三角函数与三角形
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。
－1 是(
)
2
) 1．(2011 宁 夏银川一中检测 )y＝(sinx＋cosx ) ·
B．最小正周期为 2π的奇函数 D．最小正周期为 π的奇函数
A．最小正周期为 2π的偶函数 C．最小正周期为 π的偶函数 [答案] D
2
2
[解析] y＝(sinx＋cosx ) －1＝2sinxcosx＝sin2x，所以函数 y＝(sinx＋cosx) －1 是最小正 周期为 π的奇函数．
2．(2011 宁 夏银川月考、山东聊城一中期末 ·
)把函数 y＝sin(ωx＋ φ)(ω>0，|φ|< π)的图象
2 倍(纵坐标不变 )所得的图象
π
向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的
6 解析式为 y＝sinx，则(
π
A．ω＝2，φ＝
6 1 π
C．ω＝ ，φ＝
2 6 [答案] B
[分析] 函数 y＝sin(ωx＋ φ)经过上述变换得到函数 上述变换的逆变换即可得到函数
)
π
B．ω＝2， φ＝－
3 1 π
D．ω＝ ，φ＝
2 12
y＝sinx，把函数 y＝sinx 的图象经过
y＝sin(ωx＋ φ)的图象．
1
2
倍得到的函数解析式是
[解析] 把 y＝sinx 图象上所有点的横坐标缩小到原来的
π
sin2 x，再把这个函数图象向右平移 个单位，得到的函数图象的解析式是
6
π π
sin 2x－ 3.
，与已知函数比较得 ω＝2，φ＝－ 3
y＝ π
y＝sin2 x－ ＝
6
[点评] 本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的 分析解决问题的灵活性， 本题也可以根据比较系数的方法求解， 两次变换后函数
根据已知的变换方法， 经过
ωx ωπ
y＝sin(ωx＋ φ)被变换成 y＝sin ＋ ＋ φ 比较系数也可以得到问题的答
2 6
案．
3．(2011 辽 宁沈阳二中阶段检测 )若函数 f( x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为 1， ·则它的图像的一个对称中心为
π
A. － ，0
(
)
π
B. ，0
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8 8
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C．(0,0) [答案 ] A
π D. － ，0
4
[分析 ] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据 对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令
f( x)＝0 求解． π
2π 2π [解析 ] f(x)＝ sinωx＋cosωx＝ 2sin ωx＋ ，这个函数的最小正周期是 ，令 ＝1，
4 ω ω
π π 解得 ω＝2，故函数 f(x)＝sinωx＋cosωx＝ 2sin 2x＋ ，把选项代入检验知点 － ，0 为其
4 8 一个对称中心．
[点评] 函数 y＝Asin(ωx＋ φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点．
4．(2011 江 西南昌市调研·)已知函数 y＝Asin(ωx＋ φ)＋m(A >0，ω>0)的最大值为 4，最小 π π
值为 0，最小正周期为 ，直x＝ 是其图象的一条对称轴， 则符合条件的函数解析式是 线
2 3
π π A． y＝4sin 4x＋ ＋2
6 B．y＝2sin 2x＋
3 π π C．y＝2sin 4x＋ ＋2 D．y＝2sin 4x＋ ＋2
3 6
[答案 ] D
[解析 ] 由最大值为 4，最小值为 0 得
A＋m＝4
A＝2 ，∴ ，
－A＋m＝0 m＝2
π 为其
3 (
)
2π π π 又因为正周期为 ，∴ ＝ ，∴ ω＝ 4，∴函数为 y＝2sin(4x＋φ)＋ 2，∵直线x＝ ω 2
2
π 5π π π 对称轴，∴ 4× ＋ φ＋kπ，k∈Z，∴ φ＝kπ－ ，取 k＝1 知 φ＝ ，故选 D. ＝ 2 6 6
3
π 5．(文)(2011 北 京朝阳区期末 )要得到函数 y＝ sin 2x－ ·
的图象，只要将函数 4 的图象 (
)
π
B．向右平移 个单位
4 π
D．向左平移 个单位
8
y＝sin2x
π
A．向左平移 个单位
4 π
C．向右平移 个单位
8 [答案 ] C
π π π
[解析 ] y＝sin 2x－ ＝sin2 x－ ，故只要将 y＝sin2 x 的图象向右平移 个单位即可． 因
8 4 8
此选 C.
