注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6小题）. 1．下列各式中，负数是（ ） A．|﹣5|
B．（﹣1）2021
C．﹣（﹣3）
D．（﹣1）0
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
5．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．﹣4
6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为 ． 8．已知α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为 ．
9．“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需圈舍的间数．设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y＝ ．
10．如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC＝∠A，为 ．
，AC＝3，则CD的长
11．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠BAC的余弦值是 ．
12．在矩形ABCD中，边AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）计算：﹣22+|
﹣4|+（）﹣1+2tan60°；
（2）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE，求证△ABE∽△DEF．
14．（6分）先化简（1+入求值．
）÷，再从0，﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代
15．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾． （1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．
16．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上，请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为4
，点B在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某学生会向全校2000名学生发起来了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图1中的m值是 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数是 元和中位数是 元，并求出平均数？
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
19．（8分）图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE（点A、E固定），滑动杆PF和底座AD组成，AC为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE＝60cm，AC＝120cm，收纳时，当滑动端点P向右滑至点C时，滑动杆PF恰好与滑槽AC重合． （1）如图3，当滑动端点P滑至AC的中点B时，求点F到底座AD的距离； （2）当滑动端点P从点B向左滑动到点Q，PF与AD的夹角是70°时，小明观察点F处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长（参考数据：
，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果保留一位小数）．
20．（8分）某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与降价x（元）的关系如图所示． （1）求销量y与降价x之间的关系式；
（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？
（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最大的利润W为多少元？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若ED＝
DB，求证：3OF＝2DF；
（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．
22．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现
当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，
①线段DG与BE之间的数量关系是 ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ． （2）探究
如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用
在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝段DG是多少？（直接写出结论）
，AE＝1，则线
六、解答题（本大题12分）
23．（12分）已知抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0）和点A1（b1，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣b1）2+k2交x轴于点（0，0）和点A2（b2，0），抛物线C3：y3＝﹣yn＝﹣
交x轴于点（0，0）和点A3（b3，0）…按此规律，得抛物线∁n：
交x轴于点（0，0）和点An（bn，0）（其中n为正整数），
我们把抛物线C1，C2，C3…∁n称为抛物线簇． （1）求b1，b2，b3的值以及抛物线y2的解析式； （2）请用含n的代数式表示线段An﹣1An的长；
（3）是否存在某条直线经过以上抛物线簇所有的顶点，若存在请求出直线解析式，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列各式中，负数是（ ） A．|﹣5|
B．（﹣1）2021
C．﹣（﹣3）
D．（﹣1）0
【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
解：A、|﹣5|＝5，不合题意； B、（﹣1）2021＝﹣1，符合题意； C、﹣（﹣3）＝3，不合题意； D、（﹣1）0＝1，不合题意； 故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及有理数的乘方运算、零指数幂的性质等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 解：∵AD＝1，DB＝2， ∴AB＝AD+DB＝3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
＝（
）2＝（）2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可． 解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°， ∴
＝
＝π，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
5．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．﹣4
【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线解析式进行解答．
解：设A（a，b），则B（2a，2b）， ∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上， ∴ab＝﹣2；
∵B点在反比例函数y2＝的图象上， ∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8． 故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
解：当x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形， 面积为：y＝x2，
是一个开口向上的二次函数； 当x＞2时，
重合部分是直角梯形， 面积为：y＝2﹣（x﹣2）2， 是一个开口向下的二次函数． 故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为 5.5×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104． 故答案为：5.5×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．已知α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为 4 ． 【分析】根据根与系数的关系可得αβ＝﹣2以及方程解的定义可得α2﹣3α＝2，然后再对α2﹣3α﹣αβ变形后代入计算即可．
解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根， ∴α2﹣3α﹣2＝0，αβ＝﹣2， ∴α2﹣3α＝2，
∴α2﹣3α﹣αβ ＝（α2﹣3α）﹣αβ ＝2﹣（﹣2） ＝4， 故答案为4．
【点评】本题考查了二元一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义，灵活运用二元一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义是解答本题的关键．
