高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)

内容概要

名称 不 定 积 分 计 算 方 法 性 质 不 定 积 分 的 概 念 设主要内容 f(x)， xI，若存在函数F(x)，使得对任意xI均有 F(x)f(x) f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分，记为 或dF(x)f(x)的全部原函数称为f(x)在区间If(x)dxF(x)C 注：（1）若（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则f(x)连续，则必可积；F(x)G(x)C。故不定积分的表达式不唯一。 性质1：性质2：性质3： 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 df(x)dxf(x)dx； f(x)dxf(x)或ddxF(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C； [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx，,为非零常数。 设f(u)的 原函数为F(u)，u(x)可导，则有换元公式： f((x))(x)dxf((x))d(x)F((x))C 设x(t)单调、可导且导数不为零，则 f[(t)](t)有原函数F(t)，f(x)dxf((t))(t)dtF(t)CF(1(x))C 分部积分法 u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解

习题4-1

1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

xdx2x

52思路: 被积函数 1x2x52x，由积分表中的公式（2）可解。

解：

xdx22xdxx2C

3x1x)dx

3★(2)

3(x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

3解：(x)dx(xx)dxxdxxdxx32x2C

4x311312131241★(3)（2xx2）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2x）dx2dxxdxxC 解：ln23x2x2★(4)

x(x3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：

2x(x3)dxxdx3xdxx22x2C

53212533x43x21★★(5)x21dx

3x43x21123x思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x1x1分。

2

3x43x21123dx3xdxdxxarctanxC 解：1x2x21x2★★(6)1x2dx

x2x21111思路:注意到

1x21x21x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

x21dxdx解：1x2dxxarctanxC.

1x2注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分

解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)（x134-+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411+-）dxxdxdx3x3dx4x4dx 2xx3x42x134x2ln|x|x2x3C. 42332(1x21x2)dx

★(8)

思路:分项积分。 解：(3211)dx3dx2dx3arctanx2arcsinxC. 2221x21x1x1x★★(9)

xxxdx

111248思路:xxx？看到xxxx解：

x78，直接积分。

8xxxdxxdxx8C.

151x2(1x2)dx

7815★★(10)

思路:裂项分项积分。

3

解：

111111dx()dxdxdxarctanxC. x2(1x2)x21x2x21x2xe2x1dx ★(11)xe1e2x1(ex1)(ex1)xxdxdx(e1)dxexC. 解：xxe1e1★★(12)

xx3edx

xxx思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e（3e）。

x（3e）（3e）dxC. 解：3edxln(3e)xxx★★(13)

2cotxdx

22思路:应用三角恒等式“cotxcscx1”。 解：cot2xdx(csc2x1)dxcotxxC

23x52x★★(14)3xdx

思路:被积函数

23x52x2x2（5），积分没困难。 x33x2()x23522x3解：dx（2（5））dx2x5C. x33ln2ln32x★★(15)cos2dx

x思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

x1cosx11ddxxsinxC. 22221★★(16)1cos2xdx

解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解：

11112dxdxsecxdxtanxC. 1cos2x2cos2x22 4

★(17)

cos2xcosxsinxdx

22思路:不难，关键知道“cos2xcosxsinx(cosxsinx)(cosxsinx)”。

cos2xcosxsinxdx(cosxsinx)dxsinxcosxC.

cos2x★(18)cos2xsin2xdx

解：

思路:同上题方法，应用“cos2xcosxsinx”，分项积分。

22cos2xcos2xsin2x11dxdxdxx 解：222222cosxsinxcosxsinxsinxcosxcsc2xdxsec2xdxcotxtanxC.

★★(19)

(1x1x)dx 1x1x1x1x1x1x21x1x1x21x21x2，应用公式(5)即可。

思路:注意到被积函数

解：(1x1x1)dx2dx2arcsinxC.

21x1x1x1cos2x★★(20)1cos2xdx

思路:注意到被积函数

1cos2x1cos2x112secx，则积分易得。

1cos2x222cos2x1cos2x11tanxxdxsec2xdxdxC. 解：1cos2x222★2、设

xf(x)dxarccosxC，求f(x)。

d[f(x)dx]f(x)即可。 dx知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：

xf(x)11x2,f(x)1x1x2

5

★3、设

f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，f(x)sinxdxcosxC1

所以

f(x)的原函数全体为：（cosxC1）dxsinxC1xC2。

ex12xxx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数

chx-shx2知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。 解：

exd1dde2x，而[(e2x)][exshx][exchx]e2x

chxshxdx2dxdx2★5、一曲线通过点(e,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积

函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为yf(x)，由题意可知：

又点(e2d1[f(x)]，f(x)ln|x|C； dxx,3)在曲线上，适合方程，有3ln(e2)C,C1，

所以曲线的方程为

f(x)ln|x|1.

★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是3tt2(m/s)，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的

关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：yf(t)，

6

则由速度和位移的关系可得：

d[f(t)]3t2f(t)t3C， dtf(0)0,C0,f(t)t3。

又因为物体是由静止开始运动的，(1)

3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)3327米；

3(2)令t360t3360秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。

知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx111d(7x3);(2)xdxd(1x2);(3)x3dxd(3x42); 72121dx1dx1d(e2x);(5)d(5ln|x|);(6)d(35ln|x|);2x5x5

1dx1dx1(7)dt2d(t);(8)d(tan2x);(9)d(arctan3x).223cos2x219xt(4)e2xdx2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形

式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

★（1）

3tedt

思路:凑微分。 解：edt3t13t13ted(3t)eC 333★(2)

(35x)dx

3思路:凑微分。

311(35x)4C 解：(35x)dx(35x)d(35x)5201★(3)32xdx

思路:凑微分。

7

解：

★(4)

1111dxd(32x)ln|32x|C. 32x232x21353xdx

思路:凑微分。

1211111dx3d(53x)(53x)3d(53x)(53x)3C. 解：3353x3253x★(5)

(sinaxexb)dx

思路:凑微分。

1x1解：(sinaxe)dxsinaxd(ax)bebd()cosaxbebC

aba★★(6)

xbxxcosttdt

12t思路:如果你能看到d(t)dt，凑出d(t)易解。

解：

costt10dt2costd(t)2sintC

★(7)

tanxsec2xdx

思路:凑微分。 解：tan★★(8)

10xsec2xdxtan10xd(tanx)1tan11xC. 11dxxlnxlnlnx

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：

dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)xlnxlnlnxlnxlnlnxlnlnxln|lnlnx|C

2tan1x★★(9)

xdx1x2

思路:本题关键是能够看到xdx1x2 是什么，是什么呢？就是d1x2！这有一定难度！

8

解：tan1x2xdx1x2tan1x2d1x2ln|cos1x2|C

★★(10)

dxsinxcosx

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x2sinxcosx。

dx2dxsinxcosxsin2xcsc2xd2xln|csc2xcot2x|C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

dxcosx112dxsecxdxsinxcosxsinxcos2xtanxtanxdtanxln|tanx|C

方法三： 三角公式sinxcosx1，然后凑微分。

22dxsin2xcos2xsinxcosxdcosxdsinxdxdxdxsinxcosxsinxcosxcosxsinxcosxsinx

ln|cosx|ln|sinx|Cln|tanx|C

★★(11)

dxexex

。

dxexdxdexdex思路:凑微分：xeexe2x11e2x1(ex)2dxexdxdexx解：xarctaneC x2xx2eee11(e)★(12)

xcos(x2)dx

思路:凑微分。 解：xcos(x)dx211222cosxdxsinxC 22★★(13)

xdx23x2

思路:由1dx21d(23x2)凑微分易解。 222223x623x23xxdx 9

解：

11d(23x2)1122(23x)d(23x2)23x2C

66323x223x2xdx★★(14)

2cos(t)sin(t)dt

思路:凑微分。

解：cos(t)sin(t)dt212cos(t)sin(t)dtcos12(t)dcos(t)

1cos3(t)C. 33x3★★(15)1x4dx

思路:凑微分。

3x334x33131344dxdxdxd(1x)ln|1x4|C. 解：4441x441x41x41x4★(16)

sinxcos3xdx

思路:凑微分。 解：

sinx111dxdcosxC. 2cos3xcos3x2cosx★★(17)

x92x20dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：

111dxdx10102x20102x20x911(x102)21x10darcsin()C

2102x10★★(18)

1x94x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

1x94x2dx194x2dxx94x2dx

10

12x11dd4x222x23894x1（）3112x11 dd（94x2）222x23894x1（）312x1arcsin()94x2C.234★★(19)

12dx2x21

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

dxdx111(2x21(2x1)(2x1)22x12x1)dx

1221(11)d2x2x12x11111d(2x1)d(2x1)ln2x1222x1222x1C.2x1

22★(20)

xdx(45x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

xdx145x4111（）dx（4）d(45x) 2(45x)25(45x)22545x(45x)1141141d(45x)d(45x)ln|45x|C.

