凸透镜标准不确定度的误差分析

凸透镜焦距的测定的误差分析

林明菊

摘 要：透镜是光学仪器中最基本的光学元件，而透镜焦距是透镜的重要参量之一，透镜的成像位置及性质（大小、虚实）均与其有关。本文通过对凸透镜焦距测定的研究，在相同测量条件下采用两次成像法取不同的d、D值测得的结果进行比较分析，总结出D值的选取对不确定度影响的规律，为焦距测量实验提供一些数据参考。

关键词：薄透镜；凸透镜；焦距；测量方法；实验误差

不同透镜有不同的焦距，而同一透镜的焦距有多种测量方法，对于测量方法的选取应根据不同的透镜、不同的精度要求和具体的实验条件选择合适的方法。测量凸透镜焦距的方法主要有以下几种：物距像距法测凸透镜焦距、辅助透镜成像法测凸透镜焦距、两次成像法测凸透镜焦距（又称共轭法、贝塞尔法或位移法）、自准直法测凸透镜焦距等。笔者根据现有的实际情况及实验条件，对大学物理中常用的两次成像法，选取在各种物屏像屏距离D值（D＞4f）的情况下测量凸透镜焦距，并通过不确定度分析总结出在相同条件下，如何选取合适的物屏像屏距离才能测得较精确结果的结论。 1．透镜基本知识

透镜是由两个折射面所限定的透明体组成称为透镜，是光学仪器中最基本的光学元件。薄透镜是透镜中最基本的一种，其厚度较自身球面的曲率半径及焦距要小得多，厚度可忽略不计。薄透镜可分为凸透镜和凹透镜。其中心厚度大于边缘厚度的称为凸透镜，中心厚度小于边缘厚度的称为凹透镜[1]。

焦距是光学系统中衡量光的聚集或发散的度量参数，指从透镜的光心到光聚集之焦点的距离，它是表征透镜成像性质的重要参数。 2. 测量值不确定度的意义

在物理测量中，测量的理想值是获得被测量在测量条件下的真值，但在实际的测量过程中由于实验方法、实验仪器和实验者操作技能等因素的影响，测量值只能是被测量的一个近似值，但它是在真实值附近的一个测量值范围内，测量不确定度就是评定此测量值范围的一个测量质量指标。若此量值范围越窄，即测量不确定度越小，则测量值表示真实值的可能性就越高[2]。

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由于测量值有误差，误差的来源不同对其测量值的影响也不同。总体来说物理实验测量的误差来源主要为两类，一类是偶然误差，另一类是系统误差（仪器引入的误差和实验方法引入的误差）。偶然误差是由重复测量产生偶然效应，使测量值分散而引入的，因此用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的A类评定；仪器引入的误差是由于仪器的影响，使测量值向某一方向有恒定的偏移而引入，因此用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的B类评定。由于其测得值的不确定度来源不止一个，所以对于某物理量测定后，要计算测得值的不确定度，要合成其标准不确定度，即称为合成标准不确定度u(f)。在本文中对凸透镜焦距的分为九组（每组测五次）进行测量后，分别求合成标准不确定度，用以探究与真实值最接近的一个焦距值范围。 3. 测凸透镜焦距所使用实验仪器

光具座是测量几何光学的重要实验仪器之一。它不仅造型美观、结构合理，而且使用灵活方便、经久耐用，是测量凸透镜焦距的必备仪器，尤其是导轨与滑座各附标尺，便于测量滑座平移的距离。它由导轨（用于盛放双面像屏、激光光源支架、弹性镜架等仪器器件）、滑座（调节滑座使其标尺零位对准导轨中央的凸棱，以此作为水平位的初始状态）、可调支架、弹性镜架、弹簧片架、弹簧片架、双面像屏、激光光源支架、延伸架、光源用开关电源、可调升降立柱、刻度载物平台等组成。

4. 两次成像法测量凸透镜焦距的实验原理

两次成像法测凸透镜焦距光路图如下图所示。设保持物屏与像屏的相对位置不变，并使其距离D4f'，当凸透镜置于物屏与像屏之间时，可以找到两个透镜位置，像屏上都能得到清晰的像，如图所示。透镜两个位置（L1与L2）之间的距离的绝对值为d。运用物像的共轭对称性质，容易证明

D2d2'f

4DL1 L2 PP\"dD 两次成像法原理图

P'

只要测出d和D，就可以算出f'。由于f'是通过透镜两次成像而求得的，因而此法又称为两次成像法。同时可以看出，成像时都是把透镜看成无限薄的，物距与像距都近似地用从透镜光心算起的距离来代替，而这种方法中则毋须考虑透

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镜本身的厚度。因此，用这种方法测出的焦距一般较为准确[3]。 5. 测凸透镜焦距的实验方法