(理)(2011 东 北育才期末 )已知 a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记·f( x)＝a·b，要得到函
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2x－sin2x的图像，只需将函数 y＝f(x)的图像 ( )
数 y＝cos
π
A．向左平移 个单位长度
2
B．向右平移
π
个单位长度 2
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π
C．向左平移 个单位长度
4 [答案 ] C
π
D．向右平移 个单位长度
4
[解析 ] π
sin2 x＋
4
f(x)＝a·b＝ cosxsin x＋ sinxcosx＝ sin2x， y＝cos π
个单位长度得到，故选
，可将 f (x)的图象向左平移 4
2x－sin2x＝cos2x＝sin
π
＋2x ＝ 2
C.
6．(文 )(2011 北 京西城区期末 )已知△ ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则角 A 等于 ( ·A． 150° C．60° [答案 ] D
[解析 ] 根据正弦定理得
1 ＝
2
，∴ sinA＝1
，
sinA sin45 °
∵a ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a 2 B．90° D．30° ) ＝2，⋯ ⋯ ，解得 b＝ 6.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知 条．件．( ) B．c＝1，cosC＝ 1 3 ．． A． A＝30°，B＝45° C．B＝60°，c＝3 [答案 ] D [分析 ] 可将选项的条件逐个代入验证． 2 [解析 ] ∵ 6 ，∴ A 错； D．C＝75°， A＝45° ≠ sin30 °sin45 ° 1 2＋b2－c2 ∵cosC＝ a 4＋6－1 3 ＝ ≠ ，∴ B 错； 2ab 4 6 2＋c2－b2 7 ∵ a 4＋9－6 ≠cos60°， ＝ ＝ 12 2ac 12 ∴C 错，故选 D. 7．(文)(2011 黄 冈市期末 )已知函数 y＝Asin(ωx＋ φ)＋b 的一部分图象如图所示，如图 · ，则 ( π ) A>0，ω>0， |φ|< 2 专业资料 WORD格式 π A． φ＝－ 6 B．φ＝－ π 3 专业资料 WORD格式 π C．φ＝ D．φ＝ π 3 6 [答案 ] D [解析 ] 由图可知 A＋ b＝4 －A＋b＝0 ，∴ A＝ 2 ， b＝2 又 T ＝ 5π－ π＝ π 4 12 ，∴ T＝π，∴ ω＝2， 6 4 ∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，将 5π ，2 代入得 sin 5π ＋φ＝0，结合选D选知项 . 12 6 (理)(2011 蚌 ·埠二中质检)函数 y＝cos(ωx＋ φ)(ω>0,0< φ<π)为奇函数，该函数的部分图象 如右图所表示， A、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为 2 2，则该函数的一 对条 称轴为 ( ) A． x＝ 2 π π B．x＝ 2 C．x＝1 D．x＝2 [答案 ] C π ，∴函数为 y＝－ sinω x，又 ω>0， [解析 ] ∵函数 y＝cos(ωx＋ φ)为奇函数，0<φ<π，∴ φ＝ 2 相邻的最高点与最低点 A、B 之间距离为 2 2，∴ ω＝ π π ，∴ y＝－ sin x，其对称轴方 为程 2 2 ＝kπ＋ π ，即 x＝2k＋1(k∈Z)，令 k＝0 得 x＝1，故选C. 2 8．(文)(2011 安 ·徽百校联考)已知 cos 3π －φ ＝ 3 π ，且 |φ|< ，则 tanφ等于 ( ) －φ ＝ 3 π 2 2 2 A．－ 3 3 B. 3 3 C. 3 D．－ 3 [答案 ] D [解析 ] 由 cos 3π－ φ＝ 3 3 2 得， sinφ＝－ ， 2 2 π 专业资料 π x 2 WORD格式 1 又|φ|< ，∴ cosφ＝ ，∴ tanφ＝－ 3. 2 2 (理)(2011 山 东日照调·研)已知 cosα＝－ 4 5 且 α∈ π ， π，则 tan α＋ 2 π 4 等于 ( ) 专业资料 WORD格式 A．－ 1 7 B．－ 7 1 C. 7 D．7 [答案 ] C [解析 ] ∵cosα＝－ 4 ， π≤ α≤ π， 5 2 ∴sinα＝ 3 3 5 4 ，∴ tanα＝－ ， π 1 ∴tan α＋ π 3 ＝ tanα＋tan － 7 4 ＋1 ，故选C. 4 ＝ 4 ＝ π 3 1－tanα·tan 1－ － ×1 4 4 9．