高中数学平面解析几何知识点梳理

平面解析几何

一．直线部分

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线

重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.

倾斜角（2）直线的斜率：

[0,180),90斜率不存在.

ky2y1(x1x2),ktan．（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x12．直线方程的五种形式： （1）点斜式：

yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

x0．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x（2）斜截式：（3）两点式：

ykxb (b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1 (y1y2，x1x2).

y2y1x2x1注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：

xy． 1 （a,b分别为x轴y轴上的截距，且a0,b0）

ab注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：

AxByC0 (其中A、B不同时为0)．

ACA一般式化为斜截式：yx，即，直线的斜率：k．

BBB注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或x0．

已知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y0．

已知直线过点(x0,y0)，常设其方程为

yk(xx0)y0或xx0．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若l1:①

yk1xb1，l2:yk2xb2

l1//l2k1k2,b1b2； ② l1l2k1k21. :A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，有

//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1．② l1l2A1A2B1B20．

（2）若l1① l15．平面两点距离公式：

(P1(x1,y1)、P2(x2,y2))，P1P2(x1x2)2(y1y2)2．x轴上两点间距离：

ABxBxA．

x1x2x02M(x,y)P线段P的中点是，则0012yy1y2026．点到直线的距离公式：

．

点P(x0,y0)到直线l：AxByC7．两平行直线间的距离：

两条平行直线l1：Ax8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

． ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．

② 与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10． ① 直线

③ 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC（2）垂直直线系方程：

① 与直线l:AxByC0的距离：dAx0By0CAB22．

ByC10，l2：AxByC20距离：dC1C2AB22．

0平行的直线可表示为：A(xx0)B(yy0)0．

0垂直的直线可表示为BxAyC10．

② 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为：B(xx0)A(yy0)0．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为② 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数． A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (除l2)，其中λ是待定的系数．

9．曲线C1:f(x,y)0与C2:g(x,y)0的交点坐标方程组f(x,y)0的解．

g(x,y)02二．圆部分 10．圆的方程：

(yb)2r2（r0）．

2222（2）圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)．

（1）圆的标准方程：(xa)（3）圆的直径式方程：

A(x1,y1)，B(x2,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0．

DE1注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(,)，rD2E24F．

222若

（2）一般方程的特点：

① x和

2y2的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ D2E24F0

Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的等价条件是：

（3）二元二次方程

① AC0； ② B11．圆的弦长的求法：

2220； ③ D2E24AF0．

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

l2)d2r2； 2（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

则：“半弦长+弦心距=半径”——(|AB|1k2|xAxB|1（其中|1|yAyB| 2kx1x2|,|y1y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）

22212．点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

①P在在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2．

22dr(x0a)2(y0b)2r2． 【P到圆心距离d(ax0)(by0)】

②P在在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2． ③P在在圆上13．直线与圆的位置关系：

直线

AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbCAB22):

y）后，所得一元二次方程的判别式为．

dr相离0；dr相切0；dr相交0．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2d

圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或

dr1r2外离4条公切线； dr1r2内含无公切线；

dr1r2外切3条公切线；dr1r2内切1条公切线；

r1r2dr1r2相交2条公切线．

y2DxEyF0(D2E24F0)

22（1）过直线l：AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程：

15．圆系方程：x2x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

（2）过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程：

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

特别地，当1时，x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0就是

(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

216．圆的切线方程：

（1）过圆xy2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:x0xy0yr2．

a)(yb)(y0b)r2 ．

（2）过圆(xa)2(yb)2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:(xa)(x0（3）当点P(x0,y0)在圆外时，可设切方程为即d17．把两圆x2yy0k(xx0)，利用圆心到直线距离等于半径，

r，求出k；或利用0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线xx0．

y2D1xE1yF10与x2y2D2xE2yF20方程相减

即得相交弦所在直线方程:(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 ．

18．对称问题： （1）中心对称：

① 点关于点对称：点

A(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称点A(2x0x1,2y0y1)．

//l2由点斜式得出直线方程．

② 直线关于点对称：

法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． 法2：求出一个对称点，在利用l1（2）轴对称：

① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．

⊥lkAA·AA kl1点A、A 关于直线l对称 ．

上AA 中点在lAA 中点坐标满足l方程② 直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）

法1：若a,b相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．

若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等．

法2：求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、

点(a, b)关于直线y=x对称：(b, a)、关于y=- x对称：(-b,- a)、

关于y = x +m对称：(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称：(-b+m、- a+m) ．

19．若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是20．各种角的范围：

直线的倾斜角 0180 两条相交直线的夹角 两条异面线所成的角 090

x1x2x3y1y2y3，．

33090