测凸透镜焦距首先要对光学系统进行共轴调节，其目的是使各透镜的光轴重合且与光具座的导轨严格平行，光线能通过各元件中心，将像呈现在像屏上，进而避免不必要的像差和使读数准确，共轴调节的有粗调和细调两个步骤。若在物屏、像屏、光源不变的情况下，移动凸透镜，两次成像的像中心位置不变，则可以判断出各元件已经共轴[4]。

在共轴调节完成之后才能进行凸透镜焦距的测量，将物屏与像屏固定在相距大于4f'的位置，测出它们之间的距离D，但要注意的是测量物、透镜及像的位置时，要检查滑块上的读数准线和被测平面是否一致，如果不一致会导致误差，该实验是用T形辅助棒法去测，位置统一由辅助棒法所在滑块的准线去读，误差将会减小。再者人眼对成像的清晰度的分辨能力不是很强，因而像屏在一小范围p内移动时，人眼所见的像是同样清晰的，此范围为深景。为了减少由此引入的误差，

可由进向远和由远向近移动白屏，去探测像的位置，并取二位置的平均值为像的位置。如上图所示，移动透镜，使屏上得到清晰的物像，记录透镜的位置L1。移动透镜至另一位置，使屏上又得到清晰的物像，再记录透镜的位置L2，重复5次，求其平均值及标准不确定度，最后得出实验结果。改变屏的位置，测九组有效数据。

6．凸透镜焦距的测量数据及不确定度估算

6.1 第1组实验数据 （物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：95.05 cm ）

表1 单位：cm 次数 1 2 3 4 5 凸透镜位置L1 38.55 38.65 38.88 38.66 38.85 凸透镜位置L2 75.55 75.08 75.50 75.20 75.35 二次成像透镜距离d 37.00 36.43 36.62 36.54 36.50 焦距f' 15.04 15.22 15.13 15.14 15.15 物屏像屏距离D1= 77.75 cm 不确定度计算及实验结果： 平均值：d11di' n=(37.00+36.43+36.62+36.54+36.50)/5

=36.62 cm

平均值：f'1fi' n =(15.04+15.22+15.13+15.14+15.15)/5 =15.14 cm

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uA（d）did2n（n1）

0.3820.1920.0820.122 

20=0.010

uB（d） =

30.10

3 =0.058

uCuAuB （d） =0.01020.0582 =0.059

22f2uud （f）d2d2 =2Dud

136.620.059 =

277.75 =0.014

结果表述：f'f'uf

=(15.140.014)cm

22D12.123 d16.2 第2组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：85.25 cm D2=67.95cm ）

表2 单位：cm 次数 1 2 3 4 5 凸透镜位置L1 41.15 40.96 40.80 41.10 40.98 凸透镜位置L2 63.15 63.45 63.25 63.50 63.60 二次成像透镜距离d 22.00 22.49 22.45 22.50 22.62 焦距f' 15.21 15.13 15.13 15.12 15.11 6.3 第3组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：80.35 cm D3=63.05 cm） 表3 单位：cm 次数 1 2 3 4 5 44

凸透镜位置L1 44.05 43.50 43.90 43.70 43.85 凸透镜位置L2 56.05 55.85 56.25 55.95 55.65 二次成像透镜距离d 12.00 12.35 12.35 12.25 11.80 焦距f' 15.19 15.16 15.16 15.17 15.21 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

6.4 第4组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：90.25 cm D4=72.95cm）

表4 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 39.85 39.75 39.80 39.75 39.79 70.05 70.00 69.85 70.10 69.95 30.20 30.25 30.05 30.35 30.11 15.11 15.10 15.14 15.08 15.13 6.5 第5组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：77.20 cm D5=59.90cm） 表5 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 45.65 47.10 4+.65 46.65 46.60 50.60 50.35 50.20 50.15 50.00 4.95 3.25 3.55 3.50 3.40 14.87 14.93 14.92 14.92 14.93 6.6 第6组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：78.45 cm D6=61.15cm） 表6 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 45.95 45.45 45.55 46.05 45.65 52.35 52.95 52.60 52.55 51.95 6.40 7.50 7.05 6.50 6.30 15.12 15.06 15.08 15.11 15.13 6.7 第7组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：92.20 cm D7=74.90cm ） 表7 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 39.15 39.40 39.25 39.20 39.25 72.75 72.80 72.80 72.75 72.70 33.60 33.40 33.55 33.55 33.45 14.96 15.00 14.97 14.97 14.99 6.8 第8组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：101.00 cm D8=83.70cm ）

表8 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 38.20 38.15 37.95 38.00 38.09 82.15 82.10 82.05 82.15 82.12 43.95 43.95 44.10 44.15 44.03 15.16 15.16 15.12 15.10 15.13

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6.9 第9组实验数据（物屏位置P：17.30 cm 像屏位置P＇：79.20 cm D9=61.90cm ）

