一、选择题
1． 底面为矩形的四棱锥PABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥PABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ A．36π C．60π
B．48πD．72π
）
）
2． 设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ A．（，1）
B．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C．（﹣，）
D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
3． 如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③4． 已知双曲线
D．③④
（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=
）
D．
）
与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为
钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ A．
B．
C．
5． 一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（
第 1 页，共 17 页
A．i≤5？B．i≤4？C．i≥4？D．i≥5？
6． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A．4A．1 8． 设实数
，则a、b、c的大小关系为（
）
B．
C．
B．2
D．2
C．
D．2
）
7． 极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c9． 已知函数f(x)cos(x的图象（ A．向右平移
）
3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)22C. 向右平移个单位
3个单位 B．向左平移
22D．左平移个单位
3个单位
10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则
B（ ）111]
A．
4 B．
4或
3 4C．
3或
2 3D．
311．已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为A．
2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
）1111]
2，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（
B．
6
3 C．
2 D．）
2312．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ A．
B．
C．
D． =0.08x+1.23
二、填空题
．
13．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是 第 2 页，共 17 页
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．15．已知双曲线的标准方程为．
16．给出下列命题：①存在实数α，使②函数③
是函数
是偶函数
的一条对称轴方程
m （m∈R）在区间[1，e]上取得x，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为 ④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是 ．
17．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是 ．18．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.
三、解答题
19．设函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数
的最小正周期；
在
上的最大值与最小值．
．
第 3 页，共 17 页
20．设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）m为何值时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．
21．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
1819202122周需求量n
频数
12331X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．
22．
第 4 页，共 17 页
23．已知向量=（x， y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
24．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．
？若存在，说明点D的位置，
第 5 页，共 17 页
第 6 页，共 17 页
石城县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】
【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，又V四棱锥P－ABCD＝1S矩形ABCD·PO
3
2
＝1abR≤R3.
33
2
∴R3＝18，则R＝3，3
∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.2． 【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，所以x的取值范围是（，1），故选：A．
3． 【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D
4． 【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）ex，
第 7 页，共 17 页
∴f′（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，即（x﹣2）ex＞0，∴x﹣2＞0，解得x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．故选：D．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．
5． 【答案】 B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=1，sum=0，s=0
满足条件，i=2，sum=1，s=满足条件，i=3，sum=2，s=满足条件，i=4，sum=3，s=满足条件，i=5，sum=4，s=
+++
++
+
=1﹣+﹣+﹣+﹣=．
由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4．故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
6． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x，则故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
，
第 8 页，共 17 页
7． 【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．故选：A．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
8． 【答案】A【解析】解：∵∴a＜c＜b．故选：A．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数fxcosx，b=20.1＞20=1，0＜
＜0.90=1．
5,f'xsinxcosx，所以函数336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到
325ycosxcosx，故选B.
326考点：函数yAsinx的图象变换.
10．【答案】B【解析】
第 9 页，共 17 页
试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.
4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.11．【答案】A【解析】
考
点：三角函数的图象性质．12．【答案】C【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
二、填空题
13．【答案】 （0，
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
）∪（64，+∞） ．
第 10 页，共 17 页
∴x＞64或0＜x＜．
}
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．【答案】－3e【解析】f′（x）＝减，
当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；
若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－min＝f（－m）e，－
1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m＝－3e.
15．【答案】 （±
【解析】解：双曲线c=
=2
，
，0），
，0） y=±2x ．的a=2，b=4，
1mxm＋2＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递2xxx
mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee可得焦点的坐标为（±
渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±
，0），y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
16．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[错误，
，]，∵
＞，∴存在实数α，使
错误，故①
第 11 页，共 17 页
②函数③当
时，
=cosx是偶函数，故②正确，
=cos（2×
+
）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
17．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则
解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
18．【答案】【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且
，
11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.
32考点：几何体的三视图与体积.
第 12 页，共 17 页
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数
的最小正周期为．
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得因为所以所以所以且当
时，，
，．
．
取到最大值取到最小值
；．
当时，20．【答案】 ∴a﹣b=2，a2﹣b2=12，解得：a=4，b=2；
【解析】解：（1）∵f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），当x∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]，
故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，
（3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，
第 13 页，共 17 页
则t2﹣t=m有两个正解；则
，
解得：m∈（﹣，0）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
21．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，∴
．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X的分布列为
X880094001000010200P0.10.20.30.3∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．
104000.1
22．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
第 14 页，共 17 页
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=
×（）3=×（）2×=
；；
；
，P（X=3），列出分布列，
×（）×（）2=×（）3=
，
∴X的分布列为：X0P即E（X）=0×
123=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
23．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x，∴化简得
，
．…
y），=（1，0），且（+，
）•（﹣
）=0，
∴Q点的轨迹C的方程为
第 15 页，共 17 页
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，yP），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则，从而
，
，…
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．则
，即2m=3k2+1，②
，解得
，
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得故所求的m的取值范围是（，2）．…
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵
=（0，1，），∴
•=（=
且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
，，﹣1），=0，所以DF⊥AE；
．
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：
第 16 页，共 17 页
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵
=（
，，），
=（
，﹣1），
，
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得
或
=
，即
，
=
，
（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
第 17 页，共 17 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容