复数经典试题(含答案) 百度文库

一、复数选择题

1．若z11i，z21i，则A．1i A．2 C．0 3．

B．1i

2z1等于（ ） z2C．1i B．1 D．1

D．1i

2．若复数(1i)(ai)(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为（ ）

2i152i1＝（ ）

B．-1

C．2

D．-2

5A．1

4．已知i为虚数单位，若复数zA．5 5．设zA．3 6．若

B．3

12iaR为纯虚数，则za（ ） aiC．5

D．22 221i，则|z|（ ） 1iB．1

C．2

D．2

mi是纯虚数，则实数m的值为（ ）． 1iB．0

C．1

D．2

A．1

1i20217．已知复数z，则z的虚部是（ ）

1iA．1

B．i

C．1

D．i

8．设复数z满足方程zzzz4，其中z为复数z的共轭复数，若z的实部为2，则z为（ ） A．1 9．若zA．22 10．复数A．

B．2

C．2

D．4

1ii，则zz2i（ ）

B．4

C．25 D．8

i的实部与虚部之和为（ ） 2i311 B． C． 555D．

3 511．若z2iA．第一象限

34i，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12．复数z对应的向量OZ与a(3,4)共线，对应的点在第三象限，且z10，则z（ ） A．68i

B．68i

C．68i

D．68i

13．已知i为虚数单位，则A．

4i（ ） 3i26i 55C．26i 55B．

26i 55D．26i 5514．复数A．1

2i的虚部为（ ） 1iB．1

C．iD．i15．题目文件丢失！

二、多选题

16．i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数z满足zz0，则z0

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数zaai(aR)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z234i，则z对应的点在第一象限或第三象限 17．已知复数zcosisin（ ）

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

221的虚部为sin z18．若复数zA．z17 35i，则（ ） 1iB．z的实部与虚部之差为3 C．z4i

D．z在复平面内对应的点位于第四象限

19．（多选题）已知集合Mmmi,nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ） A．1i1i

B．

n1i 1iC．

1i 1iD．1i

220．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数zR，则zR

B．若复数z满足z2R，则zR

C．若复数z满足

1R，则zR zD．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

21．已知复数zA．z213i（其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． 22B．z2z

C．z31

D．z1

0

22．已知复数z1cos2isin2（其中i为虚数单位），则（ ）

22B．z可能为实数

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 C．z2cos

D．

11的实部为 z223．已知复数z1i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A．复数z的虚部为i

C．复数z的共轭复数z1i

24．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 B．

z2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

25．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ） A．|z|2 B．复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根 26．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A．0比i大 复数

C．xyi1i的充要条件为xy1 27．复数zA．|z|5 C．z的实部与虚部之和为2 A．纯虚数z的共轭复数是z

D．任何纯虚数的平方都是负实数 B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭

2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．z的共轭复数为

31i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限 B．若z1z20，则z1z2

28．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数 29．（多选）32i1i表示( ) A．点3,2与点1,1之间的距离

B．点3,2与点1,1之间的距离

C．点2,1到原点的距离 D．坐标为2,1的向量的模

30．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

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一、复数选择题 1．D 【分析】

由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：， . 故选：D. 解析：D 【分析】

由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：

z11i12ii22i，

2z12i2i(1i)2i2i22i21i. 2z21i1i1i1i2故选：D.

2．D 【分析】

由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D．

解析：D 【分析】

由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．

【详解】

(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，它为纯虚数，

a10则，解得a1． 1a0故选：D．

3．D 【分析】

先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.

解析：D 【分析】 先求

2i1和

22i1的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.

2【详解】

2i1122i，2i+11+22i，

∴2i1122i742i，2i+11+22i∴2i1742i2i11112i， 2i1742i2i11112i， ∴2i12i12，

∵

42455552742i，

故选：D.

