小专题(一) 一元二次方程的解法

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9； (3)t2－

21t＋＝0. 28

参

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

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(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝，y2＝－.

22

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2

＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

441

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－.配方，得x2－2x＋12＝－＋12，即(x－1)2＝－.

333∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．

737737725

(4)移项，得2x2＋7x＝－3.方程两边同除以2，得x2＋x＝－.配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝.

222424416751

直接开平方，得x＋＝±.∴x1＝－，x2＝－3.

442

－（－23）±0

3.(1)∵a＝1，b＝－23，c＝3，b2－4ac＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x＝＝3.∴x1＝x2＝3.

2×1 (2)方程的两边同乘－1，得3x2－5x－2＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－2，b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x＝

－（－5）±495±71

＝，∴x1＝2，x2＝－.

632×3

－3±41－3±41－3＋41－3－41

(3)a＝4，b＝3，c＝－2.b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0.x＝＝.∴x1＝，x2＝.

8882×4 (4)将原方程化为一般形式，得2x2－3x－2＝0.∵a＝2，b＝－3，c＝－2，b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－

6＋226－223±116±22

2)＝11>0，∴x＝＝.∴x1＝，x2＝.

44422

4.(1)x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.

(2)∵(x－3)2－32＝0，∴(x－3＋3)(x－3－3)＝0.∴x(x－6)＝0.∴x＝0或x－6＝0.∴x1＝0，x2＝6.

2

(3)原方程可化为(3x－2)2－(3x－2)＝0，∴(3x－2)(3x－2－1)＝0.∴3x－2＝0或3x－3＝0，∴x1＝，x2＝1.

3 (4)原方程可化为2t2＋4t＋2＝0.∴t2－2t＋1＝0.∴(t－1)2＝0，∴t1＝t2＝1.

(5)移项，得3x＋15＋(2x2＋10x)＝0，∴3(x＋5)＋2x(x＋5)＝0，即(x＋5)(3＋2x)＝0.∴x＋5＝0或3＋2x＝0.∴x13

＝－5，x2＝－.

2

(6)原方程可化为x(x－3)＝(2－x)(x－3)．移项，得x(x－3)－(2－x)(x－3)＝0.∴(x－3)(2x－2)＝0.∴x－3＝0或2x－2＝0.∴x1＝3，x2＝1.

5.(1)变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，即(2x－6)2－(5x－10)2＝0.∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，即(7x－1

16)(－3x＋4)＝0.∴x1＝，x2＝.

73

(2)5(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，整理得5(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.∴(x－3)[5(x－3)－(x＋3)]＝0，即(x－3)(4x－18)＝9

0.∴x－3＝0或4x－18＝0.∴x1＝3，x2＝.

2

(3)方程两边都乘以8，得8t2－42t＋1＝0，∵a＝8，b＝－42，c＝1，∴b2－4ac＝(－42)2－4×8×1＝0.∴t＝－（－42）±022

＝.∴t1＝t2＝. 442×8