线性回归在公路试验数据处理中的应用

󰀁文章编号:1671-2579(2006)04-0214-03

中󰀁外󰀁公󰀁路󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

第26卷󰀁第4期2006年8月线性回归在公路试验数据处理中的应用

李󰀁志

(山东交通学院,山东济南󰀁250023)

󰀁󰀁摘󰀁要:利用应用数学中线性回归方法,采用最小二乘法原理处理公路试验数据,并找出试验数据的变化规律和对应的线性回归方程,可以解决公路工程试验中的实际问题。

关键词:线性回归;最小二乘法;公路;试验数据;应用

󰀁󰀁文中将线性回归方法运用到预应力混凝土钢绞线试验中,计算弹性模量和推算松弛率,其试验结果准确性非常高;在计算过程中,运用了Excel图表建立数学模型和相关系数检验,提高了数据处理的直观性和可靠性。

󰀁Q=-2(yi-a-bxi)xi=0

󰀂󰀁bi=1

由此得到关于a,b的二元线性方程组:na+b󰀂xi=

i=1n

i=12i

n

(2)

󰀂y

=

n

in

1󰀁基本原理

1.1󰀁应用数学中的线性回归概念

设x是可控变量,y是依赖于x的随机变量,它们之间有如下关系y=a+bx+󰀁,其中a、b是常数,󰀁是

2随机变量,且󰀁~N(0,󰀂),自变量x与随机变量y的

a󰀂xi+b

i=1

n

i=1n

󰀂x󰀂x󰀂y

n

n

(3)

i

i

i=1

󰀂xy

令:

x󰀂=1ny =1n

i

i=1

i

i=1

则写成:

a+b󰀂x= ynx󰀂a+b

i=1

这种关系称为一元线性回归(模型),当x取固定值时,y=a+bx+󰀁中两端取数学期望值得E(y)=a+

bx,若记y^=E(y),则有y^=a+bx称之为y对x的回归直线方程,其中b称为回归系数。

1.2󰀁最小二乘法原理

对y=a+bx+󰀁的已知数据(xi,yi),将它们作为二维点画在平面直角坐标系中,得到散点图,若呈直线型,则称为线性模型。

y=a+bx+󰀁的已知数据(xi,yi)的离差平方和为:Q=

i=1

󰀂x

n

2i

=

i=1

󰀂xy

i

n

(4)

i

因为x1,x2, ,xn不完全相同,所以系数行列式:1x nnnx

i=1

󰀂x

n

2

i

=

󰀂x

i=1

2i

-n x2=

i=1

󰀂(x

i

- x)2!0(5)

故方程组有唯一解:

n

i=1

n󰀂(y

n

i

-y)2=

i=1

󰀂(y

i

-a-bxi)2

b=

󰀂xy

i2i

i=1

n

i

-nxy

=

2

i=1

󰀂(x

nn

i

-x󰀂)(yi- y)(xi-x󰀂)2

(6)

选择Q=Q(a,b)达到最小值时作为a、b的估计

值,将Q分别对a、b求一阶偏导数并令其等于零,得:

󰀁Q=-2(yi-a-bxi)=0

󰀂󰀁ai=1

收稿日期:2006-06-10

作者简介:李󰀁志,男,大学本科,实验师.

n

󰀂󰀂x-nx

i=1

󰀂

a= y-b󰀂x若记:

(1)

4期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁线性回归在公路试验数据处理中的应用󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁215󰀁󰀁lxxlyy

=󰀂(xi-x󰀂)=󰀂x-1ni=1i=1

2

2

i

n

n

i=1

󰀂

n

n

xiyi

2

考虑来选择理想的经验公式,并进行相关性检验,确定最理想的、最能代表试验数据的线性方程,为处理试验数据服务。

2.1󰀁直线方程应用(y=a+bx型)

在钢绞线拉伸试验比例阶段中有多组应力应变实测数据(表2)下面用线性(直线)回归方法和最小二乘法原理,来计算钢绞线的弹性模量E。

=󰀂(yi- y)=󰀂y-1ni=1i=1

2

2

i

i=1

nn

i=1

󰀂

2

lxy=

󰀂(x

n

n

(7)

i

-󰀂x)(yi- y)=

1󰀁󰀁󰀁󰀂xiyi-ni=1

则有:b=

lxy

lxx

i=1

󰀂x

n

i

i=1

󰀂y

n

i

表2󰀁钢绞线应力应变实测数据

应力y/GPa

应变x/%0.0.0.0.0.0.0.073120167214259307354

应力y/GPa

0.1.1.1.1.1.1.9012345

应变x/%0.4010.4490.4970.5460.5960.6480.703

(8)

a=y-b󰀂x

把回归直线方程y=a+bx称为y对x的经验回归直线,b称为经验回归系数。1.3󰀁相关系数r

相关系数r是评定x,y的相互联系的密切程度和经验公式的可靠程度,r值必在-1~+1之间,其值越接近+1或-1,表明x,y相互联系得越密切和经验公式的可靠程度越高,其计算公式为:

i=1n0.20.30.40.50.60.70.8

2.1.1󰀁进行回归分析,建立线性模型,选择经验公式运用Excel图表,在平面普通直角坐标系中,以应变为横坐标(x轴),以应力为纵坐标(y轴),确定各组数据(xi,yi)在普通坐标中的散点图,见图1。

r=

󰀂(x

i

n

i

-x󰀂)(yi- y)

2

i=1

󰀂(x

-󰀂x)

i=1

󰀂(y

n=

i

- y)2

lxy

(9)lxxlyy

评定相关程度的优次等级,需根据相关系数r绝对值的大小确定,而在实际应用中,r至少应有多大的值,所得的线性回归方程才能应用,是随试验的性质和要求高低而变的。评定相关程度的优次等级时,需考虑试验点的个数,至少应有10个,相关程度的优次等级见表1。

