．4 B．5 C．16 D．25

【考点】正方形的性质． 【专题】规律型．

【分析】设正方形的边长为an，并求出通项公式，从而求出多边形的边长． 【解答】解：设正方形的边长为an，a1=1，a2=（

）

n﹣1

a1，a3=…由此得出边长a的通项公式an=a1•a2，

（n是自然数）， a1，a3=

a2，…an=a1•（

）

n﹣1

a1=1，a2=

）

n﹣1

（n是自然数），

∴边长a的通项公式an=a1•（∴S□A4B4C4D4=an2=a12×[（∵a1=1，

∴所求边长为25． 故答案为：25．

）

（n是自然数），

5﹣12

]，

【点评】本题考查了正方形的性质，先设其边长，并求出其通项公式，从而解得．

10．如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点C，连接BC交半圆于点D，连接AD．过O点作BC的垂线ON，与BN相交于点N．过C点作半圆的切线CE，切点为E，与BN相交于点F．当C在AM上移动时（A点除外），设

，则n的值为（ ）

A．n= B．0＜n≤ C．≤n＜1 D．无法确定 【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

【分析】作FH⊥AC于H，如图，设BN=1，则BF=n，半圆的半径为r，根据切线的性质得∠MAB=∠NBA=90°，易得四边形ABFH为矩形，所以HF=2r，AH=BF=n，再根据切线长定理得到CE=CA，FE=FB=n，设CA=t，则CE=t，CH=t﹣AH=t﹣n，在Rt△CHF中利用勾股定理得（t﹣n）+

2

（2r）=（t+n），解得t=

22

，接着证明Rt△BON∽Rt△ACB，然后利用相似比得可计算出n=．

【解答】解：作FH⊥AC于H，如图，设BN=1，则BF=n，半圆的半径为r， ∵AM、BN为半圆的切线， ∴∠MAB=∠NBA=90°， ∴四边形ABFH为矩形， ∴HF=2r，AH=BF=n， ∵CF切半圆于E点， ∴CE=CA，FE=FB=n，

设CA=t，则CE=t，CH=t﹣AH=t﹣n，

222

在Rt△CHF中，∵CH+FH=CF，

∴（t﹣n）2+（2r）2=（t+n）2，解得t=

，

∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵ON⊥BD， ∴AD∥ON， ∴∠BON=∠BAD，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠BON=∠ACB， ∴Rt△BON∽Rt△ACB，

∴=，即=，

∴n=． 故选A．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算﹣4﹣（﹣6）的结果为 2 ． 【考点】有理数的减法．

【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：﹣4﹣（﹣6）=﹣4+6=2． 故答案为：2．

【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

12．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法

7

表示为 2.5×10 ．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

7

【解答】解：将25000000用科学记数法表示为2.5×10．

n

7

故答案为：2.5×10．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13．掷一个骰子，观察向上的一面的点数，则点数不小于4的概率为 【考点】概率公式．

【分析】让骰子中不小于4的数个数除以数的总个数即为所求的概率． 【解答】解：∵共6种情况，点数不小于4的有4，5，6三种情况，

∴根据等可能条件下的概率的公式可得：掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数不小于4的概率为=．

．

n

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 凌晨7：00 ．

【考点】一次函数的应用．

【分析】根据函数图象和题意可以求出开始的速度为80海里/时，故障排除后的速度是100海里/时，设计划行驶的路程是a海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出计划到达时间．

【解答】解：由图象及题意，得故障前的速度为：80÷1=80海里/时， 故障后的速度为：（180﹣80）÷1=100海里/时． 设航行完全程有a海里，由题意得，解得：a=480，

则原计划行驶的时间为：480÷80=6小时，

﹣2=

，

1+6=7，

故计划准点到达的时刻为：凌晨7：00． 故答案为：凌晨7：00．

【点评】本题考查了运用函数图象的意答行程问题的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时先根据图象求出速度是关键，再建立方程求出距离是难点．

15．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是

．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（﹣1，1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且OB=AB=1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，知∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（﹣，t），于是利用PB=PB′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值． 【解答】解：如图，

