1991年考研数学二真题及答案

1991年考研数学二真题及答案

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设yln(13),则dy＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线yex的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)

2x1lnxdx＿＿＿＿＿＿. 2x2(4) 质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动,则从时刻t12秒到t2秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.

(5) limx01e1x1x＿＿＿＿＿＿.

xe

二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切,其中a,b是常数,则 ( )

(A) a0,b2 (B) a1,b3 (C) a3,b1 (D) a1,b1

x x2, 0x1,(2) 设函数f(x)记F(x)f(t)dt,0x2,则 ( )

02x,1x2,23x3x3 , 0x1 , 0x133(A) F(x) (B) F(x)

2212xx,1x272xx,1x23236x3x3 , 0x1 , 0x133(C) F(x) (D) F(x)

222x2xx,1x22xx,1x2223(3) 设函数f(x)在(,)内有定义,x00是函数f(x)的极大点,则 ( )

(A) x0必是f(x)的驻点 (B) x0必是f(x)的极小点

(C) x0必是f(x)的极小点 (D) 对一切x都有f(x)f(x0) (4) 曲线y1ex1e2x2 ( )

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距

离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )

l a O m x (A)

0kml(ax)2dx (B) lkm0(ax)2dx (C) 20kmll(ax)2dx (D) 22km0(ax)2dx 2

三、(每小题5分,满分25分.)

xtcostd2(1) 设t,求yytsindx2.

(2) 计算

4dx1x(1x). (3) 求 limxsinxx0x2(ex1). (4) 求 xsin2xdx.

(5) 求微分方程xyyxex满足y(1)1的特解.

四、(本题满分9分)

利用导数证明：当x1时,有不等式ln(1x)xlnx1x成立.

五、(本题满分9分)

求微分方程yyxcosx的通解.

六、(本题满分9分)

曲线y(x1)(x2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.

七、(本题满分9分)

如图,A和D分别是曲线ye和yex2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且

AB:DC2:1,AB1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.

y

八、(本题满分9分)

ye2x yex A 1D B OCx设函数f(x)在(,)内满足f(x)f(x)sinx,且f(x)x,x[0,), 计算

3f(x)dx.

答案

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln3dx x3111,) 22(2)【答案】((3)【答案】1

1 2(5)【答案】1

(4)【答案】

二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) (2)【答案】(B) (3)【答案】(B) (4)【答案】(D) (5)【答案】(A)

三、(每小题5分,满分25分.)

(1)

dydy/dtsinttcost, dxdx/dtcosttsintd2yddy1dsinttcost1()() 2dxdxdtdxdtcosttsintcosttsintdt(2costtsint)(costtsint)(2sinttcost)(sinttcost)1

(costtsint)2costtsint2(cos2tsin2t)t2(sin2tcos2t)3tsintcost3tsintcost 3(costtsint)2t2. (costtsint)3(2)用换元法求定积分.

令tx,则xt2,dx2tdt,则

41221dx1122tdt2()dt

1t1tx(1x)1t(1t)t214. 2ln2(lnln)2lnt13231(3)利用等价无穷小和洛必达法则.

2

当x0时,有sinxx,ex1x,所以

2xx22sin2xsinxxsinx1cosx2lim21. lim2xlim洛limlimx0x(e1)x0x0x0x0x33x23x23x26(4)用分部积分法求不定积分.

1cos2x1dx(xxcos2x)dx 221111xdxxcos2xdxx2xd(sin2x) 2244111x2xsin2xsin2xdx 444111x2xsin2xcos2xC. 4481x(5)所给方程是一阶线性方程,其标准形式为yye.通解为

x2xsinxdxx11dxdx1xyex(eexdxC)(xexdxC)

x111(xdexC)(xexexdxC)(xexexC). xxx1x1x代入初始条件y(1)1得C1,所以特解为ye.

xx 四、(本题满分9分)

首先应简化不等式,从中发现规律.

