高中数学典型例题详解和练习-利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．f(x)x312x；2．f(x)x2ex；3．f(x)2x2. x21分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)0求出在函数然后按照函数极值的定义判断在这f(x)定义域内所有可能的极值点，些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R．f(x)3x2123(x2)(x2). 令f(x)0，得x2． 当x2或x2时，f(x)0， ∴函数在,2和2,上是增函数； 当2x2时，f(x)0， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当x2时，函数有极大值f(2)16， 当x2时，函数有极小值f(2)16.

2．函数定义域为R．f(x)2xexx2exx(2x)ex 令f(x)0，得x0或x2． 当x0或x2时，f(x)0，

∴函数f(x)在,0和2,上是减函数； 当0x2时，f(x)0，

∴函数f(x)在（0，2）上是增函数． ∴当x0时，函数取得极小值f(0)0，

当x2时，函数取得极大值f(2)4e2． 3．函数的定义域为R．

2(1x2)2x2x2(1x)(1x)f(x).

(x21)2(x21)2令f(x)0，得x1． 当x1或x1时，f(x)0，

∴函数f(x)在,1和1,上是减函数； 当1x1时，f(x)0，

∴函数f(x)在（－1，1）上是增函数． ∴当x1时，函数取得极小值f(1)3， 当x1时，函数取得极大值f(1)1.

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意f(x0)0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．f(x)3x2(x5) ；2．f(x)x2x6.

分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极

值的定义判定．在函数f(x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．

解：1．f(x)233x(x5)3x22(x5)3x5(x2)3. 33x3x令f(x)0，解得x2，但x0也可能是极值点． 当x0或x2时，f(x)0，

∴函数f(x)在,0和2,上是增函数； 当0x2时，f(x)0，

∴函数f(x)在（0，2）上是减函数． ∴当x0时，函数取得极大值f(0)0， 当x2时，函数取得极小值f(2)334．

2xx6,(x2或x3),2．f(x)2

xx6,(2x3),2x1,(x2或x3),∴f(x)2x1,(2x3),

不存在,(x2或x3).令f(x)0，得x．

当x2或x3时，f(x)0，

∴函数f(x)在,2和,3上是减函数；

121212当x3或2x时，f(x)0，

1∴函数f(x)在3,和2,上是增函数．

212∴当x2和x3时，函数f(x)有极小值0，

当x时，函数有极大值

1225． 4说明：在确定极值时，只讨论满足f(x0)0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中x0处，2中x2及x3处函数都不可导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f(x)在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．

根据函数的极值确定参数的值

例 已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且

f(1)1．

1．试求常数a、b、c的值；

2．试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数

a、b、c的值．

解：1．解法一：f(x)3ax22bxc．

x1是函数f(x)的极值点，

∴x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根， 由根与系数的关系，得

2b0, （1）3a c1, （2）3a又f(1)1，∴abc1， （3） 由（1）、（2）、（3）解得a,b0,c． 解法二：由f(1)f(1)0得

3a2bc0， （1） 3a2bc0 （2）

1232又f(1)1，∴abc1， （3）

32133332．f(x)x3x，∴f(x)x2(x1)(x1).

22222解（1）、（2）、（3）得a,b0,c．

12当x1或x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.

∴函数f(x)在,1和1,上是增函数，在（－1，1）上是减函数．

∴当x1时，函数取得极大值f(1)1， 当x1时，函数取得极小值f(1)1．

说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用f(1)0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．