厦门海沧实验中学2018—2019第二学期高一数学期末综合训练(一)生

厦门海沧实验中学2018—2019第二学期高一数学期末综合训练（一)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（每题5分，共50分)

1．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为( ) A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8

2．已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为 A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知a＞b，则下列不等式成立的是（ ）

A． B．a>b C． D．

2

2

4．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( ) A． B．2 C． D． 5．设l,m表示空间中不同的直线， 表示不同的平面，则下列结论正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 6．直线 与直线 互相垂直，则实数 的值为 A． B． C． D．0

7．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＝3，S3＝15，则a5＝（ ） A．5 B．7 C．9 D．11

8．在△ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，则△ 的形状是

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 9．经过点2,1的直线l到A1,1， B3,5两点的距离相等，则直线l的方程为（ ） A．2xy30 B．x2

C．2xy30或x2 D．都不对

10．过点(2，0)引直线l与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( ) A． B．－ C．± D．－ 试卷第1页，总5页

试卷第2页，总5页

二、填空题（每题5分，共30分)

11．在△ 中， ， ，且 ，则 ___， ____．

x22x412．当x0时，函数y的最小值为 . x13．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM//平面DE;②CN//平面AF;③平面

BDM//平面AFN;④平面BDE//平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号

是 。

N D E

A C B M

F 4，底面边长为 ，则14．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为该球的表面积为__________．

15．直线 上一点 的横坐标是 ，把已知直线绕点 按逆时针方向旋转 后所得的直线方程是________________．

16．已知数列 满足 ，对任意k∈N*，有 ， 成公差为k的等差数列，数列

则 的前n项和 __________

三、解答题（10＋10＋12＋12＋12＋14，共70分) 17．如图，在ABC中， AB36,B（1）求AD的长；

（2）若CD10，求AC的长及ACD的面积.

18．已知圆C： xy2x2ay10(aR且a0)的圆心在直线l1：

224， D是BC边上一点，且ADB3.

xy10上，过点P2,0的直线l2与直线l1垂直， l2交圆C于A， B两点．

（Ⅰ）求a的值及直线l2的方程； （Ⅱ）求弦AB的长．

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19．如图四棱锥 中， 底面 ， 是边长为2的等边三角形，且 ， .

（I）求证：平面 平面 ;

（Ⅱ）若点 是棱 的中点，求直线 与 所成角的余弦值.

20．设等差数列 的前 项和为 ，则 ， . （1）求数列 的通项公式；

（2）设数列 满足 ， ，求 的前 项和 .

试卷第4页，总5页

21．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，直线 平面 ，已知 ， 为线段 的中点。

（1）求证：平面 平面 ；（2）求四棱锥 的体积。

,22．如图， 的边 边所在直线的方程为 满足 ． 点 在 边所在直线上且满足 （I）求 边所在直线的方程； （II）求 的外接圆的方程；

（III）若点 的坐标为 ,其中 为正整数。试讨论在 的外接圆上是否存在点 使得 成立？说明理由.

试卷第5页，总5页

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参

1．B

【解析】由余弦定理，c＝a＋b－2abcos C， 所以49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0， 因为b＞0，所以b＝8. 故选：B 2．C 【解析】 【分析】

利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果. 【详解】

∵等差数列 的公差为2，且 ， ∴ ∴

∴ . 故选：C 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】

利用特殊值法，给 赋值，对选项逐一排除，由此得出正确选项. 【详解】

当 时， ，且 没有意义，故 三个选项错误，选D. 【点睛】

本小题主要考查实数比较大小，主要采用的是特殊值，对 进行赋值，然后排除错误选项.

2

2

2

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属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO＝ ，再求原△ABC的面积. 【详解】

由题图可知原△ABC的高为AO＝ ，

∴S△ABC＝ ×BC×OA＝ ×2× ＝ ，故答案为：A 【点睛】

本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．A 【解析】 【分析】

在正方体中考虑各命题是否成立即可. 【详解】

因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故A正确. 如图，在正方体 ，

对于B，因为 平面 ， 平面 ， ，但平面 平面 ，故B错.

对于C， ， 平面 ， 平面 ，当平面 平面 ，故C错.

对于D， 平面 ， ， 平面 ，但平面 平面 ，故D错. 综上，选A.