∵点A坐标为（﹣1，1）， ∴k=﹣1×1=﹣1，

∴反比例函数解析式为y=﹣， ∵OB=AB=1，

∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， ∵PQ⊥OA， ∴∠OPQ=45°，

∵点B和点B′关于直线l对称， ∴PB=PB′，BB′⊥PQ，

∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°， ∴B′P⊥y轴，

∴点B′的坐标为（﹣，t）， ∵PB=PB′， ∴t﹣1=|﹣|=，

整理得t﹣t﹣1=0，解得t1=

2

，t2=（不符合题意，舍去），

∴t的值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．

16．如图，Rt△ABC中，AC=2连BD，则BD的最大值为 2

∠CAB=30°，，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC=30°，+2

．

【考点】点与圆的位置关系；等边三角形的性质；圆周角定理． 【专题】计算题．

【分析】Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AB=4，由于∠ADC=30°，根据点与圆的位置关系的判定方法可得到点D在⊙O的弦AC所对的优弧上，如图，连结OA、OC，则当BD经过点O时，BD的值最大，再证明△OAC为等边三角形得到OA=AC=2则∠OAB=90°，于是根据勾股定理可计算出OB=2【解答】解：Rt△ABC中，AC=2

，所以BD的最大值为2

+2

，∠OAC=60°，．

，∠CAB=30°，则BC=AC=2，AB=2BC=4，

∵∠ADC=30°，

∴点D在⊙O的弦AC所对的优弧上， 如图，连结OA、OC，

当BD经过点O时，BD的值最大， ∵∠AOC=2∠ADC=60°， ∴△OAC为等边三角形， ∴OA=AC=2

，∠OAC=60°，

∴∠OAB=60°+30°=90°， 在Rt△OAB中，OB=∴BD=OB+OD=2

+2

， +2．

．

=

=2

，

即BD的最大值为2故答案为2

+2

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理．

三、解答题（共8小题，满分72分）

17．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，4）与（﹣3，﹣8）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求关于x的不等式kx+b≤6的解集．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式． 【分析】（1）将两点代入，运用待定系数法求解；

（2）把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，然后根据一次函数是增函数，进而得到关于x的不等式kx+b≤5的解集是x≤3．

【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点点（3，4）与（﹣3，﹣8），

∴，

解得

∴函数解析式为：y=2x﹣2；

（2）∵k=2＞0， ∴y随x的增大而增大， 把y=6代入y=2x﹣2解得，x=4， ∴当x≤4时，函数y≤6， 故不等式kx+b≤5的解集为x≤4．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．

18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，

（1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．

（2）若点E为AC中点，问点D满足什么条件时候，

=．

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的重心；等腰三角形的性质．

△ECB，结论即可得【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后证得△DBC≌到；

（2）根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，

在△DBC与△ECB中，，

∴△DBC≌△ECB， ∴BE=CD；

（2）当点D为AB的中点时，

=；

理由：∵点E为AC中点，点D为AB的中点， ∴DE=BC，DE∥BC， ∴△DEO∽△BCO，

∴．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

19．“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为．

（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？

（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）

【考点】分式方程的应用；概率公式；列表法与树状图法． 【专题】压轴题．

【分析】（1）等量关系为：原来的火腿粽子数÷原来的总粽子数=；后来的火腿粽子数÷后来

的总粽子数=；

（2）列举出所有情况，看所求的情况占所有情况的概率如何． 【解答】解：（1）设第一次爸爸买了x只火腿粽子，y只豆沙粽子．

则：，

解得：．

经检验得出：x+y≠0，x+y+6≠0， ∴x=4，y=8是原方程的根，

答：第一次爸爸买了4只火腿粽子，8只豆沙粽子．

（2）现在有火腿粽子9只，豆沙粽子9只，送给爷爷，奶奶后，还有火腿粽子5只，豆沙粽子3只．

记豆沙粽子a，b，c；火腿粽子1，2，3，4，5．恰好火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为第一次a 第二次 a b c 1 2 3 4 5

（a，b） （a，c） （a，1） （a，2） （a，3） （a，4） （a，5）

（b，c） （b，1） （b，2） （b，3） （b，4） （b，5）

（c，1） （c，2） （c，3） （c，4） （c，5）

（1，2） （1，3） （1，4） （1，5）

（2，3） （2，4） （2，5）

（3，4） （3，5）

（4，5）

b

c

1

2

3

4

5

=

．

（b，a）

（c，a） （c，b）

（1，a） （1，b） （1，c）

（2，a） （2，b） （2，c） （2，1）

（3，a） （3，b） （3，c） （3，1） （3，2）

（4，a） （4，b） （4，c） （4，1） （4，2） （4，3）

（5，a） （5，b） （5，c） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4）

【点评】解分式方程的关键是找到合适的等量关系；求概率的关键是列举出所有可能的情况．

20．已知：△ABC在直角坐标系中，A（﹣4，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0）

（1）将△ABC沿直线x=﹣1翻折得到△DEF，画出△DEF，并写出点D的坐标 （2，4） ． （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△PMN，画出△PMN，并写出点P的坐标 （4，4） ． （3）请直接写出DP的长度 2 ．