表1󰀁相关程度的优次等级

优次等级一级二级三级四级

相关性描述相关性很好相关性好相关性中等相关性不满意

相关系数r绝对值>0.95[0.90,0.95][0.80,0.90)<0.80

图1󰀁应力应变散点图

从图1可以看出这些散点近似于直线,所以选择一条直线来表示应力应变的关系,即y=a+bx。2.1.2󰀁用最小二乘法原理计算y=a+bx的r,a,b值

n=14,󰀂x=0.381,2.557, y=0.85,

i=1

󰀂x

n

i

=5.334,

i=1

󰀂x

n

2

i

=

i=1

󰀂y

n

i

=11.9,

i=1

󰀂y

n

2i

=12.39,

i=1

󰀂xy

i

n

i

=5.626。

2󰀁线性回归方程在钢绞线试验中的应

用

󰀁󰀁在试验数据具体应用中,首先对多组数据进行回归分析,用Excel图表建立数学线性模型,即散点图,这样可以更直观地观察散点图呈何种线性关系:直线型或曲线型,使散点图和线性方程充分结合起来,综合lxx=

i=1

󰀂

n

n

(xi-󰀂x)

2

=

x-1󰀂ni=1

2

i

n

i=1

󰀂xi󰀂yi

n

n

2

=

2.557-1∀(5.334)2=0.525

14lyy=

i=1

󰀂

(yi-y )=

2

i=1

󰀂

n

y-

2

i

1n

2

=

i=1

12.39-

12

∀(11.9)=2.27514

󰀁216󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁中󰀁外󰀁公󰀁路󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁26卷󰀁

lxy=

i=1

󰀂(x

n

n

i

-󰀂x)(yi-y )=

n

i=1

󰀂xy

i

n

i

-

1󰀂1xii=󰀂1yi=5.626-ni=1∀(5.334∀11.9)=1.09214

lxy1.092r===0.999#1

lxxlyy0.525∀2.275

r=0.999#1>0.95,计算表明y=a+bx中应力应变的相互联系密切程度和选择经验公式的可靠程度较高,其相关性很好,相关程度的优次等级为一级。

lxy1.092b=xx==2.08l0.525a=y -bx󰀂=0.85-2.08∀0.381=0.0582.1.3󰀁计算钢绞线的弹性模量E

由最小二乘法求得y=a+bx=0.058+2.08x,b=2.08为回归直线的斜率,而钢绞线的弹性模量为比例阶段中应力应变的比值,即回归直线的斜率,单位与应力单位相同,因应变的单位为1/100,所以该根钢绞线的弹性模量E=2.08∀100=208GPa。2.2󰀁曲线方程应用(y=a+blgx或y=axb型)

GB/T5224-2003规定,钢绞线应力松弛性能要求1000h的应力松弛率不大于规定值,而允许使用推算法确定1000h的松弛率,允许用至少100h的测试数据推算1000h的松弛率值。表3为100h内15组钢绞线松弛率、时间实测数据,下面用线性(曲线变直线)回归方法和最小二乘法原理,来推算钢绞线1000h的松弛率。

表3󰀁钢绞线松弛率、时间实测数据

时间x/h12468102030松弛率y/%

0.630.740.850.890.950.981.141.23时间x/h405060708090100-松弛率y/%

1.311.361.411.481.511.561.59-图2󰀁松弛率时间散点图

2.2.2󰀁用最小二乘法原理计算y=a+blgx的r,a,b

值

令X=lgx,则y=a+bX,计算结果为:b=0.454,a=0.596,r1=0.922,y=0.596+0.454lgx

2.2.3󰀁用最小二乘法原理计算y=ax的r,a,b值

对y=axb两边取对数lgy=lga+blgx,令Y=lgy,A=lga,X=lgx,则Y=A+bX

计算结果为:

b=0.198,A=-0.199,a=0.633,r2=0.997,y=0.633x0.198

2.2.4󰀁根据相关系数确定经验公式,推算1000h的

松弛率

r2=0.997>r1=0.922,且r2接近于1,计算说明y=0.633x比y=0.596+0.454lgx中的时间和松弛率相互联系更密切和经验公式的可靠程度更高,其相关性很好,相关程度的优次等级为一级,所以选择y=ax,推算1000h松弛率y=0.633x

b

0.198

0.198

b

=2.49%。

3󰀁结论

利用线性回归方法,采用最小二乘法原理,能处理公路试验数据,帮助解决公路试验数据中的实际问题。这种方法和原理可以应用到:混凝土强度与龄期、强度与养生温度、强度与弹性模量的关系曲线,以推算混凝土的强度;基层稳定材料中无侧限抗压强度、劈裂强度与龄期或养生温度的关系曲线,以推算基层材料的强度;核子密度仪的标定、应力环应力应变系数标定、桥梁的静载试验、沥青针入度指数和沥青含蜡量计算等。

2.2.1󰀁进行回归分析,建立线性模型,选择经验公式运用Excel图表,建立以时间为横坐标、松弛率为

纵坐标的平面普通直角坐标系,确定散点图,见图2。

根据图2可以初步确定对数函数y=a+blgx和幂函数y=ax两种线性模型,具体选哪一种经验公式来推算1000h的松弛率,需采用二者的相关系数来判断。b

参考文献:

[1]󰀁尹金生.应用数学(下册)[M].东营:石油大学出版社,

1999.

[2]󰀁GB/T5224-2003,预应力混凝土用钢绞线[S].

[3]󰀁山东交通学院土木试验中心.公路试验测试数据统计处

理[Z],2004.

[4]󰀁顾玉林.材料力学[M].北京:高等教育出版社,1993.