泛函在有限元法中的应用

姓 名： 杨 泽 鹏 学 号： 120130277

1

应用泛函在有限元法中的应用

通过《应用泛函分析》课程的学习，了解到泛函分析是高等数学的推广，它综合了函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论。半个多世纪以来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材提取自己研究的对象和某些手段，并形成了自己的许多重要分支；另一方面，它也强有力的推动者其它分析学科的发展。它的观点和方法已经渗入到不少工科技术的学科之中，成为近代分析数学的基础之一。

有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是求解偏微分方程定解问题的一种数值计算方法。它能成功地求解许多问题，如在热传导问题、结构工程学中的应力分析，地下水非稳定渗流问题，土力学、岩石力学中的应力－应变与稳定分析等。另外，有限元法也广泛应用在地球物理学中，由于地下地质体都是三维连续的，控制其性质的如连续性方程、运动方程、能量方程，以及这些方程相应的定解条件都非常复杂。由于这些控制方程都是偏微分方程，且大多都是非线性的，自变量多，计算域的几何形状和边界条件复杂，很难求得解析解，因此，就需要通过网格划分的方法把计算域离散化，并选取适当的途径将微分方程及其定解条件转化为网格节点上相应的代数方程组，即建立离散的方程组，然后通过求解代数方程组来得到网格节点的值，而计算域内其他位置上的值则根据节点位置上的值来确定。从而得到这些控制方程的数值解，满足工程实际的需要。

有限元法是一种常用的离散化方法，它是以应变原理和剖分差值为基础的，所谓变分原理就是对偏微分方程的求解转化为求某个泛函的极值问题，剖分差值是把定解区域从几何上划分为点、线、面单元，然后按单元分别差值，最后形成整个单元集合体的差值。所以这种方法就是从变分原理出发，利用整个单元集合体的差值，把求解某个泛函的极值问题化为一个多元线性代数方程组的求解问题，从而获得所要求的数值解。下面，重点分析泛函在有限元法中的应用。 1、 泛函和极值

下面为便于说明，举一个简单的例子：在一个平面上，求链接Aa,y0 ，

B(b,y1)两点的最短曲线。为方便计，取A(0,0)，B(1,1)，设链接A,B的曲线为

yy(x)，由定积分中的弧长公式，则弧长

Ly(x)1y'2dx （1）

01 2

因过A,B两点的曲线可以很多，将过A,B两点的所有曲线的全体记作H0。一条曲线即一个函数，因此H0是一个函数集合，且H0为式（1）的容许函数类，显然yxn（n0）属于式（1）的函数类H0，且yx使弧长最短。

可以看出，曲线弧长L都有一个确定值与之对应，H0中任一个函数yy(x)，我们把这种建立在函数与数（实数或复数）之间的关系叫做泛函关系。所以，可以这样定义泛函：设y(x)是已给的函数集，如果对于集中任一函数y(x)恒有某个确定的数与之对应，记为Lyx或Ly，则说Ly是定义于集y(x)上的一个泛函。简言之，泛函是以函数集为定义域的实值函数。

一般地，一个自变量的泛函的一般形式为：

' LyxF(x,y,y)dx （2）ab如果在式（2）的容许函数类H0中，存在一个函数yy(x)与另一个邻近的任一个函数yy1(x)，若有Jy1(x)Jy(x)，则称yy(x)为式（2）的极小值曲线，或称泛函Jy(x)在曲线yy(x)上取得极小值。 2、尤拉（Euler）方程

如果yyx是泛函式（2）的极小值曲线，而y1(x)yxx，x是任意函数，且具有连续的一阶导数，为使y1xH0，设ab0，于是代入式（2）有

'' JyxF(x,y,y)dx （3）ab式（3）是的函数，当0时，便得泛函极小值Jyx，根据有极值的必要条件有

dJddJd＝0

00ddba''Fx,y,ydx0Fyfy''dx

ab上式右端第二项采用分部积分公式有

3

于是

baFy'dxFy''bbddF'dxadxyadxFy'dx abdJd0babddFydxFy'dxFyFy'dx0

aadxdxb由于x的任意性，所以有

FydFy'0 （4） dx上式即为著名的尤拉方程。

若泛函Jyx在yyx上取得极值，则yyx必满足尤拉方程，求泛函的极小值问题就是变分问题。通过分析，偏微分方程定解问题与相应泛函极值问题具有等价性〔2〕，我们根据这种等价性，可以将求解偏微分方程定解问题转化为求某一泛函的极小值函数问题，从而求偏微分方程定解问题的数值解。 3、常微分方程边值问题的有限元方法

设求边值问题

''(py)qyf0y0ya0(0xa) （5）

的近似解，其中p(x)0,qx0；p'x,qx,fx在0,a上连续，而上式的近似解现在变为求泛函数的极小值函数的近似解。 下面通过具体的例子来用有限元法解边值问题

''yyx0x1  y0y10将0,1四等分。 解：

1i可知p1,q1,f(x)x，将0,1四等分，li,xi(i0,1,2,3,4)

4411xi1,xi的中点为2xi1xi82i1。

根据已知数据，计算

4

4141Ki122419895412441249598 12b(i)fi2l112i1112i1i1＝8812i1

98959598有K198952495989895 959898959598

11b1134351578

1277又由y000,y410，于是有

3196959519695y1y2951962y33 92解此方程组，得到 y10.03521,y20.05686,y30.05052

5