线性代数第二章矩阵

系 专业 班 姓名 学号

第一节 矩阵及其运算

一．选择题

1．有矩阵A32，B23，C33，下列运算正确的是 [ B ] （A）AC （B）ABC （C）AB－BC （D）AC+BC 2．设C(11,0,0,)，AECTC，BE2CTC，则AB [ B ] 22T（A）ECC （B）E （C）E （D）0

3．设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A）AA （B）AA （C）AA （D）AA 二、填空题： 1．TTTT1201165 4282342112321121241413872．设A2121，B2121，则2A3B2525

2112340101654317353．12326

57014911321400126784．11341312056

402三、计算题：

1A设1111111，4 1231B124，求3AB2A及ATB

051112113AB2A3111121110505822305622290222241317292220;2311142111111122 2112305811TT由A对称，AA，则ABAB111124056.

111051290线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号

第二节 逆 矩 阵

一．选择题

1．设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则 [ B ] （A）AAA （B）AA1n1 （C）(A)A （D）(A)0

n2．设A，B都是n阶可逆矩阵，则 [ C ] （A）A+B 是n阶可逆矩阵 （B）A+B 是n阶不可逆矩阵 （C）AB是n阶可逆矩阵 （D）|A+B| = |A|+|B|

3．设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A）

AA （B）AA （C）AnA （D）AnA

4．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A）CBA = E （B）BCA = E （C）BAC = E （D）ACB = E 5．设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC = E，则 [ A ]

（A）ABAC二、填空题：

TTTTE （B）A2B2A2C2E （C）BA2CE （D）CA2BE

1121．已知ABBA，其中B21，则A1212 121325462．设04 13X21，则X = 3．设A，B均是n阶矩阵，A2，B3，则2AB14n

．设矩阵A满足AA4E0，则(AE)三、计算与证明题：

211(A2E) 21． 设方阵A满足AA2E0，证明A及A2E都可逆，并求A1和(A2E)

21A2A2E0 A(AE)2EAEAEA()EA可逆，且A1;22A2A2E0A(A2E)3A2E0A(A2E)3(A2E)4E0(A3E)(A2E)4EA3E()(A2E)E4A2E可逆，且(A2E)1A3E.4

1212，求A 的逆矩阵A1 2． 设A34541解：设A(aij)3，则

A114232344,A12(1)1213,A13(1)1332,4151542421112,A22(1)2232A21(1)12A31(1)13115116,A23(1)23331254123414,

420,A32(1)1321,A33(1)2,042*从而A1361.

32142又由

1A324121c22c1c3c11302012154*51461462

210A1311则A3

A22167103． 设A11ABA2B(A2E)BA31230且满足ABA2B，求 B 3

233033110B110121123233033110110110110r1r2233033121123121123r11011011022r1110rr013253r3r2013253310110330022201101101

r1101103(2)013253r23r3010123001110001110100033rr10123120001110033则B(A2E)1A123

110线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号

第三节（一） 矩阵的初等变换

一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：

113433433511134311412r23r1r2420r004880032r12231233421r43r100366r330051010r45000012113431023r3r2001221122r4r200000r0013r2000

000000000000二、把下列矩阵化为标准形：

3222

231232131371202423rr12830321374302412r22r113701r3r3183008r4r105743024111 212014004002

2020140241111276712r38r201r45r2000012r3r401r2r400r12r4001001r12r200000241211101rr340140000212412103101rr32202200000140001r200201202r3020140000000110020c2cc4c5234010100001400001000 01000010三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵

32010221A 12320121320112100212320012100001232010021002rr130103201101001210000110010100 00000101 1030010000001012322102r33r1049501210123202101rr2410300495020001211232r34r2012111r42r2000021123r12r4201r2r4001040123212101r2r43103400110001020120000001001 103421610112000010112012021611r13r30101136r22r3002000101101136r3r4000121610010001124r2r010001011200101136

0001216101124A101011136 21610111022101X110，求X

10101400121610四、已知111101111101111101022110rr022110rr0221103132uuuuruuuuruu1100140211130030232110123111101r22r311r302211002012rr333uuuuur1uuuuuuur2210010130010321511012100332611111r20101rrr101120uuuuu22626uuuuur22 110010001033121故X2053611

6213线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩

一．选择题

1．设A，B都是n阶非零矩阵，且AB = 0，则A和B的秩 [ D ] （A）必有一个等于零 （B）都等于n （C）一个小于n，一个等于n （D）都不等于n 2．设mn矩阵A的秩为s ，则 [ C ] （A）A的所有s－1阶子式不为零 （B）A的所有s阶子式不为零 （C）A的所有s +1阶子式为零 （D）对A施行初等行变换变成Es00 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足 [ C ]

