2020高考二轮复习三角函数与解三角形

[全国卷3年考情分析] 年份 2019 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 三角函数的图象、极值点、单调性·T12 三角函数的零点问题·T15 余弦函数的图象与性质·T6 三角函数的图象、奇偶性、三角函数的周期性和单调单调性、最值、零点·T11 三角函数的最值及导数·T16 三角函数的图象变换·T9 性·T9 三角函数单调性的应用·T10 三角函数的最值·T14 2018 2017 (1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．

考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与34π

－，，则sinα＋＝( ) x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P554A．

2

10

B．－

2

10

72C．

10

72D．－

101

2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为( )

21A．－

51C． 5

3.[诱导公式及应用]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，23π则f 6＝( )

1

A. 2

1nπ

1.[与数列交汇]设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个

n25

B．31 C．0 D．－ 223B．－

53D． 5

数是( )

A．25 C．75

2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为( )

B．50 D．100

A.3 2

B．－D．0

3 2

C.3

3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表1

作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦

2

×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”2π

等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验

3公式计算所得弧田面积约是( )

A．6 m2 C．12 m2

考点二 三角函数的图象与解析式

题型一 由“图”定“式”

[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f(x)的图象上所π

有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)＝Asin(ωx

4π

A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为＋φ)2( )

5ππ

x＋ B．f(x)＝－cos2x＋ A．f(x)＝sin312π7π2x＋ D．f(x)＝sin2x＋ C．f(x)＝cos312(2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P

B．9 m2 D．15 m2

1，2是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图

2

象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f(x)的图象的对称中心可

以是( )

A．(0,0) C．(2,0)

题型二 三角函数的图象变换

π

2x＋的图象，只需将函数 [例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos3y＝sin 2x的图象( )

5π

A．向右平移个单位长度

125π

B．向左平移个单位长度

125π

C．向右平移个单位长度

65π

D．向左平移个单位长度

6

(2)(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到的图象与函数y＝ksin xcos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是( )

π

A．2＋

45π

C．2＋

12

考点三 三角函数的性质

[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是( )

ππ

2kπ－，2kπ＋(k∈Z) A.66

π2π

2kπ－，2kπ＋(k∈Z) B.33

2ππ

2kπ－，2kπ＋(k∈Z) C.33

π5π

2kπ－，2kπ＋(k∈Z) D.66

(2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： π①f(x)是偶函数；②f(x)在区间2，π单调递增； ③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.

3π

B．2＋

47π

D．2＋

12B．(1,0) D．(3,0)

其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ C．①④

B．②④ D．①③

π

ωx＋(ω>0)在区间(π，2π)内没有最(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f(x)＝sin6值，则ω的取值范围是( )

112

0，∪， A.124312C.4，3

πππ

1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间4，2单调递增的是( ) 2

A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos|x|

π2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个

4单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质( )

π

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

2π

0，上单调递增 B．为奇函数，在43ππ

－，上单调递增 C．为偶函数，在883π

D．周期为π，图象关于点8，0对称

3．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，1f(x)在区间2，3上的值域是________．

考点四 三角函数图象与性质的综合应用

[例4] (2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

B．f(x)＝|sin 2x| D．f(x)＝sin|x| 112

0，∪， B．63312D．3，3

x＋π2＋fx＋π2的值域． (2)求函数y＝f124

1．已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；

π3

－，m上的最大值为，求m的最小值． (2)若f(x)在区间32

2．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间；

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)

6的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

π

ωx＋(ω>0)，3. (2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，5下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点； π

0，单调递增； ③f(x)在101229④ ω的取值范围是5，10. 其中所有正确结论的编号是( ) A．①④ C．①②③

【课后专项练习】

A组

一、选择题

xπ1．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan2－6的单调递增区间是( )

2π4π2π4π

2kπ－，2kπ＋，k∈Z B.2kπ－，2kπ＋，k∈Z A.3333

B．②③ D．①③④

2π4π2π4π

4kπ－，4kπ＋，k∈Z D.4kπ－，4kπ＋，k∈Z C.3333

π3π

2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )

44

31

A．2 B． C．1 D．

22

ππ

2x－的图象与函数y＝cosx－的图象( ) 3．(2019·江西七校第一次联考)函数y＝sin63

A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴

4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有点的横坐标伸π

长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到f(x)的图

6π

A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2示，则( )

π

4x＋ A．g(x)＝sin3C．g(x)＝sin 4x

2π

4x＋ B．g(x)＝sin3D．g(x)＝cos x

5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法不正确的是( )

π

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

2π

B．f(x)的最小正周期为

2

C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心 ππ

D．f(x)在区间4，2上单调递减

ππ

2x－的图象向左平移个单位长度，所得图象对6．(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin44应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为( )

π

A. 83πC. 8 二、填空题

πB. 4πD. 2

ππ

x＋1－3cosx＋1，则f(x)的最小正周期7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f(x)＝sin33为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.