9．“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需圈舍的间数．设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y＝
．
【分析】根据这些圈舍共容纳50只鹿，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出结论．
解：依题意得：6x+4y＝50， ∴y＝故答案为：
．
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及函数关系式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC＝∠A，为 2 ．
，AC＝3，则CD的长
【分析】先证明△BCD∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例的性质求CD的长度．
解：在△BCD和△ACB中， ∵∠C＝∠C（公共角）， ∠DBC＝∠A（已知）， ∴△BCD∽△ACB， ∴∵
＝
， ，AC＝3，
∴CD＝2．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定定理（两个三角形中，有两个角对应相等，则这两个三角形相似）及相似三角形的性质（相似三角形中，对应边成比例）． 11．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠BAC的余弦值是
．
【分析】连接BD，则∠ADB＝90°，由勾股定理得出AB＝角函数定义即可得出答案． 解：如图所示，连接BD，
，AD＝，由锐角三
则∠ADB＝90°，AD＝∴cos∠BAC＝故答案为：
＝．
；
＝，AB＝＝
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键．
12．在矩形ABCD中，边AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于
．
【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD＝90°，AE＝DE＝1，依据勾股定理即可得到BE和BD的长．再分三种情况讨论：①BP＝PE；②PB＝BE；③EB＝EP，即可得到DP的长． 解：分三种情况：
①当BP＝EP时，连接AP并延长交BC于点F，如图1，
∵AE＝AD＝1＝AB， ∴AP垂直平分BE， ∴∠BAF＝45°＝∠AFB， ∴BF＝AB＝1， ∵BF∥AD， ∴△ADP∽△FBP， ∴
＝
＝，
＝
；
∴DP＝BD＝×②当BP＝BE时，如图2，
在Rt△ABE中，BE＝∴BP＝
，
＝，
在Rt△ABD中，BD＝∴DP＝BD﹣BP＝
﹣
；
＝，
③当BE＝PE时，如图3，过E作EF⊥BP于点F，则∠EFD＝∠A＝90°，∠EDF＝∠BDA，
∴△ABD∽△FED，
∴＝，即＝， ﹣
＝
，
∴DF＝，BF＝
∵BE＝PE，EF⊥BP， ∴PF＝BF＝
，
﹣
＝
．
．
．
∴PD＝PF﹣DF＝
综上所述，线段DP的长度等于故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）计算：﹣22+|
﹣4|+（）﹣1+2tan60°；
（2）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE，求证△ABE∽△DEF．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
（2）根据相似三角形的判定方法即可求出答案． 【解答】（1）解：原式＝﹣4+4﹣2＝3．
（2）证明：设AB＝4k， 在正方形ABCD中，
AB＝AD＝CD＝4k，∠A＝∠D＝90°， ∴DF＝k，AE＝ED＝2k， ∴
，
+3+2×
∴△ABE∽△DEF．
【点评】本题考查了实数的运算，相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法． 14．（6分）先化简（1+入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 解：原式＝（
+
）÷
）÷
，再从0，﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代
＝＝
•，
∵a≠±1且a≠﹣2， ∴a＝0， 则原式＝
＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾． （1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案． 解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D， ∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾， ∴甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键． 16．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上，请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．
【分析】（1）利用直尺即可作图；
（2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
【解答】
（1）如图1：连接AO并延长交圆于点D，连接CD，则CD＝AC．CD即为所求作的图形．
ON交于点P，BD（2）如图：连接AC、连接BP交AN于点D，则BD就是边AN上的中线．即为所求作的图形．
【点评】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为4
，点B在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为正方形，得到对角线互相平分且垂直，四条边相等，根据正方形的边长，利用勾股定理求出CD，OD的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出解析式；
（2）分两种情况考虑：若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O，根据△P1BO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，利用三角形面积公式求出P1的纵坐标，代BP2，入反比例解析式即可确定出P1的坐标；若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，同理确定出P2坐标即可．
解：（1）连接AC，交x轴于点D， ∵四边形ABCO为正方形，
∴AD＝DC＝OD＝BD，且AC⊥OB， ∵正方形ABCO的边长为4∴DC＝OD＝
＝4，
，
∴C（﹣4，﹣4），
把C坐标代入反比例函数解析式得：k＝16， 则反比例函数解析式为y＝
（2）∵正方形ABCO的边长为4∴正方形ABCO的面积为32， 分两种情况考虑：
若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O， ∵S△P1BO＝BO•|yP|＝S正方形ABCO＝32，而OB＝∴×8×|yP|＝32， ∴yP1＝8，
把y＝8代入反比例函数解析式得：x＝2， 此时P1坐标为（2，8）；
若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，BP2，
CO＝8，
， ；
同理得到yP2＝﹣8，
把y＝﹣8代入反比例函数解析式得：x＝﹣2， 此时P2（﹣2，﹣8），
综上所述，点P的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某学生会向全校2000名学生发起来了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 人，图1中的m值是 32 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数是 10 元和中位数是 15 元，并求出平均数？ （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；
（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50（人）， ∵
×100%＝32%，
∴m＝32，
故答案为：50、32；
（2）10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数据的众数是10元，因为共有50人，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则本次调查获取的样本数据的中位数是
＝15（元），
×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝
本次调查获取的样本数据的平均数是：16（元）， 故答案为：10，15；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为2000×32%＝640（人）． 【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点，理解统计图中数量关系是解决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数量关系是常用的方法，体会样本估计总体的统计方法．
19．（8分）图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE（点A、E固定），滑动杆PF和底座AD组成，AC为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE＝60cm，AC＝120cm，收纳时，当滑动端点P向右滑至点C时，滑动杆PF恰好与滑槽AC重合． （1）如图3，当滑动端点P滑至AC的中点B时，求点F到底座AD的距离； （2）当滑动端点P从点B向左滑动到点Q，PF与AD的夹角是70°时，小明观察点F处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长（参考数据：
