控制系统稳定性分析及Matlab实现

第２期（总第１３５期）　２００６年４月　机械工程与自动化　ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　＆＿　ＡＵＴ（）ＭＡＴ１０Ｎ　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．　文章编号：１６７２—６４１３（２００６）０２—０１１１－０３　控制系统稳定性分析及Ｍａｔｌａｂ实现　燕碧娟，王春花，熊晓燕　（太原理工大学机械电子工程研究所，山西　太原０３００２４）　摘要：稳定性是系统能在实际中应用的首要条件。利用Ｍａｔｌａｂ控制系统工具箱对系统稳定性进行分析，分析　过程简单，结果准确可靠　结合实例，验证了其真实性、有效性，并提出了提高系统稳定性的方法。　关键词：Ｍａｔｌａｂ；控制系统；稳定性　中图分类号：ＴＰ２７３　文献标识码：Ａ　０　引言　一Ｍａｔｌａｂ语言的出现，－ｕ般在　Ｌ程实际当中已经不再采　个控制系统要能正常工作．必须首先是一个稳　用这些方法了。Ｍａｔｌａｂ提供了函数，可以直接求出控　制系统的所有极点，因而用户也就没有必要再击编　定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡　状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地　在平衡状态下继续工作。当已知一个系统的传递函数　或状态空间表达式时，可以对其系统的稳定性进行分　程序，使用间接的方法来判断系统的稳定性了。　２　系统稳定性分析的Ｍａｔｌａｂ实现　在自动控制系统分析中，主要讨论系统的脉冲响　析；然而当系统的阶次较高时，在绘图和计算时需要　花费大量的时间和精力。Ｍａｔｌａｂ是一套高性能的数值　计算和可视化软件，并拥有几十个工具箱，借助　应、阶跃响应、一般输入响应、频率响应及由传递函　数表示的系统根轨迹。时间响应分析主要用于分析线　性系统过渡过程，而频率特性分析则将通过分析不同　的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特　Ｍａｔｌａｈ的控制系统工具箱，就可以直观、方便地分析　系统的稳定性。　１　系统稳定性的分析方法概述　性。系统的频率特性图主要有Ｂｏｄｅ（波德）图、Ｎｙｑｕｉｓｔ　（奈奎斯特）曲线、Ｎｉｃｈｏｌｓ（尼柯尔斯）图。一般认为，　若系统在初始状态的影响下，由外扰所引起的系　统的时间响应随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零　阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统　在阶跃函数下的动态性能满足要求，那么系统在其它　（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的。线性系统　的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输入无　关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部。在　实际工程系统中，为避开对特征方程的直接求解，就　形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的，所　以，本文首先选定在阶跃函数作用下，对照系统的　Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线，分析系统的稳定性。　２．１　用Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线判断系统的稳定性　只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，　并以此来判别系统的稳定性　由此形成了一系列稳定　已知一控制系统，Ｈ（　）＝１，其开环传递函数为：　Ｇ（ｓ）＝　（ｓ＋１）（　＋２）。　性判据，其中最重要的一个判据就是Ｒｏｕｔｈ判据。　Ｒｏｕｔｈ判据给出线性系统稳定的充要条件是：系统特　选用不同的增益ｋ值，运用Ｍａｔｌａｂ绘出系统的阶跃响　应曲线和Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线，分别见图１和图２。　征方程式不缺项，且所有系数均为正，劳斯阵列中第　一列所有元素均为正号。构造Ｒｏｕｔｈ表比用求根判断　创建Ｍ文档，命名为ｎｊ．ｍ，在Ｍ文档中输入如　下程序：　％构造传递函数模型　稳定性的方法简单许多，而且这些方法都已经过了数　学上的证明，是完全有理论根据的，是实用性非常好　的方法。但是，随着计算机功能的进一步完善和　收稿日期：２００５—０９　０８ｌ修回日期：２００５—１１—０２　作者简介ｚ燕碧娟（１９７５一），女，山西芮城人，硕士研究生。　Ｎｕｍ１＝［３］Ｉ　ｎｕｍ２＝［９］；　Ｄｅｎｌ＝ｒｌ，３，２，ｏｌ；　维普资讯 http://www.cqvip.com