2545x25(45x)2252545xx2dx★(21)(x1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x11)2dx(x1)2(x1)1(2解：(x1)100(x1)100(x1)100)dx

(x1)100(x1)100(1112)d(x1) 9899100(x1)(x1)(x1) 11

111111C. 97989997(x1)49(x1)99(x1)★★(22)

xdxx81

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

xdxxdx1111112()xdx()dx 8444444x1(x1)(x1)2x1x14x1x111111111222[()]dx[d(x1)d(x1)]2242242x1x1x18x1x1 2111x1122dx2ln|2|arctanx2C.4(x)18x14★(23)

3cosxdx

思路:凑微分。cosxdxdsinx。

解：cos3xdxcos2xcosxdxcos2xdsinx(1sin2x)dsinx

1sinxsin3xC

3★★(24)

2cos(t)dt

思路:降幂后分项凑微分。 解：cos(t)dt21cos2(t)11dtdt24cos2(t)d2(t)

211tsin2(t)C 24★★★(25)

sin2xcos3xdx

111(sin5xsinx)dxsin5xd5xsinxdx 2102思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin2xcos3xdx11cos5xcosxC 102★★★(26)

sin5xsin7xdx

思路:积化和差后分项凑微分。

12

解：sin5xsin7xdx111(cos2xcos12x)dxcos2xd2xcos12xd(12x) 242411sin2xsin12xC. 424★★★(27)

3tanxsecxdx

思路:凑微分tanxsecxdxdsecx。

解：tan3xsecxdxtan2xtanxsecxdxtan2xdsecx(sec2x1)dsecx

1sec2xdsecxdsecxsec3xsecxC

3★★(28)

10arccosx1x2dx

思路:凑微分11x2dxd(arccosx)。

解：

10arccosx1x2dx10arccosx10arccosxdarccosxC.

ln10★★(29)

(arcsinx)11xdx21x2

思路:凑微分2dxd(arcsinx)。

解：

(arcsinx)dx21x2dx

darcsinx1C

arcsinx(arcsinx)2★★★★(30)

arctanxx(1x)arctanxx(1x)思路:凑微分dx2arctanx1(x)2dx2arctanxd(arctanx)。

解：

arctanxx(1x)dx2arctanx1(x)2dx2arctanxd(arctanx)

(arctanx)2C

★★★★(31)

lntanxcosxsinxdx

2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，

13

lntanxlntanxlntanx2lntanxdxdxsecxdxdtanx

cosxsinxtanxtanxcos2xtanx1lntanxd(lntanx)d((lntanx)2)

2lntanxlntanxlntanx解：dxdxdtanxlntanxd(lntanx) 2cosxsinxtanxcosxtanx1(lntanx)2C 2★★★★(32)

1lnx(xlnx)2dx

思路:d(xlnx)(1lnx)dx 解：

1lnx11dxd(xlnx)C (xlnx)2(xlnx)2xlnx★★★★(33)

dx1ex

解：方法一：

思路:将被积函数的分子分母同时除以 e，则凑微分易得。

xdxex11xxxdxd(e)1exex1ex1ex1d(e1)ln|e1|C

方法二： 思路:分项后凑微分

dx1exexex1xdx1dxdxx1ex1ex1ex1exd(1e)

xln|1e|Cxln(e|e x(lneln|e方法三：

思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 e，裂项后凑微分。

xxxxxx1|)C

1|)Cln|ex1|C

dxexdxdex1x11xdelned(1ex) xxxxxxxx1ee(1e)e(1e)1ee1e xln|1e|Cln|exx1|C

14

★★★★(34)

dxx(x64)

解：方法一: 思路：分项后凑积分。

dx14dx1x64x6dx11x56dx x(x64)4x(x64)4x(x64)4xx411d(x64)116ln|x|ln|x4|C ln|x|6424x4424方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令x，则dx1t1dt。 2tdxt11d(4t6)1d(4t61)(2)dt2414t62414t6x(x64)1t4 t6114ln(14t6)Cln(16)C.2424x★★★★(35)

dxx8(1x2)

解：方法一: 思路：分项后凑积分。

dx1x8x8(1x2)(1x2)(1x4)dxdxdxx8(1x2)x8(1x2)1x2 x8(1x2)1x2x4x6dxdx (1x)(1x) x8 ( 11111)dxdx 86422xxxx1x111111xlnC 7x75x53x3x21x方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。

15

令x11，则dx2dt。 ttdxt81t816428(dt)dt(ttt1)dt t211x(1x2)t2t2112t1111642)dt(ttt1)dt()dt22t1t1t11111t1111111111xt7t5t3tln||Cln||C7532t17x75x53x3x21x(t6t4t21)dt(3、求下列不定积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。

思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式

起到了重要的作用。

sin2xcos2x1;sec2xtan2x1.

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。

★★★(1)

1dx1x2

思路:令xsint,t解：令xsint,t2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。

，则dxcostdt。

2dxcostdtdtdtttdtttsec2d

t1cost1cost2211x22cos2211x2txC） ttanCarcsinxC.（或arcsinx2x211x（万能公式tantsint1cost，又sintx时，cost1x2） 21costsint★★★(2)

x29dx x思路:令x3sect,t(0,解：令x3sect,t(0,2)，三角换元。

)，则dx3secttantdt。

2 16

x293tantdx3secttantdt3tan2tdt3(sec2t1)dtx3sect

33tant3tCx293arccosC.|x|3 （x3secx时，cosx,sinxx★★★(3)

x29,tanxxx29） 3dx(x1)23

思路:令xtant,t解：令xtant,t2，三角换元。

2，则dxsectdt。

2sec2tdtdtxcostdtsintCC 3232sectsect(x1)1xdx★★★(4)

dx(xa)223

思路:令xatant,t解：令xatant,t2，三角换元。

2dxasec2tdtdt113322costdt2sintCasectasectaa(x2a2)3，则dxasectdt。

2xa2

ax22C.★★★★(5)

xx214dx

x12思路:先令ux，进行第一次换元；然后令utant,t2，进行第二次换元。

1x21解：dxdx2，令ux2得：

2x2x41xx41x211u12utant,t，令，则dusectdt， dxduxx412uu212x21 17

1u11tant11tant12dusectdtsectdt4222tantsect2tantxx1uu1111(csctsect)dtlnsecttantlncsctcottC222dx11lnu21uln22u2111Clnuu21x1xln242x21

x411C.x2（与课本后答案不同）

★★★(6)

54xx2dx

思路:三角换元，关键配方要正确。 解：

54xx29(x2)2，令x23sint,t2，则dx3costdt。

54xx2dx9cos2tdt91cos2tt1dt9(sin2t)C2249x2x2arcsin54xx2C.232★★4、求一个函数

f(x),满足f'(x)11x，且

f(0)1。

思路:求出11x11x的不定积分，由条件

f(0)1确定出常数C 的值即可。

解：

dx11xd(x1)21xC.

令f(x)21xC，又f(0)1，可知C1，

f(x)=21x1.

