平面解析几何
一.直线部分
1.直线的倾斜角与斜率:
(1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.
倾斜角(2)直线的斜率:
[0,180),90斜率不存在.
ky2y1(x1x2),ktan.(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
x2x12.直线方程的五种形式: (1)点斜式:
yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
x0.
注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x(2)斜截式:(3)两点式:
ykxb (b为直线l在y轴上的截距).
yy1xx1 (y1y2,x1x2).
y2y1x2x1注:① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线;
② 方程形式为:(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0时,方程可以表示任意直线.
(4)截距式:
xy. 1 (a,b分别为x轴y轴上的截距,且a0,b0)
ab注:不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线.
(5)一般式:
AxByC0 (其中A、B不同时为0).
ACA一般式化为斜截式:yx,即,直线的斜率:k.
BBB注:(1)已知直线纵截距b,常设其方程为ykxb或x0.
已知直线横截距x0,常设其方程为xmyx0(直线斜率k存在时,m为k的倒数)或y0.
已知直线过点(x0,y0),常设其方程为
yk(xx0)y0或xx0.
(2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.
(1)直线在两坐标轴上的截距相等....直线的斜率为1或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若l1:①
yk1xb1,l2:yk2xb2
l1//l2k1k2,b1b2; ② l1l2k1k21. :A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,有
//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1.② l1l2A1A2B1B20.
(2)若l1① l15.平面两点距离公式:
(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)),P1P2(x1x2)2(y1y2)2.x轴上两点间距离:
ABxBxA.
x1x2x02M(x,y)P线段P的中点是,则0012yy1y2026.点到直线的距离公式:
.
点P(x0,y0)到直线l:AxByC7.两平行直线间的距离:
两条平行直线l1:Ax8.直线系方程:
(1)平行直线系方程:
. ykxb中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.
② 与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10. ① 直线
③ 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC(2)垂直直线系方程:
① 与直线l:AxByC0的距离:dAx0By0CAB22.
ByC10,l2:AxByC20距离:dC1C2AB22.
0平行的直线可表示为:A(xx0)B(yy0)0.
0垂直的直线可表示为BxAyC10.
② 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为:B(xx0)A(yy0)0.
(3)定点直线系方程:
① 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为② 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为
yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数. A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.
(4)共点直线系方程:经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20交点的直线系方程为
A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (除l2),其中λ是待定的系数.
9.曲线C1:f(x,y)0与C2:g(x,y)0的交点坐标方程组f(x,y)0的解.
g(x,y)02二.圆部分 10.圆的方程:
(yb)2r2(r0).
2222(2)圆的一般方程:xyDxEyF0(DE4F0).
(1)圆的标准方程:(xa)(3)圆的直径式方程:
A(x1,y1),B(x2,y2),以线段AB为直径的圆的方程是:(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.
DE1注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是(,),rD2E24F.
222若
(2)一般方程的特点:
① x和
2y2的系数相同且不为零;② 没有xy项; ③ D2E24F0
Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的等价条件是:
(3)二元二次方程
① AC0; ② B11.圆的弦长的求法:
2220; ③ D2E24AF0.
(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,
l2)d2r2; 2(2)代数法:设l的斜率为k,l与圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
则:“半弦长+弦心距=半径”——(|AB|1k2|xAxB|1(其中|1|yAyB| 2kx1x2|,|y1y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x,利用韦达定理求解)
22212.点与圆的位置关系:点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种
①P在在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2.
22dr(x0a)2(y0b)2r2. 【P到圆心距离d(ax0)(by0)】
②P在在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2. ③P在在圆上13.直线与圆的位置关系:
直线
AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbCAB22):
y)后,所得一元二次方程的判别式为.
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d
圆心到直线距离为d,由直线和圆联立方程组消去x(或
dr1r2外离4条公切线; dr1r2内含无公切线;
dr1r2外切3条公切线;dr1r2内切1条公切线;
r1r2dr1r2相交2条公切线.
y2DxEyF0(D2E24F0)
22(1)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程:
15.圆系方程:x2x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数.
(2)过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程:
x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数.
特别地,当1时,x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0就是
(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.
216.圆的切线方程:
(1)过圆xy2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:x0xy0yr2.
a)(yb)(y0b)r2 .
(2)过圆(xa)2(yb)2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:(xa)(x0(3)当点P(x0,y0)在圆外时,可设切方程为即d17.把两圆x2yy0k(xx0),利用圆心到直线距离等于半径,
r,求出k;或利用0,求出k.若求得k只有一值,则还有一条斜率不存在的直线xx0.
y2D1xE1yF10与x2y2D2xE2yF20方程相减
即得相交弦所在直线方程:(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 .
18.对称问题: (1)中心对称:
① 点关于点对称:点
A(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称点A(2x0x1,2y0y1).
//l2由点斜式得出直线方程.
② 直线关于点对称:
法1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程. 法2:求出一个对称点,在利用l1(2)轴对称:
① 点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上.
⊥lkAA·AA kl1点A、A 关于直线l对称 .
上AA 中点在lAA 中点坐标满足l方程② 直线关于直线对称:(设a,b关于l对称)
法1:若a,b相交,求出交点坐标,并在直线a上任取一点,求该点关于直线l的对称点.
若a//l,则b//l,且a,b与l的距离相等.
法2:求出a上两个点A,B关于l的对称点,在由两点式求出直线的方程.
(3)点(a, b)关于x轴对称:(a,- b)、关于y轴对称:(-a, b)、关于原点对称:(-a,- b)、
点(a, b)关于直线y=x对称:(b, a)、关于y=- x对称:(-b,- a)、
关于y = x +m对称:(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称:(-b+m、- a+m) .
19.若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标是20.各种角的范围:
直线的倾斜角 0180 两条相交直线的夹角 两条异面线所成的角 090
x1x2x3y1y2y3,.
33090
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