表9 单位：cm 凸透镜位置L1 凸透镜位置L2 二次成像透镜距离d 次数 焦距f' 1 2 3 4 5 43.75 44.90 44.30 44.32 44.25 54.40 53.60 53.85 53.70 53.70 10.65 8.70 9.55 9.38 8.17 15.02 15.17 15.11 15.12 15.21 同理，第2组—第9组实验的数据处理、不确定度估算及实验结果与表1数据的处理方法相同，其结果见表10。

表10 单位：cm

组数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 物屏像屏距离D 77.75 67.95 63.05 72.95 59.90 61.15 74.90 83.70 61.90 d f' 15.14 15.14 15.18 15.01 14.91 15.10 14.98 15.13 15.13 uA（d）uBf' uC（d） u（d）（f） 0.010 0.011 0.022 0.001 0.309 0.232 0.367 0.040 0.420 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 0.059 0.059 0.062 0.058 0.314 0.239 0.372 0.070 0.024 D/d 0.014 0.010 0.006 0.012 0.010 0.013 0.074 0.018 0.002 15.140.014 15.140.010 15.180.006 15.110.012 36.62 22.41 12.35 30.19 3.73 6.75 33.51 44.04 9.29 2.123 3.032 5.105 2.416 16.06 9.059 2.235 1.901 6.663 14.910.010 15.100.013 14.980.074 15.130.018 15.130.002 7. 实验结论

在物屏像屏距离D（D＞4f）时，待测凸透镜由实验所测数据分析结果比较：

表11 D值序号 物屏像屏距离凸透镜的焦距(cm) 物屏像屏距离D和两次透D(cm) 83.70 77.75 74.90 72.95 67.95 63.05 61.90 61.15 59.90 f'f'uf 镜距离d的比值 1.901 D dD8 D1 D7 D4 D2 D3 D9 D6 D5 66

15.130.018 15.140.014 14.980.074 15.110.012 15.140.010 15.180.006 15.130.002 15.100.013 14.910.010 2.123 2.235 2.416 3.032 5.105 6.663 9.059 16.06 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

由两次成像法所测得凸透镜焦距的实验结果f'即测量值f'及其标准不确定

度的变化规律是“物屏像屏距离D9= 61.90 cm，f'f'uf=（15.130.002）cm”时f'的标准不确定度最小。由表11看出，当D>61.90cm或D<61.90cm时，不确定度都大于0.002cm。因此，可以认为：当物屏像屏距离D9= 61.90 cm时，实验结果f'=（15.130.002）cm最接近凸透镜焦距的真实值，即在测焦距时D值的选取并非越是大于4f'越好。这是我们在实验中发现为什么在同一台仪器上不同的实验者用相同的测量方法测同一凸透镜焦距，测量结果相差很大的原因之一。

同时，在本实验测量f'时物屏像屏间距离D和两次成像时凸透镜位置的距离d的比值结果还可以得出这样的结论：物屏像屏间距离D与两次成像时凸透镜位置的距离d之比值随着物屏像屏间距离D的减小而增大，而此值在约6.7倍时不确定度最小。

通过本次实验得出的结论，本人认为实验教学的内容还有待扩展，如何加强开放性实验或设计性实验的教学环节，让学生自主的去探究实验中出现的问题，如为什么测量误差较大，误差产生的原因及怎样找到解决的办法等等，而不是只在规定的学时内做完老师规定的实验项目就算合格。这种探究式的学习将会促使学生去主动思考实验中的问题，培养和提高解决实际问题的能力，并从中真正的感悟到物理实验的乐趣，以使实验内容更加充实和生动。

注释

[1] 李晓彤,岑兆丰. 几何光学 相差.光学设计[M].杭州：浙江大学出版社，2003版，47 [2] 杨述武. 普通物理实验（力学及热学部分）[M]. 北京：高等教育出版社,2000年版，11 [3] 杨述武,王定兴. 普通物理实验（三、光学部）[M].北京：高等教育出版社，2000年版，

40-41

[4] 杨述武,王定兴. 普通物理实验（三、光学部）[M].北京：高等教育出版社，2000年版，

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参考文献

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[2] 杨述武,王定兴. 普通物理实验（三、光学部）[M].北京：高等教育出版社，2000年版，

40-41

[3] 杨之昌.几何光学实验 [M].上海：上海科技出版社， 1984年版，75-80 [4] 沈元华,陆申之. 基础物理实验[M].北京：高等教育出版社，2003年版,226-230 [5] 辛旭平,周芹. 一级物理实验[M].北京：科学出版社，2005年版,3-15 [6] 胡根大,洪鹏程. 物理实验教程[M].上海：上海大学出版社，2006年版,3-16

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[10]杨述武. 普通物理实验（力学及热学部分）[M]. 北京：高等教育出版社,2000年版，11-12

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