★★★5、设Intannxdx,，求证：Inn1tann1xIn-2，并求tan5xdx。 n1n2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：

tann2x(sec2x1)tann2xsec2xtann2x，分项积分即可。

证明：Intanxdx(tannn2xsec2xtann2x)dxtann2xsec2xdxtann2xdx

18

tann2xdtanxIn21tann1xIn2.n1111n5时，I5tan5xdxtan4xI3tan4xtan2xI1

4421111tan4xtan2xtanxdxtan4xtan2xlncosxC.4242习题4-3

1、 求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则

进行分部积分的练习。

★（1）

arcsinxdx

00思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分

号下，凑微分后仍为dx。

解：arcsinxdxxarcsinxx11x2dxxarcsinx11d(1x2) 21x2xarcsinx1x2C.

★★（2）

ln(1x2)dx

思路：同上题。

2x2x22dxxln(1x)dx 解：ln(1x)dxxln(1x)x221x1x222(x21)2dx2xln(1x)dxxln(1x)2dx21x2 1x2xln(1x2)2x2arctanxC.2★（3）

arctanxdx

思路：同上题。

dx1d(1x2)xarctanx解：arctanxdxxarctanxx 1x221x2 19

1xarctanxln(1x2)C

2x2x★★(4)esindx 2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

xx12x12xx12x1x2xesindxsind(e)esinecosdx 222222221x1x1e2xsincosd(e2x)224221x11x1xe2xsin(e2xcose2xsindx)2242242

12xx12xx12xxesinecosesindx2282162x2e2xxx2xesindx(4sincos)C.21722★★(5)

2xarctanxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x313131dx 解：xarctanxdxarctanxd()xarctanxx3331x22

131x3xx131xxarctanxdxxarctanx(x)dx 22331x331x111x1312112x3arctanxxdxdxxarctanxxd(1x)223331x3661x

111x3arctanxx2ln(1x2)C.366★(6)

xxcosdx 2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xcosdx2xdsinx2xxxxxx2xsin2sindx2xsin4sind 222222

★★(7)

xx2xsin4cosC.

22xtan2xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

20

解：xtan2xdxx(sec2x1)dx(xsec2xx)dxxsec2xdxxdx

11xd(tanx)xdxxtanxtanxdxx2xtanxlncosxx2C.

22★★(8)

2lnxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：lnxdxxlnxx2lnxdxxlnx2lnxdxxlnx2xlnx2xdx

221x221xxln2x2xlnx2dxxln2x2xlnx2xC.

★★(9)

xln(x1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x2121x2xln(x1)dx 解：xln(x1)dxln(x1)d222x1

121x211111xln(x1)dxx2ln(x1)(x1)dx 22x122x112111xln(x1)x2xln(x1)C 2422ln2x★★(10)x2dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln2x1121112lnx2解：2dxlnxd()lnx2lnxdxlnx22dx

xxxxxxx11121122ln2x2lnxd()ln2xlnx22dxln2xlnxC

xxxxxxxx12 (lnxlnx2)C

x★★(11)

coslnxdx

1coslnxdxxcoslnxxsinlnxdxxcoslnxsinlnxdx x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

21

1xcoslnxxsinlnxxcoslnxdxxcoslnxxsinlnxcoslnxdxx

xcoslnxdx(coslnxsinlnx)C.2★★(12)

lnxx2dx

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。

★★(13)

nxlnxdx(n1)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

xn11n11n11xlnxxdx 解：xlnxdxlnxdn1n1n1xn★★(14)

1n11n1n11xlnxxdxxlnxC. n1n1n1(n1)xe2xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：x2exdxx2exex2xdxx2ex2xex2exdx

x2ex2xex2exCex(x22x2)C

★★(15)

32x(lnx)dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx(lnx)d(x)3221441411x(lnx)2x42lnxdx 44x14111x(lnx)2x3lnxdxx4(lnx)2lnxdx442481111111x4(lnx)2x4lnxx4dxx4(lnx)2x4lnxx3dx 488x48811111x4(lnx)2x4lnxx4Cx4(2ln2xlnx)C.483284★★(16)

lnlnxxdx

lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。 x思路： 将积分表达式

22

解：

lnlnx111dxlnlnxd(lnx)lnxlnlnxlnxdxlnxlnlnxxlnxxxdx

lnxlnlnxlnxClnx(lnlnx1)C.

★★★ (17)

xsinxcosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

11111xsin2xdxxd(cos2x)xcos2xcos2xdx 222441111xcos2xcos2xd2xxcos2xsin2xC.

484822x★★(18)xcosdx 21cosx2x思路：先将cos降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺

22解：xsinxcosxdx序凑微分即可。

解：xcos22x1111dx(x2x2cosx)dxx2dxx2cosxdx 222221312111xxdsinxx3x2sinx2xsinxdx62622

1111x3x2sinxxdcosxx3x2sinxxcosxcosxdx62621312xxsinxxcosxsinxC 62★★(19)

(x221)sin2xdx

思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：(x1)sin2xdx1122xsin2xdxsin2xdxxd(cos2x)cos2x 2211111x2cos2x2xcos2xdxcos2xx2cos2xxdsin2x2222211111cos2xx2cos2xxsin2xsin2xdxcos2x22222

12111xcos2xxsin2xcos2xcos2xC224211313xx2cos2xxsin2xcos2xC(xsin2x)cos2xsin2xC.224222★★★(20)

xedx

3 23

思路：首先换元，后分部积分。 解：令t33x，则xt3,dx3t2dt,

exdxet3t2dt3ett2dt3t2det3t2et32tetdt3t2et32tdet3t2et6ett6etdt3t2et6ett6etC 33x2e★★★(21)

3x6e3x3x6e3xC3ex(3x223x2)C.32(arcsinx)dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：(arcsinx)dxx(arcsinx)x222arcsinx1x2dx

x(arcsinx)2arcsinx1x2d(1x2)x(arcsinx)22arcsinxd(1x2)

x(arcsinx)221x2arcsinx21x211x2dxx(arcsinx)221x2arcsinx2dxx(arcsinx)221x2arcsinx2xC.★★★(22)

x2esinxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：

x22xx2xesinxdxsinxdeesinxe2sinxcosxdx

exsin2xexsin2xdxexsin2xdxsin2xdeesin2xe2cos2xdxesin2x2cos2xdexxxxx

exsin2x2excos2x4exsin2xdxex(sin2x2cos2x) esin2xdxC5exx2esinxdx(5sin2xsin2x2cos2x)C5x方法二：

x2xesinxdxe1cos2x1111dxexdxexcos2xdxexexcos2xdx 22222 24

excos2xdxcos2xdexexcos2xex2sin2xdxexcos2x2sin2xdex

excos2x2exsin2x4excos2xdxex(cos2x2sin2x) ecos2xdxC5ex1x1x2esinxdxesin2xexcos2xC2510x★★★(23)

ln(1x)xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

ln(1x)2xdxln(1x)d(2x)=2xln(1x)x1xdx

令tx，则dx2tdt,

2xt21dx4dt4dt4dt4t4arctantC22 1x1t1t4x4arctanxC所以原积分

ln(1x)xdx2xln(1x)4x4arctanxC。

ln(1ex)★★★(24)exdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln(1ex)exxxxxxdxln(1e)d(e)eln(1e)edx 解：xxe1eex1xxxeln(1e)dxeln(1e)d(1e)xx 1e1eexln(1ex)ln(1ex)C.xx1。 1exdx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）

1x★★★(25)xln1xdx

注：该题中

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

25

解：xln1x1x12121x121x1x1xdxlnd(x)xlnxdx 21x1x221x21x(1x)121xx2121x1xlndxxlndxdx2221x1x21x1x 121x111121x1xlnx()dxxlnxln(1x)ln(1x)21x21x1x21x2121x11x11xxlnxlnC(x21)lnxC 21x21x21x1x注： 该题也可以化为 xlndxx[ln(1x)ln(1x)]dx再利用分部积分法计算。

1x1xx2xln1xdxx[ln(1x)ln(1x)]dx[ln(1x)ln(1x)]d2 x21xx211x21xx2ln[]dxlndx 21x21x1x21x1x2x21x1x21x21x111lndxlndx[]dx 221x1x21x21x1xx21x11xlnxlnC 21x21x★★★(26)

dxsin2xcosx

dxsec2xdxdtanxdx思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。 22sinx2sinx2sinxcosxsin2xcosxdxdxsec2xdxdtanx解：2sinx

sin2xcosx2sinxcos2x2sinxtanx1tanx1tanx(cscxcotx)dxcscxdx2sinx22sinx2 1(secxlncscxcotx)C.22、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍

然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)

3xxedx

26

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedxxd(e)3x133x13x13x1111xeedxxe3xe3xd3x(x)e3xC. 333933★(2)

x(x1)edx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：(x1)exdx(x1)dex(x1)exexdxxexC。

★(3)

2xcosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：x2cosxdxx2dsinxx2sinx2xsinxdxx2sinx2xdcosx

x2sinx2xcosx2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC

★(4)

(x21)exdx

思路：分项后分部积分即可。

解：(x21)exdxx2exdxexdxx2d(ex)exdx

exx22xexdxexdxexx22xd(ex)exdxex2xex2x2edxedxex2xexxx2x3edxx

ex(x22x3)C.

