(全国卷)2008年高考优秀模拟题精选重组·数学试卷(3)

数学试卷（3）

作者：胡亚天

2008.01.29

说明：本试卷满分150分．考试用时120分钟 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考试科目、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答在试卷上无效。 3．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互，那么 P （A·B） = P（A）·P（B） 球的表面积公式S4R 其中R表示球的半径

球的体积公式 V24R3 其中R表示球的半径 3一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q={(x,y)|xPQ,yPQ}，

则P*Q的元素的个数为

A．4个 B．7个

C．10个

D． 12个

（ ）

2．函数f(x)

A．2与－2

3sinxcosx1(xR)的最大值与最小值分别为

B．1与－3

C．3与1

D．3与－3

（ ）

3．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，

值为

A．

aa41的a3，a1成等差数列，则3a4a52

（ ）

51 2B．

51 2C．

15 2D．

5151或 224．设函数f(x)3cos2xsinxcosx

3(0,xR)的最小正周期为，则2

（ ）

它的一条对称轴方程可以是

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A．x B．x12 C．x=

 12D．x

x5．对任意的x(0,1)，下列不等式恒成立的是

6．条件p：|x1|4. 条件q：x5x6则p是q的

A．必要不充分条件 C．充要条件

2（ ）

A．x21 C．tan(xx

B．x21 D．tan(x4)x

4)x

（ ）

B．充分不必要条件

D．既不充分又不必要条件

7．若向量a=（0，1），b=(t,（ ）

3)不共线，且a，b的夹角不超过60°，则t的取值范围为211 ,]

2211C．[,0)(0,]

22A．[33,] 2233D．[,0)(0,]

22B．[8．若将函数f(x)sinxcosx的图象按向量a(m,0)(m0)平移后，所得图象恰好为

函数ysinxcosx的图象，则m的值可以为

A．

D．

（ ）

 4B．

3 4C．

 29．设a(cos2,sin),b(1,2sin1),(

A．

1 3B．

2 7322（ ） ,),若ab，则tan()=

212C． D．

7310．若对x(1,3)，不等式2x3x6(6xa)恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

2223 B．[] ,)

333131C．(,] D．[,)

66A．(,11．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为

A．

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1 5 B．

2 5 C．

4 5 D．

3 1012．已知等差数列{an}的前2006项的和S2006=2008，其中所有的偶数项的和是2，则a1003的值为

A．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知集合M11，，Nx14．设sin

B．2

C．3

D．4

12x14，xZ，则M2N__ . 31 (), tan(),则tan(2)的值等于__ . 52212i15．复数在复平面上对应的点位于第 __ 象限.

34i16．在△ABC中，BC=1，B

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分） 已知△ABC中，AB=4,AC=2,SABC3，当△ABC的面积等于3时，tanC__

（1）求△ABC外接圆面积；（2）求cos(2B+23，)3的值；

18.（本小题满分12分）（理）甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，且

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xyz7(x,y,zN且x4)，乙有一只放有4个红球，2个黄球，1个白球的箱子，

两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜。 （1）用x、y、z表示乙胜的概率；

（2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分。求甲得

分的期望的最大值及此时x、y、z的值.

19.（本小题满分12分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=42a，BC=DE=2a，

∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

若G为PE中点，求证：AG平面PDE；（3）求二面角

（2）

A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离。

20.（本小题满分12分）

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x2y2 如图，已知椭圆221(ab0)，F1、F2分

ab别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2

交椭圆于另一点B. （1）若∠F1AB=60°，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且AF22F2B，求椭圆的方程.

21.（本小题满分12分）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn121anan1.（1） 22anbnn求a1的值；（2） 求数列{an}的通项公式；（3） 已知bn2,求Tna1b1a2b2的值.

