石城县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）
=2，则四面体D﹣ABC中最长
A． B．2 C． D．3
2． 定义：数列{an}前n项的乘积Tn=a1•a2•…•an，数列an=29﹣n，则下面的等式中正确的是（ ） A．T1=T19 B．T3=T17 C．T5=T12 D．T8=T11
3． 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
4． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个 5． 点A是椭圆
B．256个
C．128个
D．64个
上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B． C． D．
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6． 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A． =﹣0.2x+3.3
B． =0.4x+1.5 C． =2x﹣3.2
D． =﹣2x+8.6
7． 数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．
B．20
C．21
D．31
8． 如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至
少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A．
A．∀x∈R，都有x2＜1
B．
C．
D．
9． 命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（ ）
B．∃x∈R，使得x2＞1
C．∃x∈R，使得x2≥1 D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
10．三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（ ） A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（ 0，2] C．[﹣2，0）∪（ 0，6] D．（0，2]
11．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（ ） A．对任意实数x，都有x＞1 C．对任意实数x，都有x≤1 A．1
B．2
C．3
B．不存在实数x，使x≤1 D．存在实数x，使x≤1
12．若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ）
D．4
二、填空题
13．已知复数
50100
，则1+z+z= ．
14．（文科）与直线x3y10垂直的直线的倾斜角为___________． 15．在矩形ABCD中，16．已知f（x）=
=（1，﹣3），
，则实数k= ．
，则f（﹣）+f（）等于 ．
17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm） ．
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18．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc， 则sinCcos(B2224)取最大值时C ．
三、解答题
19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：
为参数），曲线C2：
=1．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=
20．已知函数
．
（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
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21．已知函数
（1）求f（x）的周期． （2）当
22．已知函数f（x）=（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
23．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一
2
年的销售量为（x﹣10）万件．
．
时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值．
在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；
（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．
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24．（本小题满分10分） 已知函数fxxax2．
（1）若a4求不等式fx6的解集；
（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．
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石城县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•
≥1，
≥2
=2，
因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．
=1时，等号成立，
，
，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=
，故最长棱的长为2．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
2． 【答案】C 【解析】解：∵an=2
9﹣n
，
8+7+…+9﹣n
=∴Tn=a1•a2•…•an=2
819
∴T1=2，T19=2﹣，故A不正确
T3=221，T17=20，故B不正确 T5=230，T12=230，故C正确 T8=236，T11=233，故D不正确
故选C
3． 【答案】 D
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=
=，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=
，∴∠K0D'=
，
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其所对的弧长为故选：D．
=，
4． 【答案】D
=6次，
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．
6
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=64个．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
5． 【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵
∴|AF1|r=2
×|F1F2|r﹣|AF2|r，
|F1F2|．∴a=2=
．
， ，
整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==
故选：B．
6． 【答案】A
【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C； 回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A成立，代入D不成立． 故选：A．
7． 【答案】C
【解析】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21．
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故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
8． 【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 结论．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得
3
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C9=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为故选D． 简单． 9． 【答案】D 故选：D．
=
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1， 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q， ∵a+b+c=6， ∴∴b=
=6， ．
当q＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]．
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故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 “对任意实数x，都有x≤1” 故选C
12．【答案】A
2
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
2
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
二、填空题
13．【答案】 i ． 【解析】解：复数
，
22501002550
所以z=i，又i=﹣1，所以1+z+z=1+i+i=1+i﹣1=i；
故答案为：i．
2
【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i=﹣1．
14．【答案】【解析】
3试题分析：依题意可知所求直线的斜率为3，故倾斜角为考点：直线方程与倾斜角．
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15．【答案】 4 ．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，∴∴
=•
﹣
=（1，﹣3），，
=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=． f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+故答案为：4．
17．【答案】
cm3 ．
【解析】解：如图所示， 由三视图可知：
．
）=f（）=2×=，
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该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
2
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=故答案为：
cm3
cm3，
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
18．【答案】【解析】
4第 11 页，共 15 页
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考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线由（Ⅱ）射线射线所以
20．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=
．
≥0在[1，+∞）上恒成立．
22
为参数）可化为普通方程：（x﹣1）+y=1，
22
可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ（1+sinθ）=2．
与曲线C1的交点A的极径为与曲线C2的交点B的极径满足
．
， ，解得
，
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a易知，此时
，x∈[1，+∞）即可．
=1，所以只需a≥1即可．
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（2）结合（1），令f′（x）==0得．
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当
时，
，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在
上f′（x）＞0，
所以此时f（x）在当
时，
上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；
，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，
．
所以f（x）min=f（e）=
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
21．【答案】 【解析】解：（1）∵函数∴函数f（x）=2sin（2x+∴f（x）的周期T=即T=π （2）∵∴
∴﹣1≤sin（2x+最大值2，2x最小值﹣1，2x
=π ， ）≤2 ==，此时 此时
，
）．
．
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．
22．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=由题意可得，f（）=
，f′（）=，
，
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即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8； （2）设h（x）=ax+﹣h（）=﹣≥0，即a≥， h′（x）=a﹣若≤x≤
，当a≥时，若x＞
，
＜0，g（x）在[，
]上递减，且g（）≥0， ，h′（x）＞0，①
，x≥．
，设g（x）=a﹣
g′（x）=﹣
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
≥0，
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立； 当a＜时，h（）＜0，不合题意． 综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为： L（x）=（x﹣7）（x﹣10）2，x∈[7，9]， 令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），
2
（Ⅱ）L′（x）=（x﹣10）+2（x﹣7）（x﹣10）=3（x﹣10）（x﹣8），
∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0， ∴L（x）在x∈[7，8]上单调递增，在x∈[8，9]上单调递减， ∴L（x）max=L（8）=4；
答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4万元．
【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
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24．【答案】（1）,0【解析】
6,；（2）1,0.
试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：
（1）当a4时，fx6，即恒成立，即1a0.
6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上
x2x42x4或或，
4x2x64xx26x4x26解得x0或x6，不等式的解集为,06,；
考
点：不等式选讲．
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