4．A 【分析】

根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】

由复数为纯虚数，则，解得

则 ，所以，所以 故选：A

解析：A 【分析】

根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a，.进而求得复数z,再根据模的定义即可求得za 【详解】

z12i12iaia22a1ia22a1i22 2aiaiaia1a1a1a20a2112i由复数zaR为纯虚数，则2a1，解得a2

ai0a21则zi ，所以za2i，所以za5 故选：A

5．D 【分析】

利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D． 【点睛】

本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，

解析：D 【分析】

利用复数的乘除法运算法则将z化简，然后求解|z|． 【详解】 因为z21i221i12ii21i12i11i， 1i1i1i所以z1i，则z2． 故选：D． 【点睛】

本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．

6．C 【分析】

对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟

解析：C 【分析】

对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题

mi是纯虚数， 1i2mimi1imm1iim1m1i为纯虚数， 1i2221i1i所以m=1. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

7．C 【分析】

求出，即可得出，求出虚部. 【详解】 ，，其虚部是1. 故选：C.

解析：C 【分析】

求出z，即可得出z，求出虚部. 【详解】

1i1i2021zi，zi，其虚部是1.

1i1i1i故选：C.

28．B

【分析】

由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】

因为的实部为，所以可设复数， 则其共轭复数为，又， 所以由，可得，即，因此. 故选：B.

解析：B 【分析】

由题意，设复数z2yixR,yR，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】

因为z的实部为2，所以可设复数z2yixR,yR， 则其共轭复数为z2yi，又zz，

所以由zzzz4，可得zzz4，即z224，因此故选：B.

z2.

9．A 【分析】

化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A

解析：A 【分析】

化简复数z，求共轭复数z，利用复数的模的定义得zz2i． 【详解】 因为z1i111i，所以z1i， ii所以zz2i1i1i2i22i22 故选：A

10．C 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】

易错点睛：复数的虚部是，不是.

解析：C 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

i2+ii12i12i121i，的实部与虚部之和为. 2i2i2+i5552i555故选：C 【点睛】

易错点睛：复数zabi的虚部是b，不是bi.

11．D 【分析】

根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】 ，

则复数对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D．

解析：D 【分析】

根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】

z2i34i(2i)(4i)76i，

则复数z对应的点的坐标为7,6，位于第四象限． 故选：D．

12．D 【分析】

设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，

则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以，

又， 所以， 解得或，

因为复数对应的点在第三象限， 所以， 所以，，

解析：D 【分析】

设zabi(aR,bR)，根据复数z对应的向量OZ与a(3,4)共线，得到

4a3b，再结合z10求解.

【详解】

设zabi(aR,bR)， 则复数z对应的向量OZa,b， 因为向量OZ与a(3,4)共线， 所以4a3b， 又z10， 所以a2b2100，

a6a6解得或，

b8b8因为复数z对应的点在第三象限， 所以a6，

b8所以z68i，z68i， 故选：D

13．C 【分析】

对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解. 【详解】 ， 故选：C

解析：C 【分析】

4i的分子分母同乘以3i，再化简整理即可求解. 3i【详解】

对

4i3i4i412i26i， 3i3i3i1055故选：C

14．B 【分析】

将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果. 【详解】 ，故虚部为1. 故选：B.

解析：B 【分析】

将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成abia,bR的代数形式即得结果. 【详解】

2i2i(1i)1i，故虚部为1. 1i(1i)(1i)故选：B.

15．无

二、多选题 16．AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设zabia,bR，则其共轭复数为zabia,bR， 则zza2b20，所以ab0，即z0；A正确；

B选项，若z11，z2i，满足z1z2z1z2，但z1z2i不为0；B错；

C选项，若复数zaai(aR)表示纯虚数，需要实部为0，即a0，但此时复数

z0表示实数，故C错；

D选项，设zabia,bR，则z2abia22abib234i，

2a2b23a2a2所以，解得或，则z2i或z2i，

b1b12ab4所以其对应的点分别为2,1或2,1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

17．BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】 分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】 对于AB选项，当四象限；

当0时，z1R； 当00时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第22时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，zcos2sin21，C选项正确； 对于D选项，所以，复数故选：BC.

11cosisincosisin， zcosisincosisincosisin1的虚部为sin，D选项错误. z18．AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】

解：， ，

z的实部为4，虚部为，则相差5，

z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正

解析：AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】

35i35i1i82i4i， 解：z1i1i1i2z42117，

z的实部为4，虚部为1，则相差5，

z对应的坐标为4,1，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确， 故选：AD.