(2011 巢 ·湖质检)如图是函数 y＝sin(ωx＋ φ)的图象的一部分，→ → 最高点和一个最低点， O 为坐标原点，则OA 的值为·OB ( ) A. 1 1 2＋ 1 π B. π 2 9 1 2－1 D.1 2－1 C. π π 9 3 [答案 ] C [解析 ] 由图知 T π ＝ 5π－ π ＝ ，∴ T＝ π， 4 12 6 4 ∴ω＝2，∴ y＝sin(2x＋φ)， 将点 － π ，0 的坐标代入得sin － π ＋φ＝0， 12 6 ∴φ＝ ，π 6 π2 ∴A ， 1 ，B 2π → → π 6 ，－－ 1 ，∴ OA 1，故选C. ·OB ＝ 9 专业资料 A，B 是图象上的一个 WORD格式 3 10．(2011 潍 坊一中期末·)已知函数 f( x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－ ， ) π π ]上的最大值是 2， 3 4 则ω的最小值等于( A. 2 3 C．2 [答案 ] 专业资料 3 2 B. D．3 C WORD格式 [解析] 由条件知 f π 4 π ＝2sin ω＝2，∴ ω＝8k＋2，∵ ω>0，∴ ω最小值为 2. 4 2 11．(文)(2011 烟·台调研 )已知 tanα＝2，则 2sin α＋1 ＝( ) sin2α A. 5 3 B．－ 13 4 13 13 C. 5 D. 4 [答案] D 2 2 2 2 [解析] ∵tanα＝2，∴ 2sin α＋1 ＝ 3sin α＋cos α＝ 3tan α＋ 1 ＝ 13 sin2α 2sinαcosα 4 . 2tanα tan10 ＋ °tan50 ＋ ° tan120 ° 的值应是 ( ) (理)(2011 四· 川广元诊断 ) tan10 ·°tan50 ° A．－ 1 B．1 C．－ 3 D. 3 [答案] C [解析] 原式＝ tan 10°＋50° 1－tan10 t°an50 °－tan60 ° tan10 t°an50 ° ＝ 3－ 3tan10 t°an50 － °3 tan10 t°an50 ° ＝－ 3. 12．(2011 温 · 州八校期末 )在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、a 题 p： b ＝ c ，命题 q：△ ABC 是等边三角形，那么命题 p 是命题 q 的( ＝ sinC sinB sinA A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C a [解析] ∵ b ＝ c ， ＝ sinC sinA sinB ∴由正弦定理得 s inA sinB ＝ sinB sinC ＝ sinC sinA ， ∴sinA＝sinB＝sinC，即 a＝b＝c，∴p? q，故选 C. 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 13．(文)(2011 山· 东日照调研 )在△ABC 中，若 a＝b＝1，c＝ 3，则∠ C＝________. [答案] 2π 3 专业资料 c，设命) ) WORD格式 2＋b2－c2 a [解析] cosC＝ 2ab 1＋1－3 ＝－ 2 ＝ 1 2π ，∴ C＝ 2 3 . 专业资料 WORD格式 π ， BC＝3，AB＝ 6，则∠ C＝________. (理)(2011 四 川资阳模·拟)在△ ABC 中，∠ A＝ 3 π [答案 ] 4 2 [解析 ] 由正弦定理得 ＝ ，∵ AB 3 6 π . 4 14．(2011 山 东潍坊一中期末·)若 tanα＝2，tan(β－ α)＝3，则 tan(β－2α)的值为 ________． 1 [答案 ] 7 [解析 ] tan(β－2α)＝tan[(β－ α)－α] ＝ tan β－α－tanα ＝ ＝ 1 3－2 . 1＋tan β－ α·tanα 1＋3×2 7 15．(2011 安 徽百校论坛·联考)已知 f(x )＝2sin 2x－ π π －m 在 x∈[0， ]上有两个不同的零 6 2 点，则 m 的取值范围是 ________． [答案 ] [－1,2] π [解析 ] f(x)在[0， ]上有两个不同零点，即方程 2 π π ∴y＝2sin 2x－ ，x∈[0， 2]与 y＝m 有两个不同交点， 6 π ∵0≤ x≤ ，∴－ 2 1 ∴－ 2 π π 5π ≤ 2x－ ≤ ， 6 6 6 π f(x)＝0 在[0， ]上有两个不同实数解， 2 π ≤ sin(2 x－ 6)≤ 1，∴－ 1≤ y≤ 2，∴－ 1≤ m≤ 2. 2 16．