・１１２・　机械ＪＴ＿程与自动化　２００６年第２期　求系统开环传递函数　Ｇｓｌ—ｔｆ（ｎｕｍｌ，ｄｅｎ１）；　Ｇｓ２一ｔｆ（ｈｕｍ２，ｄｅｎ１）；　求系统闭环传递函数　Ｈｓ一１ｌ　Ｇｓｙｓｌ—ｆｅｅｄｂａｃｋ（（　ｓ１．Ｈｓ）；　Ｇｓｙｓ２＝ｆｅｅｄｂａｃｋ（Ｇｓ２，Ｉｔｓ）；　ｔ＝Ｅｏ　ｔ　０．１｛２ｓ］’；　Ｆｉｇｕｒｅ（１）；　绘制闭环系统阶跃响应曲线　Ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，１）；ｓｔｅｐ（Ｇｓｙｓｌ，ｔ）；　Ｓｕｂｐｌｏｔ（２。２，３）；ｓｔｅｐ（Ｇｓｙｓ２。ｔ）；　绘制开环系统的Ｎｙｑｕｉｓｔ图　Ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，２）；ｎｙｑｕｉｓｔ（Ｇｓ１）；ｇｒｉｄ　ｏｎ　Ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，４）；ｎｙｑｕｉｓｔ（Ｇｓ２）；ｇｒｉｄ　ｏｎ　图１　阶跃响应曲线　图２　Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线　奈氏稳定判据的内容是：若开环传递函数在ｓ平　面右半平面上有Ｐ个极点，则当系统角频率　由一。。　变到＋。。时，如果开环频率特性的轨迹在复平面上逆　时针围绕（一１，ｊｏ）点转尸圈，则闭环系统是稳定的，　否则，是不稳定的。　当　一３时，从图２（ａ）中可以看出，Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线　不包围（一ｌ，ｊｏ）点，同时开环系统所有极点都位于　平面左半平面，因此，根据奈氏判据判定以此构成的　闭环系统足稳定的，这一点也可以从图１（ａ）中系统的　单位阶跃响应得到证实，从图１（ａ）中可以看出系统大　约２３ｓ后就渐渐趋于稳定。　当矗一９时，从图２（ｂ）中可以看出，Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线　按逆时针包围（　１，ｊｏ）点２圈，但此时Ｐ一０，所以根　据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的，图　１（Ｉ　）的系统阶跃响应曲线也证实丁这一点，系统一直　振荡不定。　２，２　用根轨迹法判断系统的稳定性　利用Ｍａｔｌａｂ控制工具箱中的ｒｌＯＣＨＳ函数，可绘　制出系统的根轨迹图，见图３。一般讨论的根轨迹都是　基于是从０到＋。。的变化过程中系统闭环极点的移动　轨迹。采用命令［ｋ，ｐｏｌｅｓ￣ｌ＝ｒｌｏｃｆｉｎｄ（ｓｙｓ）可在根轨　迹图中显示十字光标，光标与虚轴上的极点重合，即　显示为临界增益，求得　一６。此时系统处于临界稳定　状态，单位阶跃响应曲线表现为等幅振荡曲线。　＞＞Ｎｇ＝１：　＞＞ｄｇ—ｐｏｌｙ（Ｅｏ一１—２］）；　＞＞Ｃｌｐｏｌｅ　ｒＩｏｃＬ！Ｓ（ｎｇ，ｄｇ，Ｅｏ．３；０．１：７］）；　＞＞Ｒａｎｇｅ—Ｅｏ．３：０．１　ｌ　７３’；　＞＞Ｅｒａｎｇｅ，ｃｌｐｏｌｅ］　Ａｎｓ一　０．３０００—２．１　２５４—０．６６１］０．２ｌ３５　０．４０００—２．１　５９７　０．４２０１　０．０９３￣ｊ一０．４２０１＋０．ｏ９３ｚｊ　５．９０００—２．９９０９　０．００４６—１．４ｏ４５ｊ一０．００４６＋１．４Ｏ４５）　６．００００　３．００００…０．００００一１．４１４Ｚｊ一０．００００十１．４ｌ４２　６．１０００—３．００９０　０．００４５　１＋４ｚ３８ｊ　０．００４５＋１．４２３８ｊ　７．００００—３．０８６７　０．０４３４—１．５０５３ｊ　０．０４３４＋１．５ｏ５３ｊ　上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置。由　此可得出如下结论：　（１）Ｏ＜壶＜Ｏ．４时，闭环系统具有不同的实数极　点，表明系统处于过阻尼状态。　（２）正一０．４时，对应为分离点，系统处于临界阻　尼状态。　