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22.（本小题满分12分）（理）已知函数f(x)ln(1x)x, （1）求证：x0时，有（2）数列{an}中,a11,且an(1ln(1x)x。

11)a(n2);1）证明：n1n122nan

7(n2);2）证明：ane2(n1); 4

（全国卷）2008年高考优秀模拟题精选重组

数学试卷（3）参

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一、选择题

1—5 CBBCA 6—12 BDDCA AB 二、填空题 13． 1 14．

7 2415．三 16．23 三、解答题

S17解：依题意，

或AABC113ABACsinA42sinA23,sinA，所以A22232；（1分） 3（1）当A当A32时，BC=23,△ABC是直角三角形，其外接圆半径为2，面积为24；

22222时，由余弦定理得BCABAC2ABACcos164828，33BC22128，面积为;(5分)

2sinA33BC=27,△ABC外接圆半径为R=（2）由（1）知A2，当A时, △ABC是直角三角形，

33321∴B, cos(2B+)=cos ;

6323或A当

A23时,由正弦定理得，

27221,sinB143sinB2,

cos(2B+

)=cos2Bcos-sin2Bsin 3332211215731(1)221422141427(10分) =(1-2sinB)cos-2sinBcosBsin=

33

18解：（1）P（甲胜）=P（甲、乙均取红球）+P（甲、乙均取黄球）+P（甲、乙均取白球）

x4y2z14x2yz777777494x2yz494x2yz1-

4949

，所以P（乙胜）＝

（5分）

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z1zy22y，,P(2)77497749z2y4xx44x4x2yz，E3210 P(1),P(0)14949497749493z4y4x4(xyz)z4z ， （10分）

4949749 （2）设甲的得分为随机变量ξ，则P(3)

x,y,zN,且xyz7,x4,又04x2yz49

∴当z=0时，Eξ取得最大值为（12分）

4，此时x＝5，y=2；或x＝6，y＝1；或x＝7，y＝0.7

19（理）解：（1）证明∵PA=AB=4a，PB=42a,∴PA+AB=PB，∴∠PAB=90°，即PA2

2

2

⊥AB．同理PA⊥AE． ∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE． 3分

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。PAAE，G为PE中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面

PDE （6分）

（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE． 过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过

G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．（ 8分），在直角△PAE中，AG＝22a．在直角△PAD中，AH＝∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝

9分

AG310＝．∴二面角AH1045a，310．10A-PD-E的正弦值为3（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a,

取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形． ∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．

又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．

∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距

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离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，

∴FG=2a． ∴点C到平面PDE的距离为2a．（或用等体积法求）（12分）

20解：（1）若F1AB60,则AF1F2为等边三角形，所以有AF2= F1F2，即a=2c…………2分,所以ec1（4分） a23b,y,22 （2）由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y)，由AF22F2B，解得x

……6分

9b2x2y2911即1，解得a23 代入221得424224abab4ax2y212所以椭圆方程为3…………12分

……10分

21（理）解：⑴ 当n ＝ 1时，

a1s1121a1a11,22解出a1 ＝2

（2分） ②

2 ⑵ 又2sn ＝ an2 ＋ an－2 ① 2sn－1 ＝ an1 ＋ an－2 (n≥2)

222 ①－② 2an ＝ an2－an1 ＋ an－an－1即anan1(anan1)0

∴ (anan1)(anan11)0 anan10anan11（n2）

数列{an}是以2为首项，1为公差之等差数列an21(n1)n1 （7分）

12⑶ Tn22322又2Tn22(n1)2n

③ ④

n2n(n1)2n1

123④－③ Tn22(222n)(n1)2n1n2n1

6822n1(2n1)2n1 (2n1)2n12

n1∴Tnn2 （12分）

22解：（1）∵f(x)ln(1x)x,则f(x)

1x10.(x0)1x1x…2分，

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f(x)在(0,)内是减函数，f(0)0.………………4分，又f(x)在x0处连续.，

f(x)0(x0).即ln(1x)x(x0).………………5分；

（2）1）①当

n2时,a2777;nk时,ak;44②假设4

当

nk1时,ak1(11117)a(1)aakkk4，结论成立， 2k(k1)22k7n2,an.4………………7分 由①②知，对一切

an(112n112n1111)a[1]an1(n2).n1n22n1(n1)n………8分 1],(n1)n

an1(n1).lnanlnan1ln[112n112n1ln[1又由（1），

111]n1(n1)n(n1)n 2………………10分

lnanlnan11111lnan1n1(),(n1)nn1n 2lnan1lnan212n2(1111)lna2lna1(1).n2n1，……22

1111lnanlna1(2n1)(1)22n 2相加，得

11[1()n1]12211n11122()n12,

2nane2

…………………12分

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