★(5)

xln(x1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

12121x2dx 解：xln(x1)dxln(x1)d(x)xln(x1)-222x1★(6)

12111111xln(x1)(x1)dxx2ln(x1)x2xln(x1)C. 22x12422excosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

xxxxecosxdxcosxd(e)ecosxesinxdx

27

excosxsinxd(ex)excosxexsinxexcosxdxexecosxdx(sinxcosx)C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数，求xf(x)dx。

xx

知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。 思路分析：积分

是

xf(x)dx中出现了f(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你

sinxC. xsinxxf(x)的原函数，应该知道f(x)dx解：

又

xf(x)dxxd(f(x))=xf(x)f(x)dx

f(x)dxsinxxcosxsinxxcosxsinxC,f(x),xf(x); xxx2xcosxsinxsinx2xf(x)dxCcosxsinxC

xxx★★4、已知

exf(x)=x，求

xf(x)dx。

知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：积分xf(x)dx中出现了f(x)，应马上知道积分应使用分部积分。

解：

xf(x)dxxd(f(x))xf(x)f(x)dxxf(x)f(x)C.

exxexexex(x1)ex(x1)f(x)=,f(x)=,xf(x)=;

xxx2x2又

ex(x1)exex(x2)xf(x)dxCC.

xxx★★★★5、设Indx1cosxn2(n2)，；证明：IIn2。 nsinnxn1sinn1xn1知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：要证明的目标表达式中出现了In，

cosx和In2 提示我们如何在被积函数的表达式n1sinx1cosx1中变出 和 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的

sinnxsinn1xsinn2x介绍，这里1可变为sin22xcos2x。

2证明：1=sinxcosx

28

dxsin2xcos2xcos2xsin2xcos2x1Inndxdxdxdxdxnnnnn2sinxsinxsinxsinxsinxsinxcos2xcosxdxIn2sinnxdsinxIn2sinnxcosxsinxsinnxnsinn1xcos2xsinxsinxdxIn2n2nsinxsinxcosxcos2xcosx1sin2xIn2ndxIn2In2ndxIn2n-1nn1nsinxsinxsinxsinxcosxcosxInInIInIn(n2)In2n2nn2n2n1n1sinxsinx1cosxn2Inn1In2.n1sinxn1★★★★6、设

f(x)为单调连续函数，f-1(x)为其反函数，且f(x)dxF(x)C ，

求：

f1(x)dx。

知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白xf(f解：

又

1(x))这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。

f-1(x)dx=xf-1(x)-xd(f-1(x))

xf(f1(x))

f1(x)dxf1(x)xd(f1(x))f1(x)f(f1(x))d(f1(x))

又

f(x)dxF(x)C

f1(x)dxf1(x)f(f1(x))d(f1(x))f1(x)F(f1(x))C.

习题4-4

1、 求下列不定积分

知识点：有理函数积分法的练习。

思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，

通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。

x3★(1)x3dx

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

29

解：

x3x3272727x23x9 x3x3x3x32727dx(x23x9)dx(x23x9)dxdxx3x3x3 13x3x29x27lnx3C.32x5x48★★★(2) x3xdx

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：

而x3x5x48(x5x3)(x4x2)(x3x)x2x8x2x82xx13,

x3xx3xxxxx(x1)(x1),

x2x8ABC令，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 3xxxx1x1ABC1A8CB1解此方程组得：B4 C3A8x5x488432xx1xx1x1x3xx5x488432dx(xx1)dx 3xx1x1xx11x3x2x8lnx4lnx13lnx1C32★★★(3)

3x31dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

x31(x1)(x2x1)，令

3ABxC等式右边通分后比较两边分子32x1x1xx1x的同次项的系数得：

A+B=0A1B+C-A=0解此方程组得：B1A+C=3C2

30

13(2x1)31x212322x1x1xx1x113(x)2()222

1(2x1)1312x1(x1)23213(x)2()224221(2x1)31313dxdx2dxdx13x1x1213(x)2(x)2()224221x111312)lnx1d((x)2)3d(12(x1)23243x242)212(3212x1lnx1ln(x2x1)3arctan()C.23★★★(4)

x1(x1)3dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

得：

x1ABC(x1)3x1(x1)2(x1)3，等式右边通分后比较两边分子

x的同次项的系数

A0,B2A1,ABC1，解此方程组得：A0,B1,C2。

x112(x1)3(x1)2(x1)3

x11211xdxdxdxCC(x1)2(x1)3x1(x1)2(x1)3(x1)2★★★(5)

3x2x(x1)3dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

31

解：

3x2322ABCD，令

x(x1)3(x1)3x(x1)3x(x1)3xx1(x1)2(x1)3

等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

AB0A23A2BC0B2解此方程组得：3ABCD0C2A2D222222x(x1)3xx1(x1)2(x1)3

。

3x2322221222x(x1)3(x1)3xx1(x1)2(x1)3(x1)3xx1(x1)23x21222dxdxdxdxdx332x(x1)(x1)(x1)x1x1122lnx12lnxC22(x1)x12ln★★★(6)

x4x3C.x12(x1)2xdx(x2)(x3)2

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

xx22x22 2222(x2)(x3)(x2)(x3)(x2)(x3)(x2)(x3)122ABC；令，等式右边通

(x3)2(x2)(x3)2(x2)(x3)2x2x3(x3)2分后比较两边分子x的同次项的系数得：

AB0A22222 6A5BC0解此方程组得：B222x2x3(x3)(x2)(x3)9A6B2C2C2x1222322()(x2)(x3)2(x3)2x2x3(x3)2(x3)2x2x3xdx322 dxdxx2x3dx(x2)(x3)2(x3)233x32lnx22lnx3ClnC.x3x2x3 32

2★★★(7)

3xx31dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

3x3(x1)333 3323x1x1xx1x13ABxC令3，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 2x1x1xx1解：

AB0A1ABC0 解此方程组得：B1AC3C2

31x21x2 x31x1x2x1x1x2x1131313(2x1)(2x1)(2x1)x222222而2 222222xx1xx1xx1xx1xx1xx133x11(2x1)3dx22dxdx2dxx1xx1x12xx11x 1122)lnx113d(d(xx1)x2x1123x2)212(323arctan2x11lnx1ln(x2x1)C

233arctanx12x1lnC

23xx11xx2★★★(8)(x21)2dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

1xx21x2解：(x21)2x21(x21)2(x21)2

33

1xx21xdx2dxdxdx2x21(x21)2(x21)2(x1)2111dx22dx2d(x1)2(x21)22(x1)2x1又由分部积分法可知：2

dxx1(x21)2x21x21dx

1xx2x1112x12dxC(2)C 222(x1)x12x12x1★★★(9)

xdx(x1)(x2)(x3)

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

xx3313

(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)令

3ABC，

(x1)(x2)(x3)x1x2x3等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

3A33ABC023322 5A4B3C0解之得：B3(x1)(x2)(x3)x1x2x36A3B2C33C2而

111

(x1)(x2)x1x23x1122(x1)(x2)(x3)2x1x2x3xdx11dx3dx dx2(x1)(x2)(x3)2x1x22x313lnx12lnx2lnx3C.22x21★★★(10)(x1)2(x1)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

34

解：

x21x21212 222(x1)(x1)(x1)(x1)x1(x1)(x1)令

2ABC，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

(x1)2(x1)x1x1(x1)2AB0,2AC0,11ABC2；解之得：A,B,C1。

22112221(x1)2(x1)x1x1(x1)211x1221(x1)2(x1)x1x1(x1)22

x211dx1dx1dxdx 22(x1)(x1)2x12x1(x1)

11111lnx1lnx1C lnx21C. 22x12x1★★★(11)

x(x121)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

1x(x21)ABxC2，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： xx1AB0A111xC0B1解之得： 22x(x1)xx1A1C01x11dxdxdxlnxd(x21)222x2x1x(x1)x1x11lnxln(x21)ClnC.22x1★★★(12)

dx(x2x)(x21)

思路：将被积函数裂项后分项积分。

35

解：

11 222(xx)(x1)x(x1)(x1)令

1ABCxD，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

(x2x)(x21)xx1x21ABC0,ACD0,ABD0,A1，解之得：

111A1,B,C,D.