【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．

【分析】（1）将△ABC沿直线x=﹣1翻折得到△DEF，即是求轴对称图形，根据轴对称图形画出△DEF；

（2）根据旋转对称的性质将△ABC的三个顶点绕原点O顺时针旋转90°得到三点的对应点，顺次连接画出△PMN；

（3）直接写出PD的长即可．

【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所作，点D坐标为（2，4）； （2）如图所示，△PMN即为所作，点P坐标为（4，4）； （3）由图可知，PD=2．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E． （1）求证：DE⊥AC；

（2）连结OC交DE于点F，若sin∠ABC=，求

的值．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OD．根据三角形中位线定理判定OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，所以∠DEC=∠ODE=90°，即DE⊥AC；

（2）连接AD．通过解直角三角形得到sin∠ABC=

=，故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x；由

2

相似三角形△ADC∽△AED的对应边成比例得到AD=AE•AC．则

，，所以．

【解答】（1）证明：连接OD． ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD，即∠ODE=90°． ∵AB是⊙O的直径， ∴O是AB的中点． 又∵D是BC的中点，． ∴OD∥AC．

∴∠DEC=∠ODE=90°． ∴DE⊥AC；

（2）解：连接AD． ∵OD∥AC， ∴

．

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 又∵D为BC的中点， ∴AB=AC． ∵sin∠ABC=

=，

故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x． ∵DE⊥AC，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠DAC=∠EAD， ∴△ADC∽△AED． ∴

．

∴AD2=AE•AC．

∴．

∴．

∴．

【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

22．某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元∕件） 每天销售量y（件）

… …

30 500

40 400

50 300

60 200

… …

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想y是x的什么函数，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐a（a＜4）元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x的增大而增大，求a的取值范围． 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；

（2）利润=销售总价﹣成本总价=单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值； （3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x﹣20﹣a）元，再根据总利润=销售总价﹣成本总价建立函数关系式即可 【解答】解：（1）画图如图； 由图可猜想y与x是一次函数 设这个一次函数为y=kx+b（k≠0） ∵这个一次函数的图象经过（30，500） （40，400）这两点， ∴

解得

∴函数关系式是：y=﹣10x+800（0≤x≤80）

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得 W=（x﹣20）（﹣10x+800）

=﹣10x+1000x﹣16000 =﹣10（x﹣50）+9000

∴当x=50时，W有最大值9000．

所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．

（3）设总利润为M元，则每件工艺用品的利润为（x﹣20﹣a）元，由题意，得 M=（﹣10x+800）（x﹣20﹣a）， =﹣10x+10（100﹣a）x﹣16000﹣800a，

2

2

2

=﹣10（x﹣50﹣a）+（100+a）﹣16000﹣800a，

22

∵a=﹣10＜0，

∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧M随x的增大而增大． ∴x=50+a时，M有最大值．

∵日销售利润M随销售单价x的增大而增大，且x≤51， ∴50+a≥51， ∴a≥2． ∵a＜4， ∴2≤a＜4．

【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，不等式的解法和运用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键．

23．已知△ABC中，∠ABC=90°，点M为BC上一点，点E、N在AC上，且EB=EM，NM=NC，

（1）求证：∠EMN=∠BEC；

（2）探究：AE、EN、CN之间的数量关系，并给出证明； （3）如图2，过点B作BH∥EM交NM的延长线于H，当【考点】相似形综合题．

【分析】（1））由EB=EM，NM=NC，可得∠EBM=∠EMB，∠NMC=∠NCM，由∠EMB+∠NCM+∠EMN=180°，∠EBM+∠NCM+∠BEC=180°，即可得出∠EMN=∠BEC；

（2）作DE⊥BC，NF⊥BC分别交BC于D，F，作GM⊥BC，交AC于点G，由等腰三角形的性质可得BD=MD，由DE为梯形ABMG的中位线，可得AE=EG，同理可得CN=NG，即可得出EN=AE+CN； （3）作GM⊥BC，交AC于点G，作NF∥EM，由GM∥AB，可得

