东平县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 若f′（x0）=﹣3，则A．﹣3

B．﹣12

C．﹣9

=（ ）

D．﹣6

2． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A．36种 B．38种 C．108种 D．114种

3． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 4． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个

B．256个

C．128个

D．64个

6． 极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2

7． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ） A．

13322 B． C. D． 2442+

=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）

B．相切

8． 以过椭圆

A．相交

C．相离 D．不能确定

9． 已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前28项之和S28=（ ） A．7

B．14

C．28

D．56

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10．下列结论正确的是（ ）

A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β． B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β． C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α

211．fx2axa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ）

A．a0 B．0a12．

=（ ）

2 C．0a2 D．以上都不对

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i

二、填空题

13．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|= ．

14．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 15．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为

|=2，则

13，则|a2b| ． 316．函数fxlog2x在点A1,2处切线的斜率为 ▲ ．

yxy22xy3x217．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx1三、解答题

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD， 平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点． （Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为

，求AG的长．

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19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F． （1）求证：BDCE；

（2）若AB是圆的直径，AB4，DE1，求AD长

20．已知定义在3,2的一次函数f(x)为单调增函数，且值域为2,7． （1）求f(x)的解析式；

（2）求函数f[f(x)]的解析式并确定其定义域．

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21．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为

的椭圆C：上的一点，斜率为

的直

线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值； 的值；否则说明理由．

（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ

12axx,aR． 2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

22．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x2

51． 2第 4 页，共 19 页

23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]

如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，CP3.

16，求CE的长； 5（2）若连接OP并延长交圆O于A,B两点，CDOP于D，求CD的长.

（1）若PE交圆O于点F，EF

24．

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东平县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

=

[4

]=4

=﹣3，′x0）∵f（【解析】解：则（故选：B．

）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，

【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．

2． 【答案】A

学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A．

【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 4． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

x800,x20，故选B． 50600600800所以所求概率为故选：C

=

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【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

5． 【答案】D 【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．

=6次，

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=64个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

6． 【答案】A

可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A．

【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，

【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法. 8． 【答案】C

【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D

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连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得

=

=e，可得

∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，

∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|） ∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离 故选：C

【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．

9． 【答案】C 数．

=14（a6+a23）=28．

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函∴函数f（x）关于直线x=1对称， ∴a6+a23=2．

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

则{an}的前28项之和S28=故选：C． 属于中档题．

10．【答案】B

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，

【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确； B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；

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C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确； D中选项也可能相交． 故选：B．

【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

11．【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2axa在区间0,1上恒正，则

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用. 12．【答案】 B 【解析】解：故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

=

=

=i．

二、填空题

13．【答案】 （﹣

【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

，

，

，

） ．

设OC与AB交于D（x，y）点 即D分有向线段AB所成的比为

则

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解得：

∴又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

） ）

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式

14．【答案】1 【解析】

进行求解．

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1 15．【答案】2

【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|16．【答案】【解析】

试题分析：fx考点：导数几何意义

【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，

2，ab1， 3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

1 ln211kf1 xln2ln2第 10 页，共 19 页

点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 17．【答案】2,6 【解析】

考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xaybx,y与0,0点连线的斜率；（4）

三、解答题

18．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点， 所以AG⊥EF．

又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…

22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xyb表示点x,y与点a,b连线的斜率. xa因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

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AG⊂平面ADEF， 所以AG⊥平面ABCD．…

（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直． 以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0）， 设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t）， 所以

=（﹣4，﹣1，t），

=（4，4，0），

=（0，1，t）．…

设平面ACE的法向量为=（x，y，z）， 由

=0，

=0，得

，

令z=1，得=（t，﹣t，1）． 因为BF与平面ACE所成角的正弦值为所以|cos＜即

所以AG=1或AG=

＞|=

=

=

，

，…

．

2

，解得t=1或

．…

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

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DEDCBC2，则BCABDE4，∴BC2． BCBAAB

1∴在RtABC中，BCAB，∴BAC30，∴BAD60，

21∴在RtABD中，ABD30，所以ADAB2．

220．【答案】（1）f(x)x5，x3,2；（2）ff(x)x10，x3.

∴【

解

析

】

试

题解析：

（1）设f(x)kxb(k0)，111] 由题意有：∴f(x)x5，x3,2． 考点：待定系数法． 21．【答案】

3kb2,k1,

解得

2kb7,b5,

（2）f(f(x))f(x5)x10，x3．

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【解析】解：（Ⅰ）∵

22∴b=c

，∴a=

c，

= …

=2﹣

∴椭圆方程为又点A（1，∴

2∴c=2 ∴a=2，b=

+=1

）在椭圆上，

，

=1 …

=1，

∴椭圆方程为

=

﹣2

（Ⅱ）设直线BD方程为y=

2

与椭圆方程联立，可得4x+22

△=﹣8b+64＞0，∴﹣2

x+b，D（x1，y1），B（x2，y2）， bx+b2﹣4=0

=

，

＜b＜2

x1+x2=﹣∴|BD|=

b，x1x2=

设d为点A到直线y=∴△ABD面积S=

x+b的距离，∴d=

≤

当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立． 证明如下：k1+k2=

+

=2

，0）时，k1=

+m

，k2=

=2

﹣2

=0

当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…

【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应 用，考查分析问题解决问题的能力．

22．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间为0,

11，单调递减区间为,；（2）证明见解析. aa【解析】

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题解析：

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试

（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

22

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20， 即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

2第 16 页，共 19 页

51， 2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 23．【答案】（1）CE4；（2）CD【解析】

试题分析：（1）由切线的性质可知ECP∽EFC，由相似三角形性质知EF:CECE:EP,可得CE4；（2）由切割线定理可得CP2BP(4BP)，求出BP,OP,再由CDOPOCCP,求出CD的值. 1 试题解析：

（1）因为CP是圆O的切线，CE是圆O的直径，所以CPCE，CFE90，所以ECP∽EFC,

0613. 13设CEx，EP所以x2x29，又因为ECP∽EFC，所以EF:CECE:EP，

162x9，解得x4. 5考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.

24．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．

（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．

【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；

又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3； P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=

×（）3=×（）2×=

； ；

；

，P（X=3），列出分布列，

×（）×（）2=×（）3=

，

∴X的分布列为： X 0 P 1 2 3 第 18 页，共 19 页

即E（X）=0×=．

【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

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