219．BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时， ；时，； 时，， .

选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.

解析：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】

根据题意，Mmmi,nN中，

nn4kkN时，in1； n4k1kN时，

ini；n4k2kN时，in1；

n4k3kN时，ini，

M1,1,i,i.

选项A中，1i1i2M；

1iiM；1i选项B中，

1i1i1i21iiM；1i选项C中，

1i1i1i选项D中，1i2iM. 故选：BC. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.

2220．AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确； B选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B错； C选项，设

解析：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数zabi(a,bR)，则zabi(a,bR)，因为zR，所以b0，因此zaR，即A正确；

B选项，设复数zabi(a,bR)，则z2abia2b22abi， 因为z2R，所ab0，若a0,b0，则zR；故B错； C选项，设复数zabi(a,bR)，则因为

211abiab2i22222， zabiababab1b0，即b0，所以zaR；故C正确； R，所以22abz

D选项，设复数z1abi(a,bR)，z2cdi(c,dR)， 则z1z2abicdiacbdadbci，

a1c2zzR因为12，所以adbc0，若，能满足adbc0，但z1z2，

b1d2故D错误.

故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.

21．BCD 【分析】

计算出，即可进行判断. 【详解】 ，

，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD 【分析】

计算出z,z,z,z，即可进行判断. 【详解】

2313zi，

22z212123i23i22121223i=z，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； 23i2123i21，故C正确；

3z3z故选：BCD. 【点睛】

122321，故D正确.

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

22．BC 【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余

弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项. 【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC 【分析】 由22可得2，得01cos22，可判断A选项，当虚部

sin20，,时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判

22断C选项，由复数的运算得判断D选项. 【详解】 因为11cos2isin211cos21，可，的实部是

zz12cos222cos2222，所以2，所以1cos21，所以01cos22，

所以A选项错误； 当sin20，,时，复数z是实数，故B选项正确； 222z1cos2sin2222cos22cos，故C选项正确：

111cos2isin21cos2isin2z1cos2isin21cos2isin21cos2isin212cos2，

1cos211，故D不正确. 的实部是

z22cos22故选：BC 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

23．BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】 因为复数，

所以其虚部为，即A错误； ，故B正确；

解析：BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】

因为复数z1i， 所以其虚部为1，即A错误；

z12122，故B正确；

复数z的共轭复数z1i，故C正确；

复数z在复平面内对应的点为1,1，显然位于第一象限，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.

24．AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

224225，故D正确.

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

25．ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.

【详解】 因为（1﹣i）z＝

解析：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确. 【详解】

因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确； 因为(1i)2(1i)22i22i20，所以D正确. 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.

226．ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，1i2i3，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误； 对于C选项，由于xyi1i，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则

xyi1i，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数aia0,aR，则aia20，D选项正确.

2故选：ABC.

【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

27．CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数z2i(2i)(1i)13i13i，可得1i(1i)(1i)1i222131310，则A不正确；z的共轭复数为i，则B不正确；z的实|z|()2()2222221313部与虚部之和为2，则C正确；z在复平面内的对应点为(,)，位于第一象限，

2222则D正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】

本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.

28．AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A．根据共轭

解析：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1z20，则z1z2，z1与z2关系分实数和虚数判

断.C.若z1z2R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据

z1z20，得到z1z2，再用共轭复数的定义判断.

【详解】

A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；

B．若z1z20，则z1z2，当z1,z2均为实数时，则有z1z2，当z1，z2是虚数

时，z1z2，所以B是假命题；

C．若z1z2R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题； D. 若z1z20，则z1故选：AD 【点睛】

本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.

29．ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B

解析：ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于2i,也等于2i,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数32i,1i分别对应复平面内的点3,2与点1,1,所以

32i1i表示点3,2与点1,1之间的距离,故A说法正确,B说法错误；

32i1i2i,2i可表示点2,1到原点的距离,故C说法正确；

32i1i1i32i2i,2i可表示表示点2,1到原点的距

离,即坐标为2,1的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】

本题考查复数的几何意义,考查复数的模

30．BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件.

故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.