=

=n，由AE=EG，CN=NG，

=n时，求

的值．

可得=n，即NG=CN=nEG，由NF∥EM，可得=，即=，由CF=MC，

可得MF=MC，再由=， =n，即可得出的值．

【解答】解：（1）∵EB=EM，NM=NC， ∴∠EBM=∠EMB，∠NMC=∠NCM， ∴∠EMB+∠NCM+∠EMN=180°， ∵∠EBM+∠NCM+∠BEC=180°，

∴∠EMN=∠BEC；

（2）如图1，作DE⊥BC，NF⊥BC分别交BC于D，F，作GM⊥BC，交AC于点G，

∵EB=EM，∠ABC=90°， ∴BD=MD，

∴DE为梯形ABMG的中位线， ∴AE=EG， 同理可得CN=NG，

∴EG+GN=AE+CN，即EN=AE+CN；

（3）如图2，作GM⊥BC，交AC于点G，作NF∥EM，

∵GM∥AB， ∴

=

=n，

∵AE=EG，CN=NG， ∴

=n，即NG=CN=nEG，

∵NF∥EM， ∴

=，即=，

∴CF=MC，

∴MF=MC﹣MC=MC，

∵BH∥EM，NF∥EM， ∴BH∥NF， ∴

=

，

∵=n，即BM=CM，

∴==．

【点评】本题主要考查了相似形的综合题，涉及相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，梯形中位线等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造相似三角形．

24．将抛物线C1：y=x平移后的抛物线C2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（﹣1，0），tan∠CAB=3．

2

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）若抛物线C2上有且只有三个点到直线BC的距离为n，求出n的值；

（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d1，d2，试求d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标．

【考点】二次函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】综合题．

【分析】（1）可设抛物线C2的解析式为y=x+bx+c，由条件可求出点C的坐标，然后把点A、点C的坐标代入该解析式即可解决问题．

（2）在抛物线C2上且在直线BC的上方必存在两点到直线BC的距离为n，故在抛物线C2上且在直线BC的下方存在唯一的点到直线BC的距离为n，只需求出与直线BC平行且与抛物线C2相切的直线EF的解析式，然后求出直线BC与直线EF之间的距离，就得到n的值．

（3）由d1+d2可联想到面积，事实上，S△BCD=S△BCQ+S△DCQ=CQ（d1+d2），由于S△BCD是定值，因此当CQ长度最小时，d1+d2的值最大，此时CQ⊥BD，利用面积法可求出CQ的最小值，进而求出d1+d2的最大值，然后利用三角形相似就可求出此时Q点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线C2的解析式为y=x+bx+c，如图1， 在Rt△AOC中，tan∠CAO=则有OC=3，C（0，﹣3）．

∵点A（﹣1，0）、点C（0，﹣3）在抛物线y=x2+bx+c上，

22

=3，OA=1，

∴．

解得：．

∴抛物线C2的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）可设直线BC的解析式为y=mx+t，如图2， ∵点B是抛物线C2与x轴的一个交点， ∴yB=0，即x2﹣2x﹣3=0． 解得：x1=﹣1，x2=3． 则有B（3，0）．

∵点C（0，﹣3）、点B（3，0）在直线BC上，

∴．

解得：．

∴直线BC的解析式为y=x﹣3．

设与直线BC平行且与抛物线C2相切的直线EF的解析式为y=x+k， 则x﹣2x﹣3=x+k即x﹣3x﹣（3+k）=0有两个相等的实数根， 即（﹣3）﹣4×1×[﹣（3+k）]=0，

2

2

2

解得：k=﹣．

∴直线EF的解析式为y=x﹣．

∴OE=OF=，EF=．

又OB=OC=3，BC=3∴n=

﹣

=

，

．

∴n的值为．

（3）过点Q作QG⊥AB，垂足为G，过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点D作DT⊥OC，垂足为T，如图3，

由y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4得：顶点D的坐标为（1，﹣4）． 在Rt△BHD中，BH=3﹣1=2，DH=4，则有BD=2同理可得：BC=3∴BC2+CD2=BD2． ∴∠BCD=90°． ∴S△BCD=BC•CD=×3

×

=3．

，CD=

．

．

2

2

∴S△BCD=S△BCQ+S△DCQ =CQ•d1+CQ•d2

=CQ•（d1+d2）=3．

∴d1+d2=．

当CQ⊥BD时，CQ取到最小值，最小值=此时d1+d2取到最大值，最大值为2

．

=，

∵∠CQB=90°，BC=3，CQ=，

∴BQ=．

∵QG⊥AB，DH⊥AB， ∴QG∥DH． ∴△BGQ∽△BHD． ∴

=

=

∵BH=2，DH=4，BQ=，BD=2，

∴BG=，GQ=．

∴OG=OB﹣BG=3﹣=．

∴点Q的坐标为（，﹣）．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、直线与抛物线的交点问题、相似三角形的判定与性质、根的判别式、勾股定理及其逆定理等知识，综合性比较强，而运用面积法将d1+d2的最大值转化为CQ的最小值是解决第三小题的关键．