第五节 解直角三角形及其实际应用（玩转重庆9年中考真题）

第四章 三角形

第五节 解直角三角形及其实际应用

玩转重庆9年中考真题(～)

命题点1 锐角三角函数(仅A卷6题考查)

1. (重庆A卷6题4分)计算6tan45°－2cos60°的结果是 ( ) A. 43 B. 4 C. 53 D. 5

命题点2 直角三角形的边角关系(9年4考)

2. (2013重庆B卷9题4分)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为 ( )

第2题图

3

A. 2 B. 23 C. 3＋1 D. 3＋1 3. (重庆20题6分) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)

第3题图

【变式改编】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点 D为BC边上一点，CD＝1，且

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cos∠ADC＝3，BD＝2AD，求tan∠ABC的值．

变式改编题图

4. (重庆A卷20题7分)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，3

AD＝12，tan∠BAD＝4，求sinC的值．

第4题图

命题点3 解直角三角形的实际应用(9年4考)

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5. (重庆B卷11题4分)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈

1.73，6≈2.45) ( ) A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4 6. (2016重庆A卷11题4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动．如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73) ( ) A. 8.1米 B. 17.2米 C. 19.7米 D. 25.5米

7. (重庆A卷24题10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB // CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米． (1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；

(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

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(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)

第7题图

【拓展猜押】如图，小明在坡度为1∶2.4的山坡AB上的A处测得大树CD顶端D的仰角为45°，CD垂直于水平面，测得坡面AB长为13米，BC长为9米，A、B、C、D在同一个平面内，则树高CD为 ( ) A. 24米 B. 25米 C. 26米 D. 27米

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答案 命题点1 锐角三角函数

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1. D 【解析】6tan45°－2cos60°＝6×1－2×2＝6－1＝5.

命题点2 直角三角形的边角关系

2. D 【解析】∵CD⊥AB，∴△ADC与△CDB都是直角三角形．又∵∠A＝45°，

CD11CD∠B＝30°，CD＝1，∴AD＝＝＝1，BD＝＝＝3，∴AB＝°13tan45tan303

BD＋AD＝3＋1. 3. 解：在Rt△ADC中， AC∵sin∠ADC＝AD，

AC3＝2，……………………………………………(1分) sinADCsin60∴AD＝

∴BD＝2AD＝4. …………………………………………………………… (2分) AC

∵tan∠ADC＝DC，

AC3＝1，……………………………………………(3分)

tanADCtan60∴DC＝

∴BC＝BD＋DC＝5.……………………………………………………………(4分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得

AB＝AC2BC2＝（3）2＋52＝27，…………………………………(5分) ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝27＋5＋3.……………………………(6分)

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【变式改编】 解：在Rt△ADC中，∠C＝90°，CD＝1，cos∠ADC＝3， ∴AD＝

1CD＝1＝3，

cosADC3

则AC＝AD2CD2＝22. 又∵BD＝2AD， ∴BD＝6，

∴BC＝BD＋CD＝7， AC22

∴tan∠ABC＝BC＝7. 4. 解：∵AD⊥BC，

BD

∴tan∠BAD＝AD，……………………………………………………………(1分) 3

∵tan∠BAD＝4，AD＝12，

3BD∴4＝，………………………………………………………………………(2分)

12∴BD＝9，………………………………………………………………………(3分) ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.…………………………………………………(4分) 在Rt△ADC中，由勾股定理得

AC＝AD2CD2＝122＋52＝13，…………………………………………(6分) AD12

∴sinC＝AC＝13.………………………………………………………………(7分)

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命题点3 解直角三角形的实际应用

5. D 【解析】如解图，过点E作EF⊥AB于点F，过点BBG

作BG⊥CD于点G，在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝CG＝1∶3，∴BG＝6，CG＝63，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝63＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋63＋20≈39.4(米)． BF6. A 【解析】如解图，过点B作BF⊥AE于点F，∵iAB＝AF＝12

，设BF＝x米，则AF＝2.4 x米，根据勾股定理得，BF ＋2.4

AF 2＝AB 2，即x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5，则BF＝5(米)，AF＝2.4x＝12(米)，∵FE＝BD＝6(米)，∴AE＝12＋6＝18(米)，在

CE

Rt△AEC中，∠CAE＝36°，∵tan36°＝AE，∴CE＝AE·tan36°≈18×0.73＝13.14(米) ，∴CD＝CE－DE＝13.14－5≈8.1(米)． PE7. 解：(1)在Rt△PME中，tan31°＝ME，

30PE≈＝50(米)．………………………………………………(2分) tan310.60

∴ME＝

PE

在Rt△PNE中，tan45°＝NE，

30PE∴NE＝＝1＝30(米)，…………………………………………………(4分)

tan45∴MN＝ME－NE＝50－30＝20(米)，

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答：两渔船M、N之间的距离约为20米．…………………………………(5分) (2)如解图，过点D作DG⊥AB于点G， 由题意知DG＝24(米)． ∵AD的坡度i＝1∶0.25， DG1∴AG＝0.25，

∴AG＝0.25×24＝6(米)． ∵DH的坡度i＝1∶1.75， DG1∴GH＝1.75，

∴GH＝1.75×24＝42(米)，

∴AH＝GH－AG＝42－6＝36(米)，…………………………………………(6分) 36×24

∴S△AHD＝＝432(平方米)，

2

∴一共要填筑土石方432×100＝43200立方米．…………………………(7分) 设原计划平均每天填筑土石方x立方米，则由题意列方程为：

4320010x4320010x＝20，…………………………………………(9分) x2x两边乘以2x，得2(43200－10x)－(43200－10x)＝40x， 解得x＝864.

经检验，x＝864是原方程的根，且符合题意，

答：原计划平均每天填筑土石方864立方米．…………………………(10分)

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【拓展猜押】 C 【解析】如解图，作AF⊥CB交CB的延长线于点F，AE垂直大树CD于点E, ∵山坡AB的 坡度为1∶2.4，∴AF∶BF＝1∶2.4，设AF＝x，则BF＝2.4x，在Rt△AFB中，AF 2＋BF 2＝AB 2，即x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5(负值舍去)，则BF＝2.4x＝12米，∵BC＝9米， ∴FC＝12＋9＝21米，∵四边形AFCE为矩形，∴AE＝FC＝21米，∵在山坡AB上的A处测得

大树CD顶端D的仰角为45°，∴DE＝AE＝21米，则DC＝ED＋EC＝21＋5＝26米．

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