绝对值的巧思妙用

绝对值的相关知识

一、一、知识要点

1、绝对值

x，如果x0x，如果x0 xx x的绝对值的意义如下：= x是一个非负数，当且仅当x=0时，x=0

绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：

ab表示数轴上a点到b点的距离。

2、倒数

1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。 3、相反数

绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。 二、二、例题精讲

例1 化简 2x1x3x6

分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。 解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6

当

x12时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2

1x3当2时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当3x6时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10

当x≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2

当x12x2，2时2x4， 当12x3时 当3x6时10，2x-2， 当x6时

∴原式=评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本

方法。

2x153x1x，求x1x332例2 已知的最大值和最小值。

分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。

2x153x71xx2得： 11 解：解不等式3

71 11

-30

x1x3的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时

x773x311，则当11时这差取得最小值11.

这差取得最大值4，因

评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。

2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将x1x3化简，然后求出最大值和最小值。

当x3时 1xx34，1xx322x，当3x7x1x3=11 73x311时取得最小值11 由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当

xx3.1415926  y例3 、解方程

分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。 解：由原方程得

112y7.13 08

xx3.14159260 (1)11y2y7.130 ( 2 ) 8 

由(1)得：xx3.1415926

从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963

y 由(2)得：

112y7.138

11112y7.13 或y7.13y88 从而 17011151 所以 y=200或 y=600

y.5707963x1.5707963x1 y1701y1151 200600 于是，原方程的解是 

评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求

xx3.1415926xx3.1415926表示x到原点

中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，

与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963

ab1bc1ca1，，例4、已知a、b、c为实数，且ab3bc4ca5

abc 求abbcca的值。

分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。 解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：

1111113， 4， 5abbcca

1116 三式相加除以2得：abc

abbcca111abc16abcabc 因为，所以abbcca=6

例5 、求方程x2x31的实数解的个数。

分析：1可以化成：x2x3，于是x2x3x2x3

由绝对值的性质：若ab≤0，则abab可得(x-2) (x-3)≤0

从而求得x

解：原方程可化为：x2x3x2x3

x20x20 或x30x30，所以2≤x≤3 则 (x-2) (x-3)≤0，所以 因此原方程有无数多个解。

评注：本题很巧妙地将“1”代换成x2x3，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题

时，常常要用到“1”的代换。

xx2a，且a0，求4的值22xx1xx1 例6 已知：。

分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生

x11xx，x整体处理来求值。通过将

xx2x11a，且a0，2xa 解：∵xx111111ax1 x1xaxaa 即

x4x211112a1a2x1x11xx2x2a2 a 而

x2a242 ∴xx112a

1xx整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。 评注：本题通过将

222z2x21z2x2y21x2z2y21y例7 解方程组

解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz≠0时，将原方程组各方程两边取倒数得：

21 ) 12 (1zx12 2 ) 12 (yx222111211 ( 3 ) 3y2z2x2y2 z (1)+(2)+(3)得：xyz

211122211131101222xyzyzxyz ∴x 1111110yz ∴x ∴x=y=z=1

22 故原方程组的解为：

评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。

三、巩固练习

选择题

x0x1y0 或 y1z0z1a2a1，则的值是a1、若( )

A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对 2、方程x2x31的解的个数是( )

A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个 3、下面有4个命题：

①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。 ②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。 ③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。 ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。 其中正确的命题是：（ ）

（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）④和①

4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )

94498645A、49 B、94 C、45 D、86

5、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等于( ) A、-7 B、-17 C、17 D、不确定

6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( ) A、-1 B、0 C、1 D、-5 填空题

7、设a<0，且x≤=

8、a、b是数轴上两个点，且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=

m9、 若a6与m3互为相反数，则a 11111212312312310010、计算： 11、若a是有理数，则(a)|a||a|(|a|)的最小值是＿＿＿.

a, 则 x1x2a212、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简

|ab||b1||ac||1c|_____.

解答题

13、化简：x52x3

112a1b10，求ab14、已知

abcbc的所有可能的值 15、若abc≠0，求a222002

16、X是有理数，求

17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x 2-cdx的值。 18、求满足abab1的所有整数对(a，b).

19、若2x45x13x6的值恒为常数，求x的取值范围及此常数的值。

x10095x221221的最小值。