当x1时,原不等式即(1x)ln(1x)xlnx,即(1x)ln(1x)xlnx0. 证法一：令f(x)(1x)ln(1x)xlnx,则只需证明在x1时f(x)0即可, 可利用函数的单调性证明,对于f(x)有

f(x)ln(1x)1lnx1ln(因x1,故

x1). xx11,即f(x)0,所以在(1,)上f(x)是严格递增函数,所以 xf(x)f(1)2ln20,

故(1x)ln(1x)xlnx0,所以当x1时,有不等式

ln(1x)x成立. lnx1x证法二：当x1时,原不等式即(1x)ln(1x)xlnx,不等式左右两端形式一致,故令

f(x)xlnx,则f(x)lnx10(x1),所以f(x)xlnx在x1时严格单调递增,

故f(x1)f(x)，即(1x)ln(1x)xlnx.

所以当x1时,有不等式

五、(本题满分9分)

微分方程yyxcosx对应的齐次方程yy0的特征方程为r10, 特征根为r1,2i,故对应齐次通解为C1cosxC2sinx.

方程yyx必有特解为Y1axb,代入方程可得a1,b0. 方程yycosx的右端ex2ln(1x)x成立. lnx1xcosxcosx,ii为特征根,必有特解

Y2xAcosxxBsinx,代入方程可得A0,B由叠加原理,原方程必有特解YY1Y2x所以原方程的通解为yC1cosxC2sinxx

六、(本题满分9分)

1. 2xsinx. 21xsinx. 2利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x轴的交点是x11,

31x22,顶点坐标为(,).

24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周,

环柱体的体积为

dV(xdx)2yx2y2xydxydx2

其中dx为dx0的高阶无穷小,故可省略,且y为负的, 故yy,即dV2xydx2x(x1)(x2)dx. 把x从12积分得

2V2x(1x)(x2)dx2(3x2x32x)dx

1122112x3x4x22(0).

4421方法二：考虑对y的积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕

y轴旋转一周后的体积差,即

22 dVx2dyx1dy

2

其中,x1,x2为Yy与抛物线的交点,且x2x1, 把Yy代入抛物线方程y(x1)(x2),解得

x1314y314y,x2, 22故旋转体体积为V0142(x2x12)dy.把x1,x2的值代入化简,得

33232V1314ydy(14y)2.

4343241040

七、(本题满分9分)

可以利用函数的极值求解.

设B、C的横坐标分别为x1,x,因为|AB|1,所以x10,x0.依题设

AB:DC2:1,所以有ex12e2x,两边同时取自然对数,得x1ln22x,

而 BCxx1x(ln22x)3xln2,(x0), 所以梯形ABCD的面积为

113S(ex1e2x)(3xln2)(2e2xe2x)(3xln2)(3xln2)e2x.

22232x求函数S(3xln2)e,(x0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,

2并令S0有

3S(36x2ln2)e2x0,

21111得驻点xln2,在此点S由正变负,所以xln2是极大值点.

23231132x又驻点唯一,故xln20是S(3xln2)e最大值点.

232111此时xln2,x1ln21时,梯形ABCD面积最大,

233111故B点的坐标为(ln21,0),C点的坐标为(ln2,0).

323

八、(本题满分9分)

这是个抽象函数求定积分,由题知

f(x)f(x)sin(x)xsinx,x[0,),

f(x2)f(x)sin(x2)xsinxsinxx,x[0,),

而 对于

3f(x)dx2f(x)dx32f(x)dx,

2f(x)dx,令tx,则xt,dxdt,所以

对于

2f(x)dxf(t)dt(tsint)dt;

0023f(x)dx,令tx2,则xt2,dxdt,所以

所以

23f(x)dxf(t2)dttdt;

003f(x)dx2f(x)dx32f(x)dx

0  00(tsint)dttdt

02tdtsintdt

022tcost2. 0