8．(2019·天津高考改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若π3π＝________. g(x)的最小正周期为2π，且g＝2，则f 48

9．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是________．

三、解答题

πππ

ωx－＋sinωx－，其中0<ω<3.已知f ＝0. 10．设函数f(x)＝sin626(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图π3ππ

－，上的最小值． 象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在444

x－π，1，n＝(cos x,1)． 11．已知m＝sin6

(1)若m∥n，求tan x的值；

(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

12．已知函数f(x)＝cos x(23sin x＋cos x)－sin2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π

0，时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围． (2)若当x∈2

B组

1．已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－23sin ωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，π

直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.

2

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

π

－，1是函数f(x)图象的2．已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点6一个对称中心．

(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．

π

ωx－＋1(A>0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距3．函数f(x)＝Asin6离为π.

(1)求函数f(x)的解析式；

πα

0，，f＝2，求α的值． (2)设α∈22

ππ

ω>0，0≤φ≤图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)22

π

＝时取得最大值1. 8(1)求函数f(x)的解析式；

9π

0，时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3(2)当x∈8的取值范围．

第2讲 三角恒等变换与解三角形

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 正、余弦定理的应用·T17 全国卷Ⅱ 倍角公式、同角三角函数基本关系式·T10 二倍角公式及余弦定2018 正、余弦定理的应用·T17 理·T6 同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15 正、余弦定理、三2017 角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现． (2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．

(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．

考点一 三角恒等变换

2sin 47°－ 3sin 17°

1.[化简求值]＝( )

cos 17°A．－3 C．3

B．－1 D．1

余弦定理、三角恒等变换余弦定理、三角形的全国卷Ⅲ 正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T18 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T9 2019 及三角形的面积公式·T17 面积公式·T17 π

0，，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) 2.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈21

A. 5C.3 3

B．5 5

25D． 5

510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) 510

π

D． 6

3.[给值求角]已知sin α＝

5πππA. B． C. 1234

3π

2x＋－3cos x的最小值为________． 4.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2

43

cos θ－＋sin θ－i是纯虚数(i1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝55π

θ－的值为( ) 为虚数单位)，则tan4A．－7 C．7

1

B．－

71

D．－7或－ 7

ππ3

－，，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且2.[与不等式交汇]已知tan 2α＝，α∈224π

α－的值为( ) 对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin425A．－

523C．－

5

B．－D．－

5 53 5

π

α－＝________. 3.[与向量交汇]设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan4

考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算

[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A

－sin Bsin C. (1)求A；

(2)若2a＋b＝2c，求sin C.

题型二 利用正、余弦定理进行面积计算

A＋C

[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.

2

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

题型三 正、余弦定理的实际应用

[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.

1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin 1b

C，cos A＝－，则＝( )

4cA．6 C．4

2．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csin

B＝4asin C.

(1)求cos B的值； π

2B＋的值． (2)求sin6

3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S△ABC＝

考点三 解三角形的综合问题

题型一 与平面几何的综合问题

253

，且a＝5，求sin B＋sin C. 4

B．5 D．3

[例4] (2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD32＋3

⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝23，BD＝3＋6，△BCD的面积S＝.

2

(1)求CD； (2)求∠ABC.

题型二 与三角函数的交汇问题

[例5] 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.

(1)求△ABC的面积；

π

M>0，ω>0，|φ|<(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)2的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．

57

1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC

1427＝－.

7

(1)求B；

(2)若AM＝21，求△AMC的面积．

1

2．已知函数f(x)＝cos2x＋3sin(π－x)cos(π＋x)－.

2

(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．

3.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射2

声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

17

(1)求A，C两地间的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)

【课后通关练习】

A组

一、选择题

1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A．－23 C．2－3

2．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A．－C．－

1

3．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)

21

＝，则sin(3α－β)＝( ) 2

15 715 8

B．D．

15 715 8B．－2＋3 D．2＋3

1A．－

2C．－

3 2

1B．

2D．

3 2

4．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是( )

A．锐角三角形 C．钝角三角形

5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1

b＝acos C＋c，则角A等于( )

2

A．60° C．45°

6．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方3

向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝cos β，

4则v＝( )

A．60 C．100

二、填空题

7．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为43，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．

9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝2，sin∠CAD＝

21

，3ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，且B＋D＝14

B．80 D．125 B．120° D．135° B．直角三角形 D．以上都有可能

π，则△ABC的面积的最大值为________．

三、解答题

1

10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.

2(1)求b，c的值； (2)求sin(B－C)的值．

11．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2

＝abcos A＋a2cos B.

(1)求B；

(2)若b＝27，tan C＝

12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－3sin Asin C.

(1)求B；

(2)求sin A＋cos C的取值范围．

B组

1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连2π接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝.

3

(1)求sin∠AED的值； (2)若AB∥CD，求CD的长．

3，求△ABC的面积． 2

C

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B＝cos2，(c－3b)sin C

2＝(a＋b)(sin A－sin B)．

(1)求A和B；

(2)若△ABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长．

3．(2019·昆明质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝3b.

(1)求A；

(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．

4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝3. 2

(1)求△ABC的外接圆直径； (2)求a＋c的取值范围．