利用导数研究不等式

利用导数研究不等式

利用导数证明不等式f(x)g(x)在区间上恒成立的基本方法：

（1）构造函数h(x)f(x)g(x)（2）根据函数的单调性，或函数的值域、最值

证明h(x)0注意：

（1）适用于不等式两边都含有单个变量x时，

证明不等式f(x)g(x),xD（2）不适用于不等式两边分别是两个不相关

的变量的情况，

如：f(x)g(x),x,x1212Df(x)ming(x)max（如果不存在最值则使用值域的端点值

比较）

1、教材99页B组

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

sinxx,x(0,)(1)

2

xx0,x(0,1)（2）

（3）

2e1x,x0

x（4）

lnxxex,x03

2、设

xa为

实数，函数

f(x)e2x2a，xR(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证：当

aln21且x0时，

4

exx22ax15

、（2011新课标文）f(x)alnxx1bx，曲线21）（本小题满分12分）

yf(x)在点(1,f(1))处的切6

附加题：

1（已知函数线方程为x2y30。（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）证明：当x0，且x1时，f(x)lnxx1.7

利用导数研究方程解（函数零点）的情况

研究函数f(x)的零点问题常常与研究对应方程

f(x)0的实根问题相互转化：

（1）已知含参函数f(x)存在零点（即至少一个

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零点），求参数范围问题，一般可作为代数问题求. 即对方程f(x)0参变分离，得到ag(x)的形式，则所求a的范围就是g(x)的值域.（2）当研究函数f(x)的零点个数问题，即方程

f(x)0的实根个数问题时，也常要进行参变分

离，得到ag(x)的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.1、已知函数f(x)x33ax1,a0（1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

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2、已知函数f(x)ax3bx2x,(xR,a,b是常数，a0),且当x1和x2时，函数f(x)取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)若曲线yf(x)与g(x)3xm,(2x0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围10

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不等式恒成立与存在性问题

题型一：

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造函数.

（1）若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)和最

min大值f(x)，则

max不等式f(x)a在区间D上恒成立f(x)不等式f(x)a在区间D上恒成立f(x)minaa；；

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min不等式f(x)b在区间D上恒成立f(x)不等式f(x)b在区间D上恒成立f(x)且值域为(m,n)，则

maxbb；；

max（2）若函数f(x)在区间D上不存在最大（小）值，不等式f(x)a（或f(x)a）在区间D上恒成立ma；不等式f(x)b（或f(x)b）在区间D上恒成立nb；提醒：

（1）“分离参数法”，使得构造的函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论；

（2）对于不等式验证区间端点值成立的情形，一般采用“不分离参数法”，它比“分离参数法”操作上简单.

希望同学们视不同情形，选择不同方法。

1、已知函数f(x)xlnx13

（1）求f(x)的最小值；

（2）若对于所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.

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2、已知函数f(x)xalnx,(aR)（1）当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若在区间e,上，f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.

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3、设函数f(x)exex（1）证明：f(x)的导数f/(x)2；

（2）若对所有x0都有f(x)ax，求实数围.

a的取值范

16

17

x4、已知函数f(x)alnx1221,(aR且a0)2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）是否存在实数a，使得对任意x1,，都有

f(x)0?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说

明理由.

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题型二：不等式有解问题

（1）若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)和最

min大值f(x)，则

max不等式af(x)在区间D上有解af(x)；

max不等式af(x)在区间D上有解af(x)；

max不等式af(x)在区间D上有解af(x)；

min不等式af(x)在区间D上有解af(x)；

min（2）若函数f(x)在区间D上不存在最大（小）值，且值域为(m,n)，则

不等式af(x)（或af(x)）在区间D上有解an；不等式bf(x)（或bf(x)）在区间D上有解bm；

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1(aR)若在1,e上例题：已知函数f(x)xalnx,g(x)ax存在一点x，使得f(x)g(x)成立，求实数a的取值

00

0

范围.

题型三：不等式两边分别是两个不相关的变量的情况（1）对

x1a,b，总存在

x2m,n，使得

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f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min（2（3（4

）对）对）对

x1a,b，

x2m,n，使得

f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)minx1a,b， ，

x2m,n，使得

f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)maxx1a,bx2m,n，使得

f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)minax例题：已知函数f(x)122(2a1)x2lnx,(aR)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设g(x)x1222x，若对任意的x1(0,2],均存在x2(0,2],使得f(x)g(x)，求a的取值范围.

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附加题：

（2013福建文）22（本小题满分14分）已知函数f(x)x1ea（aR，e为自然对数的底数）．

x（1）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）求函数f(x)的极值；

22

（3）当a1的值时，若直线l:ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值．

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