中考“课题学习”型试题

中考“课题学习”型试题

作者：邓革周

来源：《初中生·考试》2012年第06期

“课题学习”型试题，通常以探索、研究、实验操作等形式呈现在中考数学题中.它以几何图形为题材，或以数学问题为背景，通过对相关问题的描述或逐步观察、操作，归纳、探究，进而发现问题，解决问题. 试题结构通常分三部分，即“阅读与理解”、“归纳与发现”、“运用与推广”. 解这类问题要理解特殊范例所介绍的方法，并能够灵活进行迁移. 一、“迁移——拓展”型

例1 (2011年永州卷)（1）方法感悟

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°， 连接EF. 求证：DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得 到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+ 90°= 180°. 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°- 45°= 45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠ ． 又AG=AE，AF=AF， ∴△GAF≌ ．

∴ =EF，故DE+BF=EF．

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（2）方法迁移

如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E、F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=■∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． （3）问题拓展

如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足

∠EAF=■∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

解：（1）EAF、△EAF、GF． （2）DE+BF=EF. 理由如下：

如图4，设∠BAD=m°， 将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+ 90°= 180°. 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=■m°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m°-■m°=■m°. ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=■m°． 即∠GAF=∠EAF， 又AG=AE，AF=AF， ∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF. 又∵GF=BG+BF=DE+BF， ∴DE+BF=EF．

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（3）当∠B与∠D互补时，△DAE旋转后，点G、B、F才能在同一直线上，可使得DE+BF=EF．

温馨小提示：解这类问题的关键是读懂所给的材料或介绍的方法，然后运用类比思想对新问题进行迁移探究. 二、“问题——探究”型 例2 (2011年恩施卷)知识背景：

恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品. 在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图5） （1）实际运用：

如果纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．

①按方案1（图6）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？ ②小明认为，从节省材料的角度考虑，采用方案2（图7）的菱形硬纸板A2B2C2D2做纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由． （2）拓展思维：

北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，水果商的要求能办到吗？请利用函数图像验证．

解：（1）设纸箱底面的长为x米，则宽为0.6x米. 根据题意得0.6x·x·0.5=0.3，即x1=1，x2=-1(舍去). ①S■=（1+0.5×2+1）×(0.6×2+0.5×2)=6.6(平方米).

②如图9，连接A2C2，B2D2相交于O，设△D2EF中EF边上的高为h1，△A2NM中NM边上的高为h2.

由△D2EF∽△D2MQ得■=■，∴h1=0.4.

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同理得h2=■. ∴ A2C2=■，B2D2=3. 故S■=■×A2C2×B2D2=5.625（平方米）. S■＜S■，所以方案2更优. （2）水果商的要求不能办到.

设底面的长与宽分别为x，y，则x+y=0.8，xy=0.3，即y=0.8-x和y=■，它们的图像如图10所示.

因为两个函数图像无交点，故水果商的要求无法办到.

温馨小提示：贴近生活，形式新颖，是这类考题的显著特点.认真读懂题目，正确建立数学模型是解题的关键. 三、“操作——探究”型

例3 (2011年莱芜卷)已知矩形纸片ABCD，AB=2，BC=3． 操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．

探究：（1）如图11，若点B与点D重合，你认为△EDA'和△FDC全等吗？全等给出证明，不全等请说明理由；

（2）如图12，若点B与CD的中点重合，求△FCB'和△B'DG的周长之比． 解:（1）全等．

证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD．

由题意知∠A=∠A'，∠B=∠A'DF=90°，AB=A'D，∠A'=∠C=90°，A'D=CD. ∵∠A'DE+∠EDF=90°，∠CDF+∠EDF=90°， ∴∠A'DE=∠CDF.∴△EDA'≌△FDC.

（2）∵∠DGB'+∠DB'G=90°，∠DB'G+∠CB'F=90°，

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∴∠DGB'=∠CB'F.

∵∠D=∠C=90°，∴△FCB'∽△B'DG. 设FC=x，则B'F=BF=3-x，B'C=DB'=1.

在Rt△B'CF中，FC2+B'C2=FB'2，即x2+12=(3-x)2，∴x=■. ∵△FCB'∽△B'DG，∴ ■=■=■.