2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期第一次月考(开学考)数学(理)试题

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知复数

2ai1bi，其中a，bR，i是虚数单位，则|abi|（ ） iB．1

C．5

D．5 A．12i

2.设全集UR，集合Mx|2x2，集合N为函数yln(x1)的定义域，则M(ðUN)等于（ ）

A．x|1x2

B．x|x2

C．x|2x1 D．x|x2

3.执行下面的程序框图，如果输出的是a341，那么判断框（ ） A．k4?

B．k5?

C．k6?

D．k7?

4.下列判断错误的是（ ）

A．“|am||bm|”是“|a||b|”的充分不必要条件

B．命题“xR，axb0”的否定是“xR，axb0” C．若(pq)为真命题，则p，q均为假命题 D．若~B(8,0.125)，则E1

5.设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c成等比数列，且sinAsinC（ ）

第页

1

3，则角B4A．

6 B．

3 C．

4 D．

2 3xy0,6.设z2xy，其中变量x，y满足xy0,若z的最大值为6，则z的最小值为（ ）

0yk,A．2

B．1

C．1

D．2

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ） A．43

B．8

C．83 D．47

8.设a0(sinxcosx)dx，则二项式(axB．192

16)展开式中含x2项的系数是（ ） xD．6

A．192 C．-6

x2y29.在区间1,5和2,6内分别取一个数，记为a和b，则方程221(ab)表示离心率小于5的双

ab曲线的概率为（ ） A．

1 2B．

15 32C．

17 32D．

31 3210.对于函数f(x)（1）对于(2(sinxcosx)，给出下列四个命题：

2（2）,0)，使f()2；

存在(0，)，使f(x)f(x)恒成立；（3）存在R，使函数f(x)的图象关于坐标原点

2成中心对称；（4）函数f(x)的图象关于直线x3对称；（5）函数f(x)的图象向左平移个单位就44能得到y2cosx的图象，其中正确命题的序号是（ ） A．（1）（2）（3）

B．（3）（4）（5） C．（3）（4）

D．（2）（3）（5）

11.定义域为R的偶函数f(x)满足对xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，

第页

2

f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(|x|1)在(0,)上至少有三个零点，则a的取值范围

是（ ） A．(0,2) 2B．(0,3) 3C．(0,5) 5D．(0,6) 612.设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间a,bD，使得f(x)函数满足：（1）f(x)在a,b上是单调函数；（2）f(x)在a,b上的值域是2a,2b，则称区间a,b是函数f(x)的“和谐区间”，下列结论错误的是（ ）

A．函数f(x)x2(x0)存在“和谐区间” B．函数f(x)e(xR)不存在“和谐区间”

x4x(x0)存在“和谐区间” 2x11D．函数f(x)loga(ax)（a0，a1）不存在“和谐区间”

8C．函数f(x)第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是 ．

14.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知2sinA3cosA，且a2c2b2mbc，则实数m ．

x2y2215.双曲线221（a0，b0）的一个焦点与抛物线y20x的焦点重合，且该焦点到渐进线的

ab距离为4，那么双曲线的离心率为 ．

16.定义在0,上的函数f(x)满足：（1）当x1,3时，f(x)1|x2|；（2）f(3x)3f(x)．设关于x的函数F(x)f(x)a的零点从小到大一次为x1，x2，„，xn，„．若a(1,3)，则

x1x2…x2n ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f'(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n,Sn)（nN*）均在函数yf(x)的图象上．

第页 3

（1）求数列an的通项公式； （2）设bnm3，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m．

20anan118.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔测试，且规定成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求获得参赛资格的学生，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩； （2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参赛复赛．已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他连续两次答错的概率为

1，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望． 9

OP19.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

底面ABC．

（1）求证：OD//平面PAB； （2）当k1时，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值； 2（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

x2y22220.已知椭圆M：221（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三

ab3角形的周长为642． （1）求椭圆M的方程；

（2）设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

第页

4

21.已知函数f(x)a(x)blnx（a,bR），g(x)x2．

（1）若a1，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求b的值； （2）在（1）的条件下，求证g(x)f(x)2ln2；

（3）若b2，试探究函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处是否存在切线．若存在，研究a值的个数；若不存在，请说明理由．

1x请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，AC交圆O于点D，过点D作圆O的切线交BC于点E． （1）求证：E为BC的中点；

（2）AB上是否存在点P，使得CDDABFBA？请说明理由．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系xOy中，动抛物线C：y2(x33cos)213sin（为任意数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是cos(6)0．

（1）写出直线l的直角坐标方程和动抛物线C的顶点的轨迹E的参数方程； （2）求直线l被曲线E截得的弦长.

24.已知函数f(x)3|x2|，g(x)2|xa|（aR）． （1）当a1时，解不等式f(x)g(x)；

（2）不等式f(x)g(x)2在R上恒成立，求实数a的取值范围．

第页

5

怀仁一中2016—2017学年高三年级第一次月考数学试题（理）答案

一、选择题

题号 答案 二、填空题 13.