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【点睛】

本题考查空间中线、面位置关系，这类判断问题可以选择以正方体为模型验证各判断是否正确，因为正方体提供了线线关系、线面关系和面面关系的各种情形. 6．C 【解析】 【详解】

由直线 与直线 互相垂直，可得 . 解得 . 故选C. 【点睛】

已知两直线的一般方程判定垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知 ， ， ． 7．D 【解析】 【分析】

设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【详解】

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝3，S3＝15， ∴

，解得d＝2．

2＝11． 则a5＝3+4×故选：D．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.

8．B

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【解析】 【分析】

由已知等式利用诱导公式及正弦定理可得 ，则答案可求． 【详解】

由 ，

得 ， 则 ，即 ． △ 的形状是等腰三角形． 故选：B． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查了诱导公式及正弦定理的应用，是基础题． 9．C

【解析】当直线l的斜率不存在时，直线x2显然满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k 则直线l为y1kx2，即kxy12k0 由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：

kk12k4k12，

化简得： kk4或kk4（无解），解得k2

直线l的方程为2xy30

综上，直线l的方程为2xy30或x2 故选C 10．B

【解析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，

∵曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点， ∴圆心O(0，0)，半径r＝ ， ∴OA＝OB＝ ，AB＝2，

∴圆心O(0，0)到直线直线l的距离为1，

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当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，不合题意； 当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y＝k(x－2)， 圆心(0，0)到直线l的距离d＝∵k＜0，∴k＝－.故选B. 11． 【解析】 【分析】

先判断A＜B，B＝2A，再利用正弦定理、二倍角公式求得cosA的值，进而求得A和B，再利用三角形内角和公式求得C的值． 【详解】

△ABC中， ， ，且sin2A＝sinB，∴A＜B，∴B＝2A． 由正弦定理可得 ，则cosA ∴A ，B ，∴C＝π﹣A﹣B ， 故答案为：；．

，

＝1，解得k＝±，

【点睛】

本题主要考查正弦定理、二倍角公式、三角形内角和公式，属于中档题． 12．6 【解析】

x22x444x22x26 试题分析：由于x0，所以函数yxxx考点：基本不等式的应用. 13．①②③④ 【解析】

试题分析：根据所给的展开图，还原成正方体，可以看出四个结论都是正确的.

考点：本小题主要考查立体图形和平面展开图的关系，考查空间直线、平面间的位置关系.

点评：考查空间直线、平面间的位置关系发挥空间想象能力，紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中的条件缺一不可.

14．

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【解析】 【分析】

正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上，求出球的半径，求出球的表面积． 【详解】

如图，正四棱锥 中， 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心 必在正四棱锥的高线 所在的直线上，延长 交球面于一点 ，连接 ， ，

由球的性质可知 为直角三角形且 ，根据平面几何中的射影定理可得 ， 因为 ，

所以侧棱长 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 故答案为： ． 【点睛】

本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 15．

【解析】分析：由题意得，直线过点 ，且与直线 垂直，利用点斜式求得直线的方程.

详解：由题意得，直线过点 ，且与直线 垂直，故直线的斜率为 ， 利用点斜式求得直线的方程 ，即 .

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故答案为： .

点睛：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程. 16． 【解析】 【分析】

由 ， 成公差为 的等差数列可求得 ,从而利用累加法可求得, 代入 可求得结果. 【详解】

当 时， 成公差为1的等差数列， 由于 ，故 ；

同理可得当 时，可以求得 ； ， ， 将上述 个等式相加得 ，

，

，用分组求和与裂项相消法求和即

，

，故答案为

. 【点睛】

本题考查数列的求和，“累加法”的应用，考查裂项法求和与分组求和，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）

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； （3） ；（4）

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

17．(1) AD6 (2) S153 【解析】试题分析：（1）在ABC中由正弦定理可求得AD的长；（2）在ACD中，由余弦定理可得AC14，利用S试题解析：

（1）在ABD中，由正弦定理得

12可得所求面积。 ADDCsin23ADAB， sinBsinADB即AD36 2322∴AD6 （2）∵ADB3，∴ADC2 32 3在ACD中 ，由余弦定理得

AC2AD2DC22ADDCcos1361002610196

2∴AC14 ∴S1213ADDCsin610153. 2322综上AC14， ACD的面积为153。 18．(Ⅰ) xy20；(Ⅱ) 【解析】试题分析：

（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程后得到圆心的坐标，根据圆心在直线l1上可得a的值，再根据直线l2与直线l1垂直得到直线l2的斜率，利用点斜式可得直线l2的方程．（Ⅱ）先求出圆心到直线l2的距离，利用直角三角形三边间的关系求弦长．

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14.