(2011 四 川广元诊断·)对于函数 f( x)＝2cos x＋2sinxcosx－1( x∈R)给出下列命题：① π f (x)的最小正周期为 2π；②f (x)在区间[ 5π ]上是减函数； ③直线x＝ ， 2 8 π 称轴；④f( x)的图像可以由函数 y＝ 2sin2x 的图像向左平移 而得到．其中正确命题的序号 4 是________(把你认为正确的都填上 [答案 ] ②③ π π ，最小正周期 T＝π；由 2kπ＋ ≤ 2x＋ ≤ 2kπ 2 4 [解析 ] f(x)＝cos2x＋sin2x＝ 2sin 2x＋ 4 π )． π 是 f(x)的图像的一条对 8 专业资料 WORD格式 3π ＋ 2 (k∈ Z)得 kπ＋ π π π 时， 2x＋ ＝ ， ， 8 8 2 8 ]上是减函数；当 x＝ 8 4 2 π π ∴x＝ 是 f (x)的图象的一条对轴称； y＝ 2sin2x 的图象向左平移 8 4 个单位得到的图象对应函 π π 数为 y＝ 2sin2 x＋ ，即 y＝ 2sin 2x＋ ，因此只有②③正确． 2 4 5π ≤ x≤ kπ＋ ，故 f(x)在区间[ 三、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) π π 5π 专业资料 WORD格式 π 17．(本小题满分 12 分)(2011 烟 台调研·)向量 m＝(a＋1，sinx)，n＝(1,4cos(x＋ ))，设函 6 数 g(x)＝m·n(a∈R，且 a 为常数 )． (1)若 a 为任意实数，求 g(x)的最小正周期； π (2)若 g(x)在[0， )上的最大值与最小值之 为和 3 π [解析 ] g(x)＝m·n＝a＋ 1＋4sinxcos(x＋ 6) 2x＋ a＋1 ＝ 7，求 a 的值． 3sin2x－ 2sin ＝ 3sin2x＋cos2x＋a π ＝2sin(2x＋ 6)＋a π (1)g(x)＝2sin(2 x＋ )＋ a，T＝π. 6 π π 5π π (2)∵0≤ x< ，∴ ≤ 2x＋ 3 6 6 6< π π π 当 2x＋ ＝ ，即 x＝ 时， ymax＝2＋a. 6 2 6 π π 当 2x＋ ＝ ，即 x＝0 时， ymin＝1＋a， 6 6 故 a＋1＋2＋a＝7，即 a＝2. 18．(本小题满分 12 分)(2011 四 川资阳模·拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)( A>0，ω>0,0<φ<π) π 在 x＝ 取得最大值 2，方程 f (x)＝0 的两个根为 x1、x2，且 |x1－x2|的最小值为 π. 6 (1)求 f(x)； (2)将函数 y＝ f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的 π π ， g( x)在 [－ 4 4] 上的值域． 2π [解析 ] (1)由题意 A＝ 2，函数 f(x)最小正周期为 2π，即 ＝2π，∴ ω＝1. ω π 从而 f(x)＝2sin( x＋φ)，∵ f ＝2， 6 π π ∴sin π π ＋2kπ， ＋φ＝ 1，则＋ 2kπ，即 φ＝ 3 ＋φ＝ 6 6 2 1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g( x) 的图象，求函数 专业资料 WORD格式 π π ∵0<φ<π，∴ φ＝ .故 f(x)＝2sin x＋ . 3 3 π (2)可知 g(x)＝ 2sin 2x＋ ， 3 π π π π 5π ， ] ，则 当 x∈[－ ∈[－ 6 6 ， ]时， 2x＋ 4 4 3 π sin 2x＋ 1 专业资料 ∈[－ ，1]， 3 2 WORD格式 故函数 g(x)的值域是 [－1,2]． 19．(本小题满分 12 分)(2011 山· 西太原调研 )在△ ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、 2A＋B 7 －cos2C＝ c，已知 a＋b＝5，c＝ 7，且 4sin 2. 2 (1)求角 C 的大小； (2)求△ABC 的面积． 7 7 2C －cos2C＝ .∴4cos 2 －cos2C＝ [解析] (1)∵A＋B＋C＝180 °，4sin ， 2 2 2 1＋cosC 7 2 2 ∴4· －(2cos C－1)＝ ， 2 1 2C－4cosC＋1＝0，解得 cosC＝ 2 ∴4cos ， 2A＋B ∵0° ∴7＝(a＋b) 2－3ab，解得 ab＝6. 1 3 3 3 ＝ 2 . ∴S 2 △ABC＝ × 6× 2 2absinC＝ π 20．