22211111x1222(xx)(x1)x2x12x111111x112 222(xx)(x1)x2x12x12x1dx1111x1dx2dxdxdx2x12x212x21(xx)(x21)x1111lnxlnx12d(x21)arctanx24x12

111lnxlnx1ln(x21)arctanxC.242★★★★★(13)

dxx41

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

x41(x212x)(x212x)

令

1AxBCxD，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 422x1x12xx12x2A4AC01B2AB2CD02解之得：C2A2BC2D04BD1D12

36

112x212x22(2x2)22(2x2)24x212x4x212x88x41221221(x)(x)22222(2x2)(2x2)111[][]84221221221221(x)(x)(x)(x)22222222dx2(2x2)(2x2)1114[]dx[]dx84x1221221221221(x)(x)(x)(x)222222222(2x2)(2x2)1[2dx2dx][84x12xx12x1(x221)22dx1(x221)22dx]211[2d(x212x)2d(x212x)]8x12xx12x211[d(2x1)d(2x1)] 224(2x1)1(2x1)12x22x12ln2[arctan(2x1)arctan(2x1)]C

84x2x12x22x122xln2(arctan)C. 281xx2x14注：由导数的性质可证arctan(2x1)arctan(2x1)arctan本题的另一种解法：

2x1x2

37

11x21x21[44]4x12x1x111122dx1x1x11xx4[dx4dx][dxdx]112x12x41x1x22x22xx11111[d(x)d(x)]112xxx22x22xx11111[d(x)d(x)]112xx(x)22(x)22xx1x21111x)2[(d()d(x)]11148x2x(x)2(x)2

2xxx()1222124 1x2112x212xd(x2)]arctanlnC11x482xx2x2xx1x21211d()[d(x2)218xx122xx21()x2x2x212x22x1arctanln2C 482xx2x12x22x122xln2(arctan)C. 281xx2x14注：由导数的性质可证arctanx212x2arctan2x1x2。

x22★★★★★(14)(x2x1)2dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

x22x2x1x1 2222(xx1)(xx1) 38

112x131x2x12(x2x1)22(x2x1)2

x22dx12x1312dxdxdx22222222(xx1)xx1(xx1)(xx1)dx113122d(xx1)dx221232(xx1)22(xx1)(x)24dx113122d(xx1)dx22222(xx1)(xx1)13(x)2()2222x1d()23113132d(xx1)dx22222x132(xx1)2(xx1)()213232x11131arctan()dx222322xx1(xx1)3

又

3112x1dxdx 22222(xx1)2xx1xx112x1232x1arctan()C22xx133x2432x1x1dxarctan()C.2223(xx1)xx132

注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。）

若记

Indx(x2a2)n，其中n为正整数，a0，则必有：

In1x[(2n3)In1]。 222n12a(n1)(xa)2、 求下列不定积分

知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。

思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。

★★(1)

dx3sin2x

22思路：分子分母同除以sinx变为cscx后凑微分。

39

解：

dxcscxdxdcotx33sin2x3csc2x13cot2x462d((3cotx)2123cotx)2 ★★(2)

3332arctan(cotx)Carctan(tanx)C. 6263dx3cosx

思路：万能代换！

1t22dtx,dx; 解：令ttan，则cosx221t1t22dt2dxdt1t1tarctanC221t3cosx2t223

1t2dx11xarctan(tan)C.3cosx222注：另一种解法是：

xdxdx1dx12dx 3cosxxx2x32cos2121cos2sec212221x1x11x dtandtanarctan(tan)C.

xx22222tan22(tan)2(2)222dx★★(3)2sinx

sec2思路：万能代换！ 解：令ttanx2t2dt,dx; ，则sinx2221t1t2t12dtd()2dxdtdt231t22t122t1232sinxtt132(t)1()2241t322t1arctan()C33 40

dx2arctan(2sinx32tanx12)C. 3★★(4)

dx1tanx

思路：利用变换ttanx！（万能代换也可，但较繁！） 解：令ttanx，则xarctant,dxdt; 21tdt2dxdt1t 21tanx1t(1t)(1t)111t111t1()()2222(1t)(1t)21t1t21t1t1tdt11t1(dtdtdt)222(1t)(1t)21t1t1t

11[ln1tln(1t2)arctant]C22dx11[ln1tanxln(1tan2x)x]C.1tanx22dx★★(5)1sinxcosx

思路：万能代换！

2t1t22dtx,cosx,dx; 解：令ttan，则sinx1t21t21t222dt2dtx1tln1tCln1tanC 2t1t21t211t21t2dx★★(6)52sinxcosx

思路：万能代换！

2t1t22dtx,cosx,dx; 解：令ttan，则sinx2221t1t1t2 41

2dt2dxdt1t 2252sinxcosx2t1t3t2t2521t21t2d(3t15)而

dt13t22t23dt15(t)2()23315(3t1)21515arctan(3t1)C 5x3tan1dx12)C. arctan(52sinxcosx55★★★★(7)

dx(54sinx)cosx

思路一：万能代换！

2t1t22dtx,cosx,dx; 解：令ttan，则sinx2221t1t1t22dt2dx2(1t2)dt1t22(54sinx)cosx2t1t(5t8t5)(1t2)(54) 21t1t224(22)dt5t8t5(5t8t5)(t21)而

44，

(5t28t5)(t21)(5t28t5)(t1)(t1)4AtBCD，等式右边通分后比较两边分子t的同22(5t8t5)(t1)(t1)5t8t5t1t1令

次项的系数得：

A5C5D05A=B13C3D02,解之得：7A13C3D0B=8B5C5D41C16; 9D164120t71191

(5t28t5)(t1)(t1)85t28t516t116t1 42

1191110t8912216t116t145t8t585t8t5dx1191110t871(22)dt(54sinx)cosx16t116t145t8t585t8t5dx1191110t871dtdt2dt2dt(54sinx)cosx16t116t145t8t585t8t519175t4lnt1lnt1ln(5t28t5)arctan()C16164243x5tan41x9x1xx72lntan1lntan1ln(5tan28tan5)arctan()C162162422243思路二：利用代换tsinx！ 解：令tsinx，x<2，则dxdt1t2,cosx1t2

dt2dxdtdt1t(54t)(t21) (54sinx)cosx(54t)(1t2)(54t)1t211(54t)(t21)(54t)(t1)(t1)令

1ABC，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得：

(54t)(t21)54tt1t116A9A4B4C01116111119BC0解之得: B218(54t)(t1)954t18t12t1A5B5C11C2dt1611111dtdtdt(54t)(t21)954t18t12t1

411ln54tln1tln1tC9182dx411ln54sinxln1sinxln1sinxC.

