直线与双曲线的位置关系及中点弦问题

直线与双曲线的位置关系及中点

弦问题

1•直线与双曲线的位置关系的判断

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设直线l:y = kx+ 工0),双曲线亠一亠=i(a > 0上> 0)联立解得

(b2 -a2k2)x2 -2a2mkx-a2m2 -a2b2 =0

若b-ak = 0即k = ±-,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点; a

若戾一心2 H0即 a

222A = (~2a2mk)2 -4(Z?2 -a2k2)(-a2m2 -a2b2) △ >0二>直线与双曲线相交，有两个交点： △ = o=>直线与双曲线相切，有一个交点： △ <0=>直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2•直线与圓锥曲线相交的弦长公式

设直线/:.V=h+小 圆锥曲线：F(x,y)=O,它们的交点为P\\ Uhyj), Pi F(x. y) = 0

22且由 < ，消去 y—^ax+hx+c=0 (a*0), S=b —4uc。

y = kx+n

设人(旺，”),3(£,儿)，则弦长公式为：贝UI AB 1= Jl +以J(册+七尸—4“勺 若联立消去X得y的一元二次方程：©2 +by + c = 0(。H 0)

则I AB 1= {1 +右*儿+儿)'一4儿儿

焦点弦长：—— =£ (点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，〃是P到相应于焦 d 点F的准线的距离，e是离心率)。

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【例1】过点P(J7,5)与双曲线—=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别 7 25 求出它们的方程。

解析：若直线的斜率不存在时，则x = V7 •此时仅有一个交点(、/亍0),满足条件：

若直线的斜率存在时，设直线的方程为y_5 = k(x_# )则『=kx七5-k#, X2 伙X + 5_kJ7)2

••• 25x2 一 7(匕 + 5 - MF = 7 x 25 , =1,

\\PF\\

T_ 25

(25 Jk、》一7x2kx(5-k厲 + (5-k耐 一*25 = 0,

当k = 0时，方程无解，不满足条件:

7

当k = _丄时，2x5“xxlO = 75方程有一解，满足条件；

7

当 &丰耳时，令厶= [14R(5 — M)F—4(25 — 7L)[(5 —Rd” 5] = 0,化简得: k无解，所以不满足条件：

所以满足条件的直线有两条x = *和，=一节^'+1°。

【例2】直线y = kx+\\与双曲线3x2-y2= 1相交于A、B两点，当a为何值时，A、 B在双曲线的同一支上？当\"为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

解析：把y = kx+1代入3，_),2= 1整理得：(3-/)+一2心・—2 = 0 当 a^±y/3 时，△ = 24 — 4(/2。

由△>()得-且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。

若A、B在双曲线的同一支，须召心= >0 ,所以a < -V3或

CT _3

故当一品时,

A、B两点在双曲线的两支上。

点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交 于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。

【例3】求直线y = x+\\被双曲线%- —= 1截得的弦长:

2

4

解析：由

得4x2-（x + l）2-4 = o得3F—2X — 5 = °（*）

设方程严)的解为心吃，则有 「

3 「 3 得，

（1 = y/2\\x{-x2\\= x/J J（X] + 电）2 _ 4X$2 =

yfl

3•中点弦问题：

【例】求过左点(0,1)的直线被双曲线X2- —= 1截得的弦中点轨迹方程。

4

解:设弦的两个端点坐标为您5儿),〃(兀,)，2),弦中点为P(X，〉‘)，则

4 彳 _ >7 = 4 <

.4X22 -y22 =4得:4(州 + x2)(x1-x2) = (y1+ y2)(yi-y2)f

yi+y2 _4(X,-X2)

.・.州+花

分)

y_ 4x

>'i - >2 , 即x y-1 , 即4x2 - y2 + y = °(图象的一部

4、最值问题

【例1】在双曲线9,+25于=225上求一点，使到直线x-y-3 = 0的距离最短。 解：设与

直线x-y-3 = 0平行且与椭圆相切的直线方程为：x-y + m = 0 联 立 化 简 得 1 6A：2+50〃x + 25〃『+225 = 0

△ = (50/M)2 -4X 16(25W2 +225) = 0

( * )

.

2

25 9

4 4

.I〃广=4冲= ±2,故切线方程为：x-y-4 = 0代入双曲线方程解得（一,一）

【例2］设A（3,2）, F为双曲线X2- —=1的右焦点，在双曲线上求一点P、使得

IPAI+llPFI取得最小值时•求P点的坐标.

2

易解：P点的坐标为（竿彳