圆形磁场问题探析

许多学生对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．笔者对该类问题进行归纳总结后，发现几个常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，笔者认为只要针对具体的类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．

一、最值问题的解题关键——抓弦长

1．求最长时间的问题

-2

例1 真空中半径为R=3×10m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=10m / s 的速度，从磁场边界上直径 ab 一端 a 点处射人磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，则若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其人射时粒子初速度的方向应如何？（以 v0 与 Oa 的夹角  表示）最长运动时间多长？

解析：由题意可知，带电粒子在磁场中运动时满足qvBmmvBqv26

r，解得：

r5102由于弦（直径）越长，其对应的圆心角越大，运动时间越长．建立 △m，

O ' ab，作其中垂线 O ' O，如图 2 所示．设粒子运动速度偏转角最大值为 a ，则此时初速度方向与 ab 连线夹角为370，由题意可知：T2mqB2T6.4106s

小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，

但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．

2 ．求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射人如图 3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 O 工轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 x 汤平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．

解析：设圆形磁场的圆心为O2点，半径为r，画出做圆周运动的轨迹 MN ，设圆周运动的圆心为O1，则由图 4 可知，r22R，由运动规律知

qvBmv2R，故r2mv2Bq，则Sr2mv2qB2222

小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长． 二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径

例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向上．在半径为 R 的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点 O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量 m 、电荷量 q ( q > 0 ）且初速为v0的带电粒子，不计重力．调节坐标原点 O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电

微粒的速度必须满足什么条件？

解析：设带电粒子从 O 点以一定角度进人磁场

经偏转从磁场边缘 B 点出射，画出轨迹图如图 6 所示，其中点 A 为圆周运动的圆心，点 C 为圆形磁场的圆心，连接 OA 、 AB 、 OC 、 CB ，由于要让粒子水平出射．则必须 AB / / OC ，又 OC = BC = R ，OA = AB ，根据几何关系可证明四边形 OCBA 为菱形．则 AB =OC =R ，故带电微粒在磁场中做圆周运动的半径等于 R ，根据fqvBm则可解得出射速度v，所以带电微粒的速度必须满足v0BqRmv2R，

小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题．

三、边界交点问题的解题关键 ― 抓轨迹方程 例 4 如图 7 所示，在 x 汤平面内 x＞0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为 O，半径为 R =0.10m ，磁感应强度大小为 B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在 y 轴左侧（图中未画出），并不断沿平行于 x 轴正方向释放出电荷量为q=+1.6×10-19C ，初速度 v0 = 1.6 ×106m / s 的粒子，粒子的质量为 m =1.0×10-26kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从 y 轴任意位置（0，y）入射的粒子离开磁场时的坐标．

解析：根据qvBmv2R得 r=0.2m，再利

用圆方程联立求解．如图 8 所示，设带电粒子从圆形磁场边界的 p 点离开磁场，则 p 点满足xpypR，xp(ryyp)r

222222解得xp0.1(20.03(0.2y)2(0.2y)2)，yp20.03(0.2y)2(0.2y)2

点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维．

四、周期性问题的解题关键——寻找圆心角

1 ．粒子周期性运动的问题

例 5 如图 9 所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为 R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为 B ．现有一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子（不计重力）从 A 点沿 aA 方向射出．求： （1）若方向向外的磁场范围足够大，离子自 A 点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，最后又返回 A 点，求返回 A 点的最短时间及对应的速度．

（2）若向外的磁场是有界的，分布在以 O 点为圆心、半径为 R 和 2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从 A 点沿 QA 方向射出且粒子仍能返回 A 点，求其返回 A 点的最短时间．

解析（1）粒子运动的轨迹如图 10 所示，应用几何方法结合粒子运动规律可以证明，粒子每次穿越两磁场边界即圆 O 的圆周时，其速度方向沿圆 O 的径向，粒子在两个磁场中均做圆周运动，其所有圆心的连线组成正多边形．粒子沿图 10 所示的轨迹（只进人向里的磁场一次）返回 A 点所用时间最短，且最短时间 tmin116T11m3qB，几何关系可知r3R，由动力学规律得

qv1Bmv1r2联立解得v13qBRm

（2）如图 11 所示，设粒子在磁场中运动半径为 r ，若要离

22子运动轨迹不超出边界，则必须满足rRr2R，解得

r34Rnn4.86，故当n=5时，离子返回 A 的时间最短，即

/R，由图11的轨迹和正多边形性质可知

rtan，解得

tmin2T710T27m5qB

2．磁场发生周期性变化

例 6 如图 12 所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置．在两板之间有一匀强电场，场强按如图 13 所示规律变化（沿 y 轴方向为正方向） 在两板正中间有一圆形匀强磁场区域，磁感应强度按图 14 所示规律变化，如果建立如图 12 所示的坐标系，在

t=0时刻有一质量 m=9.0×10kg 、电荷量 q =9.0×10C 的带正电的小球，以v0=1m / s 的初速度沿 y 轴方向从 O 点射入，分析小球在磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时的位置坐标．

解析：小球进入磁场时，对其受力分析，则有 F电=q E =9 ×10 N ；G =mg=9×10N ；f=qvB; 小球在复合场中所受的合力为洛伦兹力，故小球做匀速圆周运动，则 T2mqB-8

-8

-9-6

5s，RmvqB0.1m。分析可知，小球在第一个

60s内轨迹对应的圆心角为

30，当在第二及第三个

060s内，其周期T/2mqB/60s，小

球正好运动 2 个周期；在第四个

60s内，周期T2mqB5s，

小球仍又运动了一段圆心角为 300的圆弧；在第五及第六个内，再运动2个周期；在第 7 个所以t76060s60s时间内运动30，然后离开磁场，轨迹如图15 所示，

0

s，坐标为（ 0 .1 ，0 .1 ) 。

小结对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性．

五、磁场问题的规律 前面分析的四个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点．

（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动．

（2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解． （3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量．

（4）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题．