（３）０．４＜尼＜６时，系统主导极点为共轭复数极　点，系统为欠阻尼状态。　（４）正＝＝＝６时，系统有一对虚根，系统处于临界稳　定状态。　（５）正＞６时，系统的一对复根的实部为正，系统　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第２期　燕碧娟，等：控制系统稳定性分析足Ｍａｔｌａｂ实现　・１１３・　处于不稳定状态。　这种闭环系统称为条件稳定系统，这里的条件是　增益　的大小。而且开环系统中串联的积分环节越多，　定。　由图４开环系统的ｂｏｄｅ图可知，　＜　，故肖　＝＝　３时，此时的闭环系统必然稳定。实际上，系统的控制　即系统的型次越高，开环Ｎｙｑｕｉｓｔ轨迹越容易包同点　ｂｏｄｅ图还呵』｛ｊ于系统相对稳定性的分析。　（一ｌ，ｊＯ），系统越容易不稳定，故一般型次不超过Ⅲ　型。一般地讲，若给开环传递函数加入一个极点或零　点，既改变了它的稳定性，也改变了它的响应参数。加　入一个零点，通常会提高系统的稳定性；加入一个极　点，可能会引起系统不稳定。　图４　系统的波德图　３　结论　在研究系统的结构及参数的变化对系统性能的影　响时，许多情况下，在频率中分析比在时域中分析要　容易些。通过Ｍａｔｌａｂ的工具箱，可以很容易绘制出系　统的根轨迹、时域响应、频率响应，使得分析系统的　图３　系统的根轨迹图　稳定性变得非常方便快捷。　２．３　ｂｏｄｅ图法判断系统的稳定性　ｂｏｄｅ判据，实质上是Ｎｙｑｕｉｓｔ判据的引伸。本开　参考文献：　环系统是最小相位系统，即Ｐ一０，用　表示对数幅频　［１］　张志涌．精通Ｍａｔｌａｂ６．５版［Ｍ］．北京；北京航空航天大　特性曲线与横轴（０ｄＢ）交点的频率，　表示对数相频　学出版社。２００３．　特性曲线与横轴（一１８Ｏ。）交点的频率，则对数判据可　［２］杨叔子，杨克冲．机械工程控制基础［Ｍ］．第２版．武汉：　表述如下：　华中理上大学出版社，１　９９１．　在Ｐ一０时，若开环对数幅频特性比其对数相频　［３］徐昕，李涛，伯晓晨．Ｍａｔｌａｂ工具箱实用指南——控制工　特性先交于横轴，即　＜　，则闭环系统稳定；若开环　程篇ＬｉＭ］．北京：电子工业出版社，２０００．　［４］　吴天明，谢小竹，彭彬．Ｍａｔｌａｂ电力系统设计与分析［Ｍ］．　对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即　＞　北京：国防工业出版社，２００４．　，则闭环系统不稳定；若ｔ．Ｏｃ一（／ＪＲ＂，则闭环系统临界稳　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍａｔｌａｂ　ＹＡＮ　Ｂｉ—ｊｕａｎ，ＷＡＮＧ　Ｃｈｕｎ—ｈｕａ，ＸＩＯＮＧ　Ｘｉａｏ—ｙａｎ　（Ｍｅｅｈａｎｔｒｏｎｉｃｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ａ　ｔｏｐ　ｐｒｉｏｒｉｔｙ　ｔＯ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ａｃｔｕａｌｌｙ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｍａｋｉｎｇ　Ｈｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍａｔｌａｂ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｏｏｌｂｏｘ　ｔＯ　ａｎａｌｙｚｅ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ａｃｃｕｒａｔｅ．Ｔｈｉｓ　ｔｅｘｔ　ｖｅｒｉｆｙ　ｉｔｓ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｕｓｅｆｕｌｎｅｓｓ　ｂｙ　ａｎ　ａｃｔｕａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ．　ａｎｄ　ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｔＯ　ｒａｉｓｅ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｌａｂ；ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｙｓｔｅｍ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