(本小题满分 12 分)(2011 辽· 宁大连联考 )已知函数 f( x)＝Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0，|φ|< ) 2 1 的部分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； α 4 (2)若 f ＝ π 2 ，0<α< ，求 cosα的 值． 5 3 [解析] (1)由图象知 A＝1 5π π 2π f(x)的最小正周期 T＝4× － ＝π，故 ω＝ 12 ＝2 6 T π π 将点 ，1 代入 f(x)的解析式得 sin ＋φ＝1， 6 3 π 又|φ|< 专业资料 π WORD格式 ，∴ φ＝ 2 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝sin 2x＋ 6 α 4 4 π (2)f ＝ π ，又 0<α< 2 ，即 sin α＋ ， ＝ 5 3 5 6 专业资料 WORD格式 ∴ π π π ，∴ cos α＋ π π 6)－ 6] π <α＋ < 6 6 2 又 cosα＝[(α＋ ＝cos α＋ π 3 ＝ . 6 5 3 3＋4 π π . ＋sin α＋ ＝ 10 cos sin 6 6 6 6 π 21．(本小题满分 12 分)(文)(2011 浙 江宁波八校联考·)A、B 是单位圆O 上的动点，且 A、 B 分别在第一、二象限， AOC＝α. C 是圆O 与 x 轴正半轴的交点，△ AOB 为等腰直角三角形．记∠ (1)若 A 点的坐标为 3 4 ，求 5 5 ， 2 sin α＋sin2α 的值； 2α＋cos2α cos 2 的取值范围． (2)求|BC | 4 5 4 [解析 ] (1)∵tanα＝ 3 3 ， 5 ＝ 2α＋2tanα ∴原式＝ tan ＝20. 2α 2－tan π (2)A(cosα，sinα)，B(cos(α＋2)， sin(α＋ 2＝[cos(α＋ π 2))，且 C(1,0) π |BC| π 2＋sin2(α＋ )＝ 2＋2sinα )－1] 2 2 π 而 A，B 分别在第一、二象限， α∈ 0， ， 2 ∴|BC| 2 的取值范围是 (2,4)． (理)(2011 华 安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六·校联考)A、B、C 为△ ABC 的三个内 角，且其对边分别为 A A A A 1 a、 b、c，若 m＝ －cos ，sin ，sin ，且 m·n＝ 4. 2 2 ，n＝ cos 2 2 (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝2 3，三角形面积S＝ 3，求 b＋ c 的值． 1 [解析 ] (1)m·n＝－ cos ＋sin ＝－ cosA＝ 2 2 2 专业资料 2A 2A WORD格式 ， ∴cosA＝－ 1 2 ，∵ A∈(0 °， 180°)，∴ A＝120°. 1 (2) S△ABC＝ 2bcsin120 ＝ 3 ° ∴bc＝4， 专业资料 WORD格式 又∵a 2＝b2＋c2－2bccos120° 2 2 2 ＝b ＋c ＋bc＝(b＋c) －bc＝12， ∴b＋c＝4. 22．(本小题满分 12 分)(2011 黑·龙江哈六中期末 )在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边 π 长分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝ . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2 A，求△ ABC 的面积． 2 2 [解析] (1)由余弦定理及已知条件得， a ＋b －ab＝4，又因为△ ABC 的面积等于 3， 解得 a＝2，b＝2. 2＋b2－ab＝4， 1 a 所以 2 absinC＝ 3，得 ab＝4.联立方程组 ab＝4， (2)由题意得 sin( B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即 sinB cosA＝2sinA cosA， π π，a＝4 3，b＝2 3 ， 当 cosA＝0 时，A＝ ，B＝ 6 3 3 2 2＋b2－ab＝4， 当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，联立方程组 a b＝2a， 2 3 4 3 解得 a＝ ，b＝ 3 3 . 1 2 3 所以△ ABC 的面积 S＝ absinC＝ . 2 3 专业资料 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容