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试题解析：

（Ⅰ）圆方程可化为(x1)2yaa2， ∴圆C的圆心坐标为1,a，半径为a． ∵圆C的圆心在直线l1：xy10上， ∴a112． 又l1l2，

∴直线l2的斜率k1．

∴直线l2的方程为yx2，即xy20， 故所l2的方程为xy20．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C的标准方程为x1y24． ∵圆心C 1,2到直线l2的距离d又圆C的半径r2． ∴AB2rd242222212222， 2114． 2故弦AB的长为14． 19．（I）证明见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

(I)先证出 平面 ,再利用面面垂直的判定定理即可.

(Ⅱ) 取 中点 ，连接 ， ，则 ,可得 或其补角是异面直线与所成的角. 在 中利用余弦定理求解即可. 【详解】

（Ⅰ）证明： 底面 ， 取 中点 ，连接 ，则 , ，

.

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点 共线，即 又 ， 平面

平面 ， 平面 平面 （Ⅱ）解：取 中点 ，连接 ， ，则 或其补角是异面直线与所成的角

中， ， ，即 中， ， . 中， ， ， ，由余弦定理得 中，

所以直线 与 所成角的余弦值为【点睛】

. 本题考查线面垂直的性质定理,判定定理,面面垂直的判定定理,异面直线所成的角的作法及运算,基础题.

20．（1） ， ；（2）

.

【解析】试题分析：（1）利用基本量法，解得 ， ，则 ；（2）利用 型求通项公式得到试题解析：

（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，右 ， 得 ，解得 ， .

因此 ，

（2）由已知

，则

，错位相减法求和。

当 时， ；

当 时，

，

所以

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由（1）知 ，所以 又

，

两式相减得

所以

21．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

.

（1）由 和 即可证得；

（2）作 交 于 ，可得 平面 ，再由

即可得解.

【详解】

(1)因为 平面 ， 所以

又因为 ， 所以 平面 ， 所以平面 平面

(2)由(1)知：平面 平面 ，作 交 于 ，

则 平面 ，因为 ， ， 所以 为等腰三角形

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所以 ， 因为 为线段 的中点.所以

.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的证明及面面垂直的性质，四棱锥的体积的求解，属于常规题. 22．（I） ；（II） ；（III）详见解析. 【解析】 【分析】

，得AC⊥AB，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求（I）由又 在 上且

出AC边所在直线的方程；（II）结合（I）中结论，直线AB,AC的方程联立，得点A；由B、C两点关于M点对称，得△ABC的外接圆是以M为圆心，以AM为半径的圆；（III）若在△ABC的外接圆上存在点P，使得|PN|＝|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在点P；当L与圆M相交或相切时则存在点P．设N点坐标，点N到直线距离d与半径r= 比较，即可得到结论． 【详解】

解: （I）

∴ ，又 在 上 ∴ ， 为 , 又 边所在直线的方程为 ，，所以直线 的斜率为 ． 又因为点 ， 在直线 上，

所以 边所在直线的方程为 ．即 ．

（II） 与 的交点为 ，所以由 ， 解得点 的坐标为 ， ，

∴ ∵

∴ 为 斜边上的中点。即为 外接圆的圆心 又 ． 从 外接圆的方程为: ． （III）由 ， ,知 的斜率为 ，线段 的中点为

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线段 的垂直平分线 为

即

圆 的圆心 到直线 的距离为

i)当 时， ，而 ，由 ＜ ,此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P. ii)当 时， iii)当 时，

＞ ＞ ∴

＜ ，此时直线 与圆 相交，存在满足条件的点P.

＞ ，此时直线 与圆

相离，不存在满足条件的点 .

综上：当n=1或2时，存在点P，当n 时，不存在点P. 【点睛】

本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角三角形的外接圆的性质的应用，两直线的交点、点到直线的距离公式等基础知识，本题考查的知识点较多，要求考生具备综合应用知识的能力，属于中档题．

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