(54sinx)cosx9182注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！

★★★★(8)

1sinx(1cosx)sinxdx

43

思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换tcosx和万能代换！ 解：

1sinx11

(1cosx)sinx(1cosx)sinx1cosx1sinx11dxdxdx

(1cosx)sinx(1cosx)sinx1cosxdt1dx,sinx1t2; dx，令，则tcosx,x(0,)(1cosx)sinx1t2对积分

21dtdt1t dx222(1cosx)sinx(1t)(t1)(1t)(t1)(1t)1tdt令

1ABC(1t)2(t1)t11t(1t)2，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得：

1A4AB0111111112AC0解之得：B2244t141t2(1t)(t1)(1t)ABC11C21111111dtdtdtdt224t141t2(1t)(1t)(t1)

1111lnt1lnt1C14421t11111dxln1cosxln1cosxC1;

(1cosx)sinx4421cosx

x1t22dt1,dx对积分dx，令ttan,cosx21t21t21cosx2dt2dt221x1t1tdxdttCtanC2;2221t1t1cosx2111t21t21sinx1111xdxln1cosxln1cosxtanC3

(1cosx)sinx4421cosx21x1xxlntantan2tanC.22422 44

★★(9)

1dx3x1

思路：变无理式为有理式，变量替换t31x。

32解：令t31x，则 1xt,dx3tdt;

dx3t2dtt2dt13233(t1)dt3dtt3t3lnt1C31t1t1t21x1

33(1x)2331x3ln31x1C.2★★(10)

1(x)31xdx

x。

思路：变无理式为有理式，变量替换t解：令tx，xt2,dx2tdt;

1(x)31212t4t3t2Cx2x2xC.2323★★(11)

1(t)3dx2tdt2(t2t1)tdt2(t3t2t)dt1t1x

3x111x1dx

x1。

思路：变无理式为有理式，变量替换t解：令tx1，则x1t2,dx2tdt;

x11t1t2tt2t2dx2tdt2dt2dt2(t2)dt1t1t1t1t1x112tdt4dt4dtt24t4lnt1Cx4x14ln(x11)C1t★★★(12)

dx4xx

思路：变无理式为有理式，变量替换t解：令t88x。

x,xt8,dx8t7dt;

45

4dx8t7t5t5t3t3ttt324dt8dt8dt8(tt)dttt1t21t21t2 xx2t44t24ln(1t2)C2x44x4ln(14x)C★★★(13)

x3dx1x2

思路：变无理式为有理式，三角换元。 解：令xtant,t2,则dxsec2tdt.

tan3tsec2tdttan3tsectdttan2tdsect(sec2t1)dsectsect1x2

11sec3tsectC31x21x2C.33★★★(14)

x3dxaxdx ax思路：将被积函数axax 变形为axax22后，三角换元。

解：令xasint,t2;则dxacostdt；

axaxaasintdxdxacostdta(1sint)dt22axacostax

xatacostCaarcsina2x2C.a注： 另一种解法，分项后凑微分。

axaxaxdxdxdxdx

222222axaxaxaxaxa1()2adx11x2222d(ax)aarcsinaxC 222aax ★★★(15)

dx3(x1)(x1)24 思路：换元。

46

解：令

2x1dxdt. t，则2(x1)x11dx11123()dtt3dtt3C323222x12(x1)2(x1)4t23()(x1) x1dx

33x1C.2x1总习题四

★1、设

f(x)的一个原函数是e2x，则f(x)(2x).

2x (A) e (B) -2e2x (C) -4e (D) 4e2x

知识点：原函数的定义考察。 思路分析：略。 解：(B)。

★2、设

xf(x)dxarcsinxC，则dx 。 f(x)知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。 解：对式子xf(x)dxarcsinxC两边求导数得：

x1x2

dx111x1x2dx1x2dx21x2d(1x2)(1x2)3Cf(x)223★★3、设

xf(x)11x2,f(x)1,1x1x2;f(x)x2f(x1)ln2，且f((x))lnx，求(x)dx。

x22知识点：函数的定义考察。

思路分析：求出f(x)后解得(x)，积分即可。

47

解：

x2x211t1(x)1f(x1)ln2ln2,f(t)ln,f((x))ln,

t1(x)1x2x112又

f((x))lnx,(x)1x1=x,(x);

(x)1x1(x)dxx12dx(1)dxx2lnx1C x1x1f(x)的原函数，当x>0时，有f(x)F(x)sin22x，且F(0)1， F(x)0★★★4、设F(x)为

试求

f(x)。

知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：注意到dF(x)f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x) 即可。 解：

f(x)F(x)sin22x；f(x)F(x)dxsin22xdx

即

F(x)dF(x)sin22xdx,1222(F(x))sin2xdx, (F(x))22sin22xdx(1cos4x)dxx14sin4xC;

又F(0)1,C1;(F(x))2x14sin4x1;(x0.)

又F(x)0,F(x)x14sin4x1,

又

f(x)F(x)sin22x,f(x)sin22xx1。

4sin4x15、求下列不定积分。 知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。

★★(1)

x25xdx

思路：变无理式为有理式，变量替换t25x。

解：令t25x，则x2t25,dx2t5dt, 48

2t22t2221x25xdxt(dt)(2t2t4)dt(t3t5)C55252535

4230x8(25x)3(25x)5C(25x)3C.75125375★(2)

xdxx12(x1)

思路：变无理式为有理式，变量替换xsect。 解：令xsect,0t2，则dxsecttantdt。

dxxx21secttant1dtdttCarccosC

secttantx2x3x★★★(3)9x4xdx

2x2x()x2x3x33=思路：将被积函数x 变为xx2x29421(x)21[()]33解：令t()，则dt()ln后换元或凑微分。

23x23x2dx。 32()x231dt1113xdxdx()dtx22ln2ln31t2(ln3ln2)t1t1941[()x]23

2()x11t11lnCln3C.2x2(ln3ln2)t12(ln3ln2)()13xx

13x2xlnxC x2(ln3ln2)32x2★★(4)a6x6dx(a0)

思路：凑微分。

x21111333解：6dxdxdx,令tx, 6666323ax3a(x)ax 49

x2111111ta366dx322dt3()dt3lnCax3(a)t6ata3ta36ata3

1x3a31x3a33ln3C3ln33C.

6axa36axa★★(5)

dxx(1x)

思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。 解：方法一：

dxx(1x)dx11(x)2()222 令x111sect,0t,，则dxsecttantdt; 22221secttantdx2dtsectdtlnsecttantC

1x(1x)tant2ln2x12x2xC.

方法二：

dxx(1x)2dx1x2dx1(x)2 令tx，dxx(1x)2dt1t2;

再令ttanz,zdx2，则dtsec2zdz,

sec2z2dz2seczdz2lnsecztanzCseczx(1x)

2ln1xxCln2x12x2xC.dxx(2x10)

★★★(6)

思路：倒代换！

解：令x，，则dx1t1dt, 2t 50

dxt1t91dt101d(2t101)(dt)10dt10x(2x10)21t22t1102t1202t101 t1011x1010ln(2t1)Cln(10)C.2020x2★★★★(7)

7cosx3sinx5cosx2sinxdx

思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积

函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。

解：

7cosx3sinx5cosx2sinx(5cosx2sinx)

7cosx3sinx5cosx2sinx(5cosx2sinx)dxdx5cosx2sinx5cosx2sinx(5cosx2sinx)d(5cosx2sinx)[1]dxdx

5cosx2sinx5cosx2sinxd(5cosx2sinx)dxxln5cosx2sinxC.5cosx2sinxex(1sinx)★★★★(8) 1cosxdx