1 D 2 C 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D 3 14.1 15.

5n 16.6(31) 3三、解答题

17.解：（1）设二次函数f(x)axbx， 则f'(x)2axb．

2第页 6

由于f'(x)6x2， ∴a3，b2， ∴f(x)3x22x．

又点(n,Sn)（nN*）均在函数yf(x)的图象上， ∴Sn3n22n．

当n2时，anSnSn16n5，

故Tnbii1n11111111(1)， (1)()…()26n1277136n56n11m，故Tn对所有nN*都成立． 220随着n的增大，Tn逐渐增大直至趋近只要

1m即可，即只要m10． 220m故使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m10．

2018.解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的学生人数为：

500(0.00500.00430.0032)20125，

这500名学生的平均成绩为

305050707090901100.00650.01400.01700.00502222110130130150． 0.00430.0032)2078.48（分）

22122（2）设学生甲每道题答对的概率为P(A)，则1P(A)，∴P(A)．

93x(学生甲答题个数X的可能取值为3,4,5， 则P(X3)()3()32112211011，P(X4)C3， ()()2C32()()233333332728212． P(X5)C4()()23327∴X的分布列如下表：

第页

7

X P ∴E(X)3 4 5 1 310 278 271108107． 345327272719.解：（1）∵O、D分别为AC、PC中点， ∴OD//PA． 又PA平面PAB， ∴OD//平面PAB．

（2）∵ABBC，OAOC，∴OAOBOC， 又∵OP平面ABC，∴PAPBPC． 取BC中点E，连接PE，则BC平面POE， 作OFPE于F，连接DF，则OF平面PBC， ∴ODF是OD与平面PBC所成的角． 又OD//PA，

∴PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF． 在RtODF中，sinODFOF210． OD30（3）由（2）知OF平面PBC， ∴F是O在平面PBC内的射影．

∵D是PC的中点，若点F是△PBC的中心，则B，F，D三点共线， ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD， ∵OBBC，∴PCBD， ∴PBBC，即k1．

反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．

20.解：（1）∵椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为642， ∴2a2c642，

又椭圆的离心率为22， 3即

c2222，∴ca；

a338

第页

x2∴a3，c22，∴b1，椭圆M的方程为y21．

9（2）不妨设BC的方程yn(x3)（n0） 则AC的方程为y1(x3)． nyn(x3),12222由x2得(n)x6nx9n10， 29y1,9设A(x1,y1)，B(x2,y2)

81n2927n23∵3x2，∴x2， 229n19n1273n2同理可得x1．

9n21n26n2∴|BC|1n2，|AC|， n9n29n12612(n)1n， SABC|BC||AC|1642(n)2n912t23设tn2，则SABC，

64648nt2t99t8当且仅当t时等号成立，

33∴△ABC面积的最大值为．

8121.解：（1）当a1时，f(x)xblnx，

x1bx2bx1∴f'(x)12，

xxx2依题意得f'(1)2b0，∴b2． （2）由（1）得f(x)x12lnx，定义域为0,，要证g(x)f(x)2ln2，只需证明x12lnx2ln20， x1设F(x)x2x2lnx2ln2(x0)，

xx2x第页

9

122x3x212x(x21)(2x1)则F'(x)2x12， 22xxxx令F'(x)0，得x列表得

1， 21(0,) 2 递减 x F'(x) F(x) ∴当x1 20 极小值 1(,) 2 递增 117时，F(x)取得极小值也是最小值，且F'(x)minF()0 224F'(x)0，∴g(x)f(x)2ln2．

（2）假设函数g(x)与f(x)的图象在其公共点(x0,y0)处存在公切线， ∵b2，∴f(x)a(x)2lnx，

1xax22xa∴f'(x)，g'(x)2x，

x2ax022x0a由f'(x0)g'(x0)，得2x0，

x02即2x03ax022x0a0， ∴(x021)(2x0a)0，故x0a． 2∴函数f(x)的定义域为(0,)， 当a0时，x0a(0,)， 2∴函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线； 当a0时，令f()g()，

a2a2aa2aa2aaa22ln2，g()， ∵f()a()2ln22a22224a2aa2a28a2ln2，即ln（a0）∴． 22482下面研究满足此等式的a的值的个数：

第页

10

设ta，则a2t，且t0， 2a28at2方程ln化为lnt1，

822t2分别画出ylnt和y1的图象，

2t21当t1时，lnt0，10，

22t2由函数图象的性质可得ylnt和y1的图象有且只有两个公共点（且均符合t0），

2a28a∴方程ln有且只有两个根．

82综上，当a0时，函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线；当a0时，函数f(x)与g(x)饿图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的a的值有且仅有两个．

22.解：（1）连接BD，∵AB是圆O的直径，∴ADB90，又BC、DE是圆O的切线， ∴BEDE，∴DBEBDE，

又∵DBE与C互余，BDE与EDC互余， ∴CEDC，∴ECDE， ∴BEEC，因而E为BC的中点． （2）在直角三角形ABC中，

BD2CDDA，作DFAB于点F,

则在直角三角形ABD中，BDBFBA， 因而CDDABFBA，

则存在点F使得CDDABFBA．

23.解：（1）由题意知，直线l的极坐标方程为cos(26)0，

化简得31cossin0， 22则直线l的直角坐标方程是3xy0．

由于动抛物线C的顶点坐标为(33cos,13sin)，

第页 11

x33cos∴轨迹E的参数方程是（为参数）．

y13sin（2）由（1）可得，曲线E的普通方程为(x3)2(y1)29，曲线E是以(3,1)为圆心，3为半径的圆，

则圆心(3,1)到直线l：3xy0的距离为d∴直线l被曲线E截得的弦长为29142．

24.解：（1）当a1时，f(x)g(x)，即|x2|2|x1|3，

|331|1，

2x2,1x2,x1,得或或，

x22x232x2x232x22x371或x或x， 3317∴不等式的解集为(,)(,)．

33解得x（2）令F(x)g(x)2f(x)|x2|2|xa|1，

3x2a1,x2,∴当a2时，F(x)x2a3,2xa,

3x2a3,xa.3x5,x2,当a2时，F(x)

3x7,x2.3x2a1,xa,当a2时，F(x)x2a1,ax2,

3x2a3,x2.∴F(x)的最小值为F(2)或F(a)，

则

F(a)0,

解得a1或a3．

F(2)0,

第页 12

第页13