平江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如右图，在长方体

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

A

B

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C

D

2． 在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（ ）

A．13 B．26 C．52 D．56

3． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别

，则下列判断正确的是（ ）

、

A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定

C．D．＞，甲比乙成绩稳定 ＞，乙比甲成绩稳定

4． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

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A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 5． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ） A．x﹣2y+7=0

B．2x+y﹣1=0

2C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0

6． 已知函数f(x)f'(1)xx1，则A．10f(x)dx（ ）

7755 B． C． D． 6666【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.

7． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是（ ）

A．60° B．45° C．90° D．120°

8． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（ ）

A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点

D．每条直线至多过一个有理点

9． 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

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A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

10．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A5 B4 C3 D2

11．已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）

A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0

B．0或

C．

或

D．0或

二、填空题

13．已知两个单位向量a,b满足：ab1，向量2ab与的夹角为，则cos . 214．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 1 2 2 1 f（x） 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

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2

15．函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈ ． 的最小值是 ．

16．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

18．在复平面内，记复数的复数为 ．

+i对应的向量为

，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量

所对应

三、解答题

19．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．

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20．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2） （Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积

（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有0，

（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （2）解不等式

；

＞

2

（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．

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22．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）的极大值为

23．已知函数f(x)，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

3x，x2,5． x1（1）判断f(x)的单调性并且证明；

（2）求f(x)在区间2,5上的最大值和最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． y2【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

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平江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24） 根据相识三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6， 即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

2． 【答案】B

【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10， 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13==故选B

=

=26

=13。

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．

3． 【答案】A

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【解析】解：由茎叶图可知

=（75+86+88+88+93）=故选：A

=（77+76+88+90+94）==86，则

＜

，

，

乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．

4． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 5． 【答案】A ∵过点（﹣1，3） ∴x﹣2y+7=0 故选A． 2y+c=0．

6． 【答案】B

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣

7． 【答案】A

【解析】解：如图所示，设AB=2，

则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）． ∴∴∴

=（﹣2，0，2），

==60°．

=（0，1，1），

=

=，

∴异面直线EF和BC1所成的角是60°．

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故选：A．

【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由于

也在此直线上，

所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有又x2﹣a为无理数，而所以只能是即

；

； ，

为有理数，

，且y2﹣y1=0，

所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是所以，正确的选项为C． 故选：C．

【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．

9． 【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

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2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0， 故选：A

10．【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3. 11．【答案】C

34

【解析】解：由已知得f′（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx+1， 34

令g（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx是奇函数，

＞0且x1x2=＞0，（a＞0），

由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C．

【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．

12．【答案】D

2

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，

22

∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）=x=f（x），

又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，

又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

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当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；

当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]． 由

2

得：x﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．

综上所述，a=﹣或0 故选D．

二、填空题

13．【答案】【解析】

27． 7考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；

三是利用数量积的几何意义．

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简

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14．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

15．【答案】 [﹣1，3] ．

22

【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，

22

∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2

∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），

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故2m+n=1．

mn∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

17．【答案】0.6 【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

18．【答案】 2i ．

【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 （

+i）（cos60°+isin60°）=（

+i）（

）=2i

+i）

，故答案为 2i．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（（cos60°+isin60°），是解题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，

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在Rt△EOF中，∴∴

，

，

依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}

【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型， 注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2， ∴CF=DF，OF=

，

，

∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=∵CE为直径，∴DE⊥CD， ∴OF∥DE，DE=2OF=2， ∴

，

图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB， 又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，

∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高， ∴

．

（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO． 证明：分别连接PE，CP，OP， ∵点P为劣弧BC弧的中点，∴

，

∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形， ∴CP∥AB，且∴CP∥DE且CP=DE，

，又∵DE∥AB且DE=

，

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∴四边形CDEP为平行四边形， ∴PE∥CD，

又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO， ∴PE∥平面CDO．

【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2） ∵即

∵x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

则f（x）是[﹣1，1]上的增函数； （2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数， 不等式﹣1≤x+＜

≤1，

即为

＞0， ＞0，

解得﹣≤x＜﹣1， 即解集为[﹣，﹣1）；

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2

（3）要使f（x）≤m﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只须f（x）max≤m﹣2am+1，即1≤m﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

2

2

亦即m﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m，

2

2

只须，

解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．

22．【答案】

【解析】解：f′（x）=

2

令g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2， ∴

；

，

，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

23．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】

3(x1x2)0，所以f(x)在2,5(x11)(x21)5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为f(2)2，最大值为f(5).

2试题分析：（1）在2,5上任取两个数x1x2，则有f(x1)f(x2)试题解析：

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在2,5上任取两个数x1x2，则有

f(x1)f(x2)所以f(x)在2,5上是增函数．

3x13x23(x1x2)0， x11x21(x11)(x21)所以当x2时，f(x)minf(2)2， 当x5时，f(x)maxf(5)考点：函数的单调性证明．

【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1 24．【答案】

【解析】（1）由题意，知不等式|2x|2m1(m0)解集为,2由|2x|2m1，得m5. 22,．

11xm，……………………2分 2213所以，由m2，解得m．……………………4分

22aayy（2）不等式f(x)2y|2x3|等价于|2x1||2x3|2y，

22ay由题意知(|2x1||2x3|)max2y．……………………6分

2

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