卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ） A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（3，4 ）
2．4） （4分）点（﹣1，在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A．（4，﹣1）
B．（﹣，1）
C．（﹣4，﹣1）
D．（，2）
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC•CD
B．AC是∠BCD的平分线 D．
＝
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
图象上，
D．y3＞y1＞y2
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40
﹣40）cm
）cm
B．（80D．（80
﹣40）cm ﹣160）cm
C．（120﹣40
9．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）若
＝，则＝ ．
12．（5分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
13．（5分）如图，点A在反比例函数y1＝
（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂
足为B，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 ．
14．（5分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落F，D在同一条直线上，AE＝2，在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，则DF＝ ，BE＝ ．
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足你探索△ABC的形状．
16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点． （1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
，且a+b+c＝12，请
18．（8分）“至诚宾馆”客房都有80个房间供游客居住，旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表： 每个房间的定价x（元） 每天入住的房间数y（间）
150 80
200 60
250 48
300 40
（1）请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
（2）对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，求每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润． 五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛 物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？
20．（10分）如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，分别延长BC，CB至点E，点D，使CE＝2cm，∠EAC＝∠D． （1）求证：△ADB∽△EAC； （2）求BD的长．
六.（本题满分12分）
21．（12分）已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABO的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
七.（本题满分12分）
22．（12分）李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
八.（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
（1）求证：△ABC∽△DCA； （2）求证：CA2＝BC•AB；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求
的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ） A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（3，4 ）
解：y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）． 故选：D．
2．（4分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ A．（4，﹣1）
B．（﹣，1）
C．（﹣4，﹣1）
D．（，2）
解：将点（﹣1，4）代入y＝， ∴k＝﹣4， ∴y＝
，
∴点（4，﹣1）在函数图象上， 故选：A．
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，
＝，则
的值是（ ）
A．
B．1 C． D．
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
＝（
）2＝，
） ∴故选：A．
＝，
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC•CD
B．AC是∠BCD的平分线 D．
＝
解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC， 如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有： ①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线； ②
＝
；
故选：C．
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
图象上，
解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣10＜0，
∴此函数图象在二、四象限， ∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限， ∴y1＞0， ∵3＞2＞0，
∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限， ∴y2＜0，y3＜0，
∵函数图象在第四象限内为增函数，3＞2，
∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2． 故选：B．
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴
＝
＝
＝，
故选：C．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴﹣
＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确； ③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确； ④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误； 故选：B．
8．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40
﹣40）cm
）cm
B．（80D．（80
﹣40）cm ﹣160）cm
C．（120﹣40
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝80×
＝40
﹣40，
﹣160，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴
＝
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴
＝
，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：①当0≤t≤时，点Q在AB上， ∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm， ∴BC＝3cm， ∴
＝
，
∴QD＝t，
S△APQ＝×AP×QD＝×t×t＝t2， ②当＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ＝×3×4﹣×（4﹣t）×（8﹣2t）﹣×4×（2t﹣5）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 综上所述，正确的图象是D． 故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）若解：∵
＝，则＝
．
＝，
∴2x+2y＝3x， 故2y＝x， 则＝． 故答案为：．
12．（5分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ﹣5 ．
解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后， 表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3， 则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5， 故答案为：﹣5．
13．（5分）如图，点A在反比例函数y1＝
（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂
足为B，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 6 ．
解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等， ∵点A在反比例函数y1＝象上，AB⊥x轴，
∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6， ∴△APC的面积为6， 故答案为6．
14．（5分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ 2 ，BE＝
﹣1 ．
（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2＝（x＞0）的图
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， ∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°， ∴∠ADF＝∠DCF， ∴△ADE≌△FCD（ASA）， ∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°， ∴∠AFE＝∠DAE＝90°， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴∴
＝
， ，
∴EF＝﹣1（负值舍去），
﹣1， ﹣1．
∴BE＝EF＝故答案为：2，
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足你探索△ABC的形状． 解：令
＝k．
，且a+b+c＝12，请
∴a+4＝3k，b+3＝2k，c+8＝4k， ∴a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8． 又∵a+b+c＝12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）＝12， ∴k＝3．
∴a＝5，b＝3，c＝4． ∴△ABC是直角三角形．
16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点． （1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点， ∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0， ∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1， ∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧， 当x≥1时，y随x的增大而增大， ∴m＜n；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
18．（8分）“至诚宾馆”客房都有80个房间供游客居住，旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表： 每个房间的定价x（元） 每天入住的房间数y（间）
150 80
200 60
250 48
300 40
（1）请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
（2）对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，求每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润． 解：（1）由题意得：
y＝
；
（2）y＝50时，x＝＝240，
（240﹣20+50）×50＝13500．
答：每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润． 五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛 物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？
解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0），
故，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣
x2+x；
（2）由题意可得：当y＝1.5时， 1.5＝﹣
x2+x，
，x2＝4﹣2
，
）
解得：x1＝4+2
故DE＝x1﹣x2＝4+2﹣（4﹣2
＝4．
20．（10分）如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，分别延长BC，CB至点E，点D，使CE＝2cm，∠EAC＝∠D． （1）求证：△ADB∽△EAC； （2）求BD的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，且边长为3cm， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝3cm， ∵∠ABC＝∠D+∠BAD，∠ACB＝∠E+∠EAC， 又∵∠EAC＝∠D， ∴∠E＝∠BAD，
∴△EAC∽△ADB，即：△ADB∽△EAC；
（2）由（1）知，△ADB∽△EAC， ∴
＝
， ，
∴＝
∴DB＝cm， 则BD的长为cm． 六.（本题满分12分）
21．（12分）已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABO的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
解：（1）∵A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝﹣2a•a＝﹣2a， 解得a＝1，m＝﹣2，
∴A（1，﹣2），B（﹣2，1），反比例函数的解析式为y＝﹣． 将点A（1，﹣2）、点B（﹣2，1）代入到y＝kx+b中， 得：
，解得：
，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1， ∴C（﹣1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+（3）观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴不等式kx+b﹣＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1． 七.（本题满分12分）
22．（12分）李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
×1＝；
解：（1）∵除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等，且AE＝xm， ∴IC＝3ID＝3xm，3AE+3AD+5IC＝120， ∴3x+3AD+5×3＝120， ∴AD＝（40﹣6x）m，
∴y＝4x（40﹣6x）＝﹣24x2+160x， ∵AD＞0，40﹣6x＞0， ∴0＜x＜
，
）；
∴y＝﹣24x2+160x（0＜x＜（2）y＝﹣24x2+160x ＝﹣24∵﹣24＜0， ∴x＝
+
，
时，y取得最大值，最大值是．
八.（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
（1）求证：△ABC∽△DCA； （2）求证：CA2＝BC•AB；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求
的值．
解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DCA；
（2）由（1）知△ABC∽△DCA， ∴
，即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴CA2＝BC•AB；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD， ∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BHA＝∠BCD＝90°， 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴
，即AB•BC＝BH•DB，
∴AB•BC＝BD2， 又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2， ∴
＝
．
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