思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。

ex(1sinx)exexsinxdx()dx(解：1cosx1cosx1cosxexxextan)dx x22cos22

exxxxxdxextandxexsec2dextandxx22222cos22xxxxxexdtanextandxextanextandxextandx22222xextanC.2

f(x)f2(x)f(x)★★★★6、求不定积分：[f(x)f3(x)]dx

51

知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。

思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同

种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。

f(x)f2(x)f(x)f(x)f2(x)f(x)解：[]dxdxdx

f(x)f(x)f3(x)f3(x)而

f2(x)f(x)f2(x)f2(x)f2(x)dx3df(x)3f(x)f(x)d(3) 3f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)2f(x)f4(x)3f5(x)f(x)f2(x)2f(x)dx f(x)f6(x)f2(x)f(x)f2(x)f(x)22dx3dx 3f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)f(x)f2(x)f(x)f2(x)f(x)[]dx23[]dxf(x)f(x)f3(x)f(x)f3(x)f(x)f(x)f(x)1f2(x)[]dxC.32f(x)2f(x)f(x)★★★★7、设In2

tannxdx，(n1)，求证：In15，并求tanxdx。 tann1xIn2，n1知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。 思路分析：由要证明的目标式子可知，应将tanx分解成tannn2xtan2x，进而写成

tann2x(sec2x1)，分部积分后即可得到In2。

证明：Intannxdxtann2xtan2xdxtann2x(sec2x1)dx

tann2xdtanxtann2xdxtan5xdxI51tann1xIn2。 n1111tan4xI3tan4x(tan2xI1)442

1111tan4xtan2xtanxdxtan4xtan2xlncosxC4242★★★8、

1xdx(B). 1x思路：化无理式为有理式，三交换元。

52

解：

1x1x令xsint,t，则dxcostdt。 ，221x1x1x1x1sintdxdxcostdt(1sint)dttcostC21xcost 1xarcsinx1x2C.★★★9、设不定积分I11xxdx，若，则有(D)。 uxexx(1xe)x思路：u=xe，提示我们将被积函数的分子分母同乘以e后再积分。

x1xex(1x)解：I1dxxdx

x(1xex)ex(1xex)又

du(exxex)dxex(1x)dx;

I1duI2,选(D)。

u(1u)10、求下列不定积分:

知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。 思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式。

★★★★(1)、

xdx1x4.

思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。 解：令x11，则dx2dt。 tt4dxx1x1t1dt2(2dt)dt421t4t11t14tt 令t2tanu,0u2，则dt2sec2udu。

1dt21sec2udu1secudu21t42secu2x1x4

2111xlnsecutanuCln(1t4t2)Cln()C22211x4dx 53

11x41)C ln(22x★★★(2)、

xx12x12dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令xsect,0t2x11sect1sectdxsecttantdtdt(cost1)dt222secttantsectxx11x1tsintCarccosCxx11注： (arccos)(arcsin)

xx★★★(3)、

2，则dxsecttantdt,

x11arcsinC.xx2xx221x2dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令xsint,0t2，则dx costdt；x2x21x2dxsint2122costdt()dtcsctdt2csctdt22sintcostsintsint11x221x2lncsctcott2cottClnC.xxx

★★★★★(4)、

(1xdx2)1x2.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令xsint,0t2，则dxcostdt；

costdtdtdtsec2tdt222222(1sint)cost1sintcost2sint12tan2t(1x)1xdx2d(2tant)222xarctan(2tant)Carctan()C.2221(2tant)221x

★★★(5)、

xdx4x2.

54

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x2sint,0t2，则dx2costdt；

dxx4x22costdtdt11csctdtlncsctcottC2sint2cost2sint224x22C.x124x21lnCln2xx211、求下列不定积分:

知识点：较复杂的分部积分法的考察。

思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分。

★★★(1)、

ln(x1x2)dx

思路：分部积分。

解：ln(x1x)dxxln(x1x)22xx1x22(1x1x2)dx

1dx2xln(x1x)dxxln(x1x)221x21x

21d(x1)xln(x1x2)xln(x1x2)1x2C21x22x★★(2)、

2ln(1x)dx 思路：分部积分。

2x22(x21)22dxxln(1x)dx 解：ln(1x)dxxln(1x)221x1x22xln(1x2)2dx2★★★★(3)、

4xtanxsecxdx 1dxxln(1x2)2x2arctanxC。 21x思路：分部积分。 解：

xtanxsecxdxxsecxdsecxxsec434xsecx(sec3x

55

3xsec3xtanx)dxxsec4xsec4xdx3xtanxsec4xdxxsec4x(tan2x1)dtanx3xtanxsec4xdx1xsec4xtan3xtanx3xtanxsec4xdx3111xtanxsec4xdxxsec4xtan3xtanxC.4124x2★★★(4)、1x2arctanxdx

思路：分项后分部积分。

x2x2111arctanxdxarctanxdxarctanxdxarctanxdx 解：2221x1x1xxdxarctanxdarctanx21x

11xarctanxln(1x2)(arctanx)2C.22xarctanxln(1x2)★★★★(5)、x3dx

思路：分部积分后 倒代换。

ln(1x2)12121x222dxln(1x)d(x)xln(1x)2xdx 解：322221xx1dxx2ln(1x2)

2x(1x2)对于积分

dx11应用倒代换，令，则dxdt， xx(1x2)2ttdxx(1x2)1tdt111x22(dt)ln(1t)Cln(2)C 1t2221t2x12ttln(1x2)ln(1x2)11x2dxln(2)C. 322x2xx★★★(6)、

x1cosxdx

56

思路：将被积函数变形后分部积分。 解：

x1cosxdxx2cos2x2dx1xx2x2x xsecdxxsecdxdtan22222xtanxxxxxxxtandxxtan2tandxtan2lncosC 2222222x1cosxxlnCxtanln1cosxC1。 222xtan★★★12、求不定积分:Inxnexdx,n为自然数。

知识点：较复杂的分部积分法的考察。

思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，推一个递推关系式。

x解：I1xexC

Inxnexdxxndexxnexnxn1exdxxnexnIn1

ex(xnnxn1n(n1)xn2n(n1)(n2)xn3(1)kn(n1)(n2)e(xnxxnn1(nk1)xnkn2(1)n1n!x)(1)nn!I0n3

n(n1)xn(n1)(n2)x(1)kn(n1)(n2)★★★13、求不定积分:

(nk1)xnk(1)n1n!x)(1)nn!exC(x22x3)cos2xdx.

知识点：较复杂的分部积分法的考察。

思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，分项后分别积分。 解：(x22x3)cos2xdxx2cos2xdx2xcos2xdx3cos2xdx

 57

123xdsin2xxdsin2xcos2xd2x2213(x2sin2x2xsin2xdx)-(xsin2xsin2xdx)+sin2x22113(x2sin2xxdcos2x)-(xsin2xsin2xd2x)+sin2x222 121113xsin2xxcos2xcos2xdxxsin2xcos2xsin2x2222211113x2sin2xxcos2xsin2x-xsin2xcos2xsin2xC224221511(x2x)sin2x(x)cos2xC.242214、求下列不定积分:

知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分。 思路分析：基本思路——有理式分项、无理式化为有理式。

x11dx★★★★(1)、x83x42

思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分。

x11dx3x72x33x72x333(x8)dxxdx8dx 解：8x3x42x3x42x3x42143x488x712x3203x733dx1x438x12xdx

48x83x42x83x4220x3dx143d(x83x42)5dx4x88 8x83x42488x3x42x3x42143d(x83x42)5x84488x3x2dx4

31(x4)2243d(x4)13d(x3x2)52 x484884321x3x42(x)24841435x4184xlnx3x2ln4C 488x2 58

1435x4144xln(x1)(x2)ln4C 488x24x4114xln4C.

x241x8★★★★(2)、

x(1x8)dx

思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分。

1x8dxx8dxx7解：dxdxdx

x(1x8)x(1x8)x(1x8)x(1x8)1x8对

dx11采用倒代换，令，则dxdt。 xx(1x8)t2tdxt1t71dt81(dt)dtln(1t8)C1 82881x(1x)1t81t818tt11x8ln(8)C1;

8xx71dx818dxln(1x)C2; 而8881x81x1x811x81188dxln()ln(1x)Clnxln(1x)C. 88x(1x)8x84x32x1★★★★(3)、

(x2)100dx

思路：将被积函数分项后分部积分。 解：

x32x1(x2)36(x2)210(x2)5;

x32x1(x2)36(x2)210(x2)5dxdx(x2)100(x2)100dxdxdxdx 6105(x2)98(x2)99(x2)100(x2)971655C.96(x2)9697(x2)9749(x2)9899(x2)99 59

★★★(4)、

x(x21)(x24)dx

思路：将被积函数裂项分项后积分。

x1dx21dx2dx21x21dx2[]lnC. 解：2(x1)(x24)2(x1)(x24)6x21x246x24★★★★(5)、

dx(x21)(x2x1)

思路：将被积函数分项后积分。 解：令

1AxBCxD，等式右边通分后比较等式两边分子上x的同次2222(x1)(xx1)x1xx1幂项的系数得：解之得：

AC0,ABD0,ABC0,BD1；

A1,B0,CD1.

