不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

a2b2ab22a,bR22ab2ab注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等

式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1111111、已知a,b,c均为正数，求证：2a2b2cabbcca

二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a、b、c(0,)，abc1，求证：

a2b2c213

4443、设a、b、c是互不相等的正数，求证：abcabc(abc)

4、 知a,b,cR，求证:

a2b2b2c2c2a2(abc)2

11(1)(1)9xy5、x、y(0,)且xy1，证：。

a,bR,ab1求证：16、已知1111.ab9

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c为正数，求证：

2(ababc3ab)3(abc)23

8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

9、b1，求证：

ab(1a2)(1b2)1。

2210、xy1，求证：2xy2

114.abbcac11、已知a>b>c,求证：

1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：2≤x－xy＋y≤3．

2213、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10．

114、解不等式5xx1＞2

21x15、－1≤－x≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

252216、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥2．

六、利用“1”的代换型

111已知a,b,cR,且 abc1,求证： 9.abc17、

七、反证法

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法

33119、已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。

120、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于4。

21、a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。

八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

cbda22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜abc＋bcd＋cda＋dab＜

2．

23、nN*，求证：

2(n11)112131n2n1。

24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：

x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC。

证

九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc

22＋2ca．

252225、 设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥2．

26、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a1＋2b1≤22．

1．实数绝对值的定义:

|a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)||f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。