，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果保留一位小数）．
【分析】（1）连接AF，利用直角三角形的判定和勾股定理解答即可； （2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，根据直角三角形的三角函数解答即可．
解：（1）如图1，
连接AF，由题意可知AB＝AE＝BE＝EF＝60， ∴△ABF是直角三角形，且∠FAB＝90°， ∴FA＝（2）如图2，
≈103.8（cm），
过点E作EM⊥AB，垂足为M， 设BQ＝x，则MQ＝AQ＝在Rt△EMQ中，cos∠MQE＝
，
，
∴cos70°＝，
即，
解得：x≈19.2（cm）， ∴此时滑动的距离约为19.2cm．
【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
20．（8分）某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与降价x（元）的关系如图所示． （1）求销量y与降价x之间的关系式；
（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？
（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最大的利润W为多少元？
【分析】（1）设销量y与降价x之间的关系式y＝kx+b，将点（2，24）、（4，28）代入上式，即可求解；
（2）由题意得：（80﹣x﹣50）（2x+20）＝750，即可求解；
（3）由题意得：W＝（80﹣x﹣50）（2x+20）＝﹣2（x﹣10）2+800，即可求解． 解：（1）设销量y与降价x之间的关系式y＝kx+b， 将点（2，24）、（4，28）代入上式得故销量y与降价x之间的关系式y＝2x+20；
（2）由题意得：（80﹣x﹣50）（2x+20）＝750， 解得x＝5或15（元），
故该玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；
（3）由题意得：W＝（80﹣x﹣50）（2x+20）＝﹣2（x﹣10）2+800， ∵﹣2＜0，
故当x＝10（元）时，W的最大值为800（元）．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择得到最大利润．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若ED＝
DB，求证：3OF＝2DF；
，解得
，
（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．
【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC＝∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC＝OB，于是得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）如图1，根据三角函数的定义得到∠E＝30°，求得∠EBD＝∠COE＝60°，得到OC＝OE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG， ∵AC＝CG， ∴
＝
，
∴∠ABC＝∠CBG， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图1，∵CD⊥BG， ∴∠BDE＝90°， ∵ED＝∴tanE＝
DB， ＝
，
∴∠E＝30°，
∴∠EBD＝∠COE＝60°， ∴OC＝OE， ∴OC＝OA＝AE， ∵OC∥BD，
∴△EOC∽△EBD， ∴
∵OC∥BD， ∴△COF∽△BDF， ∴
， ，
∴3OF＝2DF；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H， ∵∠E＝30° ∴∠EBD＝60°，
∴∠CBD＝∠EBD＝30°， ∵CD＝3， ∴BD＝3
，DE＝9，BE＝6
，
，
∴AE＝BE＝2∴AH＝
，
∴EH＝3， ∴DH＝9﹣3＝6， 在Rt△DAH中，AD＝
＝
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和
性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现
当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，
①线段DG与BE之间的数量关系是 DG＝BE ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 DG⊥BE ． （2）探究
如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用
在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝段DG是多少？（直接写出结论）
，AE＝1，则线
【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△ABE和△DAG中，∴△ABE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， 由①知，△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG，
，
∵∠AQB+∠ABE＝90°， ∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴
＝，
∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE＝90°， ∴∠AGB+∠ADG＝90°， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG；
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） EG与AD的交点记作M， ∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°， 在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝∵AB＝
，
，
∴EG＝AB， ∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4， ∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴∴
＝， ，
＝2，
∴DG＝4．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断
出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键． 六、解答题（本大题12分）
23．（12分）已知抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0）和点A1（b1，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣b1）2+k2交x轴于点（0，0）和点A2（b2，0），抛物线C3：y3＝﹣yn＝﹣
交x轴于点（0，0）和点A3（b3，0）…按此规律，得抛物线∁n：
交x轴于点（0，0）和点An（bn，0）（其中n为正整数），
我们把抛物线C1，C2，C3…∁n称为抛物线簇． （1）求b1，b2，b3的值以及抛物线y2的解析式； （2）请用含n的代数式表示线段An﹣1An的长；
（3）是否存在某条直线经过以上抛物线簇所有的顶点，若存在请求出直线解析式，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的性质可得问题的答案； （2）根据（1）的规律可得问题的答案；
（3）将（0，0）代入C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1，得k1＝2，将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，得k2＝4，将（0，0）代入C3：y3＝﹣（x﹣4）2+k3，得k3＝8，根据规律可得点的坐标，由点的坐标可得直线的解析式．
解：（1）∵抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0） ∴抛物线与x轴另一交点为（2，0） ∴b1＝2
同理可得，b2＝4，b3＝8，
将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，0＝﹣（﹣2）2+k2， ∴k2＝4， ∴
，
（2）由（1）规律可得，b1＝2，b2＝22，b3＝23…bn＝2n， ∴An﹣1An＝An﹣An﹣1＝bn﹣bn﹣1＝2n﹣2n﹣1 （3）存在，
将（0，0）代入C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1，得k1＝2， 将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，得k2＝4， 将（0，0）代入C3：y3＝﹣（x﹣4）2+k3，得k3＝8， 由规律可得，将（0，0）代入Cn：yn＝﹣
（x﹣2n﹣1）2+kn，得kn＝2n，
抛物线族顶点坐标可表达为（bn﹣1，kn），即（2n﹣1，2n）， 可得直线解析式为y＝2x．
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