1xx1(x21)(x2x1)x21x2x1dxxx11dx212x22dxdxdxdxx21x2x12x212x2x1(x1)(x2x1)1dx212x11dx11d(x2x1)22dx2dx2ln(x1)22x12xx12xx122xx12x1d()1dx1113ln(x21)ln(x2x1)2x121232223(x)()12431112x1ln(x21)ln(x2x1)arctan()C.2233★★★(6)、

x(3x3xx)dx

6思路:化无理式为有理式，第二类换元法。该题中欲同时去掉3x，x，应令t解：令t6x。

x，则dx6t5dt;

60

t2dtdtdtt5dx6tdt6666lnC6323t(t1)tt1t1t(tt)x(xx)3xx363x(xx)dx6lnx

6x1C.★★★★(7)、

dx

xx1x(x1)思路:分母有理化，换元。 解：

dxx(x1)(x1x)dx(x1)xdxxx1dx

xx1x(x1)对于积分

(x1)xdx，令tx，则dx2tdt;

22(x1)xdx(t21)t2tdt2(t4t2)dtt5t3C153 5322(x1)xdxx2x2C153对于积分

xx1dx，令ux1，则dx2udu;

22xx1dx(u21)u2udu2(u4u2)duu5u3C2535322xx1dx(x1)2(x1)2C2

53553x(x1)223222dx[(x1)x][x(x1)2]C.53xx1★★★★★(8)、

(x1)dxx22

思路：换元倒代换。 解：令x111，则dx2dt; tt10，若小于零，不影响最后结果的形式。也就是：不论正负，x-1（解题过程中涉及到开方，不妨设t结果都一样。）

dx(x1)x22t1(1)22t(1dtdt)2(t1)2t2t1)2t121()2d(

61

11t12xarcsinCarcsinx1CarcsinC.

222(x-1)★★★(9)、

dx3(x1)(x1)24

解答详见习题4-4第2题的（15）题。

★★★★★(10)、

xdx1x(1x)223

思路:“一路”换元。 解：

1dx21d(1x2)1x2(1x2)321x2(1x2)321x2(1x2)3xdx

令t1x2，则

令uxdx1x(1x)t，则

2231dt1dt1dtdt2tt32ttt2t1t1t

xdx1x2(1x2)3dud(1u)21uC211x2C. 1u1u15、求下列不定积分:

知识点：求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。 思路分析：基本思路——三角代换等，具体问题具体分析。

★★★(1)、

dxsin2x2sinx

思路:万能代换。

2dt2t1t2x,sinx,cosx; 解：令ttan，则dx1t21t21t222dt2dx1(1t2)dt1dt1t[tdt]22t1t2tsin2x2sinx4t4t22 1t21t21t2111x1xlntt2Clntantan2C.484282 62

xtandx2★★★(2)、

1sinxcosx

思路:万能代换。

2dt2t1t2x,sinx,cosx; 解：令ttan，则dx2221t1t1t2xtandx21sinxcosx2dttdtdt1t2dt1ttln1tC2t1t21t1 1t21t2txtandxxx2tanln1tanC.1sinxcosx22★★★★★(3)、

dxsin3xcosx

22思路:将被积函数的分子1变换一下，1sinxcosx。 解：

1sin2xcos2x1cosxsin2xcos2xcosx3

sinxcosxsin3xsinxcosxsin3xcosxsin3xcosxsinxtanxcotxcsc2xcotxtanxcotxcsc2xcotxdx22(tanxcotxcscxcotx)dxtanxdxcotxdxcscxcotxdx3sinxcosx1lncosxlnsinxcscxdcscxlncosxlnsinxcsc2xC21lntanxcsc2xC.2sinxcosxsinxcosxdx

2★★★★★(4)、

思路:注意到sinxcosxsin(x解：

1),，而sinxcosx2sin(x)，此题易解。 4241sin2(x)sinxcosx42

sinxcosx2sin(x)4 63

sinxcosxdxsinxcosxsin2(x4)2sin(x412dx)22sin(x)dxcsc(x)dx2444

22cos(x)lncsc(x)cot(x)C.24444★★★★★(5)、

sinxsin2xsin3xdx

思路:将被积函数积化和差。 解：

1sinxsin3x(cos4xcos2x)

2sinxsin2xsin3xdx1(cos4xcos2x)sin2xdx211cos4xsin2xdxcos2xsin2xdx2211(2cos22x1)sin2xdxsin4xdx24

11cos22xsin2xdxsin2xdxsin4xdx24111cos22xdcos2xsin2xd2xsin4xd4x2416111cos32xcos2xcos4xC.6416注：另一种解法是：

1(cos4xcos2x)sin2xdx2

11cos4xsin2xdxcos2xsin2xdx22sinxsin2xsin3xdx111111(sin6xsin2x)dxsin4xdxcos6xcos2xcos4xC. 22424816sinxcosx★★★★★(6)、sin4xcos4xdx

11244思路:注意到被积函数的分子sinxcosxsin2x，分母sinxcosx1sin2x，易解。

2211244解：sinxcosxsin2x,sinxcosx1sin2x,

22 64

11sin2xsin2xsinxcosx11224dxdxdxdcos2x421121cos2xsinxcosx1sin22x1sin22x

221arctan(cos2x)C.211r2dx(0r1,x) ★★★★★(7)、、212rcosxr2思路:万能代换。

2dt1t2x,cosx解：令ttan，则dx21t1t22，代入得：

11r21r22dt dx2222212rcosxr2(1r)(1t)2r(1t)1rd(t)1r2dt1r2dtr12222221r22(1r)t(r1)2(1r)t(r1)(t)1

r11r1rxarctan(t)Carctan(tan)C.r1r124sinx3cosx★★★★★(8)、sinx2cosxdx

22思路:非常典型的解题思路----将被积函数的分子4sinx3cosx表示成分母sinx2cosx和分母

的导数cosx2sinx的线性组合的形式。

解：

4sinx3cosx2(sinx2cosx)(cosx2sinx)

2(sinx2cosx)(sinx2cosx)4sinx3cosx2(sinx2cosx)(sinx2cosx)dxdx

sinx2cosxsinx2cosxd(sinx2cosx)2dx2xlnsinx2cosxC.sinx2cosx★★★★16、求

max1,xdx

知识点：被积函数表现为一个分段函数，则不定积分也表现为一个分段函数。 思路分析：基本思路——讨论。

解：当x1时，max1,x1；而当x1时，max1,xx；

65

当x1时，max1,xx；

x2C1;  当x1时，max1,xdxxdx2当

x1时，max1,xdxdxxC2;

x2C3. 当x1时，max1,xdxxdx2由

11的连续性可知：CC,CCC11,设C1C, max1,xdx213222x22C,x1;1max1,xdxxC,x1;

2x21C,x1.2★★★★17、设

y(xy)2x,求dx

x3y思路: 变量替换。

t3t33tt43t2解：令txy，则yxt,x2;x3y2;dx2dt; 2t1t1(t1)dxt1d(t21)112dt2lnt21Cln(xy)21C。

x3y222t1t1★★★★18、设

f(x)定义在(a,b)上，c(a,b),又f(x)在(a,b)\\{c}连续，c为f(x)的第一类间

断点，问

f(x)在(a,b)内是否存在原函数？为什么？

知识点：考察对原函数定义的理解。 思路分析：反证法。

解证：假设F(x)为f(x)的一个原函数，考察F(x)在点c的导数，

F(x)F(c)F(x)F(c)f(c0),limf(c0);

xcxcxcxcF(x)F(c)而limF(c)f(c),f(c0)f(c0)f(c) xcxclim 66