455t12（A）s = 3或t = 4 （B）s = 2或t = 4 （C）s = 3且t = 4 （D）s = 2且t = 4 4．设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则 [ B ] （A）当mn时，必有行列式|AB|0 （B）当mn时，必有行列式|AB|0 （C）当nm时，必有行列式|AB|0 （D）当nm时，必有行列式|AB|0

aa12a13a22a23015．设A11aa2122aa2123，Baa12a013，P1100，a31a32a3311a31a11a32a12a33a13001100P0102，则必有B [ C ]101（A）AP1P2 （B）AP2P1 （C）P1P2A （D）P2P1A 二．填空题：

1．设A31021121，则R(A) 2

13441212．已知A23a21a2的秩为2，则a 应满足 a=-1或3

2a21三、计算题：

218371． 设A2307532580，求R(A)。

10320

2182303251033710375230rr1480325218202032010r22r17503635r3r 318002420r2r41372170103212100000001780rr24147001603212100000007 140320101217r32r2001r2r402420r43r20036350故R(A)=3

123k2．设A 12k3，问k为何值，可使 ⑴ R(A)1 ⑵R(A)2 ⑶R(A)3

k2323k23k123k11r2r112k302k23k3rr02k23k332

12k23r3kr003(k2)(k1)02k233k(1) R(A)=1当且仅当

2k20k1 3(k2)(k1)0(2)由(1)可知R(A)=2当且仅当k=-2 (3)R(A)=3当且仅当k1且k2

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号

第四节 矩阵的分块

P10P01若A ，则A10Q0Q0若AQP0Q11 ，则A100P

一．选择题

设A，B为n阶矩阵A，B分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵C0A0，则C的伴随B矩阵C [ D ]

AA（A）0AB（C）0二、填空题：

BB0 （B）0BBBA0 （D）0BA0 AA0 AB131．A0020034001，则A 2023004502112005220000 A= 4 321002．设A30三、计算题：

0216



00022，则A0100

3000500



600

065



006

1410111．设PAP，其中P11，02，求A

111A114155;(P1AP)11P1A11P,P111550141141P11P1511021111421311112131115121111521

21342114002. 设A023010000200003，求A1

10004000101020001410,Q153213

0AQP,00Q11A1,P0P10000A110102000000134535000152500034433．设A000088000048

，求 及 AA2022P|A||A|,A0P4044A,P40Q06250062504A001600

08816,|A||P||Q|254100,|A||A|10;Q62504160,Q;06251600.016

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号

综 合 练 习

一．选择题

1．设n阶矩阵A，B是可交换的，即AB = BA，则不正确的结论是 [ B ] （A）当A，B是对称矩阵时，AB是对称矩阵 （B）当A，B是反对称矩阵时，AB是反对称矩阵 （C）(AB)2A22ABB2 （D）(AB)(AB)A2B2

2．方阵A可逆的充要条件是 [ B ]（A）A ≠ 0 （B）| A | ≠ 0 （C）A*

≠ 0 （D）| A*

| ＞0 3．设n阶矩阵A，B，C和D满足ABCDE，则(CB)1 [ A ]（A）CDADAB （B）DA （C）AD （D）DABCDA 二．填空题：

1．已知二阶矩阵M的伴随矩阵M*124，则M24221 34012．若A123226a0 可逆，则a为 不等于-6

1121三．计算题与证明题：

1． 已知(1,2,3)，(1,1/2,1/3)，设AT，求An

AnTTTT(T)n1

1111/21/3T(1,1/2,1/3)23，T2(1,1/2,1/3)212/3 3333/2111/21/3AnT(T)n13n1T3n1212/3

33/21

12112．设A010,B00031，A，B与X满足AXA*6XA1BA*0，求X 101020211310010r1r301030

101101故由AA*AEA*11AA，因此 AXA*6XA1BA*0AX6AXB0(A2E)XB 4111A2E030，B03001

1030204111031030201030001rr013103020r1(1)030001r34r10341110301103020103020r0013r1230103r2010011318300

00131810333210103020100r13010001131313r1313r30100018103183

00113133900113101339300013120018321031313131故X00

318101339133．设n阶矩阵A满足AA6E0，试证：

（1）A与A－E都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E和A－3E不同时可逆

2A2A6E0A(AE)6E1AEAA(AE)EA1,(AE)1 666A2A6EA(A2E)3A6EA(A2E)3(A2E)(A3E)(A2E)0

|A3E||A2E|0|A3E|0or|A2E|0，故A + 2E和A－3E不同时可逆。