任意角的三角函数及同角三角函数的关系
知识点
知识点一 三角函数的概念
1．利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； yy
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)． xx
yxy2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
rrx知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 知识点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈Rπ
且x≠kπ＋，k∈Z}．
2知识点五 三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
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知识点六 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
sin απ
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
cos α22．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. sin α
(2)tan α＝的变形公式：
cos αsin α
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
tan α
题型一 三角函数定义的应用
【例1】已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝
【例2】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； 【过关练习】 1.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值．
10x，求sin θ，tan θ. 10
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3
2.角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
5A．3 B．－3 C．±3 D．5
题型二 三角函数符号的判断
【例1】判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．
【例2】若tan x<0，且sin x－cos x<0，则角x的终边在( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【过关练习】
1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．
题型三 诱导公式一的应用
【例1】求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin－11π6＋cos12π
5·tan 4π.
【过关练习】 1.求下列各式的值： (1)cos25π
3＋tan－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
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)
2．sin(－1 380°)的值为( )
1133A．－ B. C．－ D. 22223.求下列各式的值．
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.
题型四 利用三角函数线求角、解不等式
1
【例1】根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝；(2)tan α＝－1.
2
【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1) sin θ≥
π
0，时，求证：sin α<α ππ 1.如果<α<，那么下列不等式成立的是( ) 42 313 ；(2)－≤cos θ<. 222 4 / 11 A．cos α 3．在[0,2π]上，满足sin x≥1 2的x的取值范围为( ) A.0，π6 B.π5π6，6 C.π，2π63 D.5π6，π 题型五 求三角函数定义域 【例1】求下列函数的定义域． (1)f(x)＝sin x·tan x； (2)f(x)＝lg sin x＋9－x2. 【过关练习】 1. 求函数f(x)＝1－2cos x＋lnsin x－ 2 2 的定义域． 2．函数y＝tanx－π 3的定义域为( ) A. x|x≠πx∈R 3， B. x|x≠kπ＋π 6，k∈Z 5 / 11 5π C.x|x≠kπ＋6，k∈Z 5π D.x|x≠kπ－6，k∈Z 题型六 三角函数知一求二 8 【例1】已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 17 【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值． 4sin α－2cos α111(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 4325cos α＋3sin α 【过关练习】 4 1.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 3 12 2．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( ) 135555A. B．－ C. D．－ 13131212 3.已知tan α＝3，求下列各式的值． (1) 3cos α－sin α ；(2)2sin2α－3sin αcos α. 3cos α＋sin α 6 / 11 4．已知sin α＝ 5 ，则sin4α－cos4α的值为( ) 5 1313A．－ B．－ C. D. 5555 题型七 三角函数平方关系及其应用 1 【例1】已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求： 5(1)sin θ－cos θ；(2)sin3θ＋cos3θ. 【例2】已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值． 【过关练习】 1.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)． (1)求sin3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋ 5sin A＋84 2.若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值． 515cos A－7 1 3.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是( ) 53344A. B．－ C. D．－ 4433 1 的值． tan θ 题型八 三角函数的化简证明 【例1】已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α － 1－sin α 1－sin α . 1＋sin α 7 / 11 1＋sin αcos α 【例2】证明三角恒等式＝ cos α1－sin α 【例3】已知下列等式成立． (1)asin θ－bcos θ＝ 【过关练习】 1.若α是第三象限角，化简 2sin xcos x－1tan x－1 2.求证：＝. cos2x－sin2xtan x＋1 3.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 1＋cos α ＋1－cos α 1－cos α . 1＋cos α a2＋b2；(2) sin2θcos2θ1a2b2 ＋2＝22.求证：2＋2＝1. m2nmna＋b 课后练习 【补救练习】 1.若sin θcos θ>0，则θ在( ) A．第一、二象限 C．第一、四象限 B．第一、三象限 D．第二、四象限 12 2.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( ) 135555A. B．－ C. D．－ 13131212 3.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： 8 / 11 (1)sin 23π________sin 45π； (2)cos 243π________cos 5π； (3)tan243π________tan5 π. 4.函数y＝lg cos x的定义域为________________． 5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥ 22；(2)cos α≤1 2 . 6.已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 【巩固练习】 1.已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3，cos 2π 3，则角α的最小正值为( A.5π6 B.2π3 C.5π11π 6 D.6 2．如果3π 4<θ<π，那么下列各式中正确的是( ) A．cos θ 2 ，则角α的取值范围是( ) A．(－ππ 3，3) B．(0，π 3 ) C．(5π 3 ，2π) D．(0，π3)∪(5π 3 ，2π) 4.已知sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是( ) 9 / 11 ) 3333A. B．± C. D．－ 4101010 5.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为 ． 6.函数f(x)＝cos2x－sin2x的定义域为________________． 7.化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是 ． 1 8.已知sin α＝，求cos α，tan α. 5 9.判断下列各式的符号： 23π－； (1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan4sincos θ (3)(θ为第二象限角)． cossin θ tan θ·sin θ1＋cos θ 10.求证：＝. sin θtan θ－sin θ 【拔高练习】 1.若sin2x>cos2x，则x的取值范围是( ) 33 A．{x|2kπ－π B．{x|2kπ＋ C．{x|kπ－ D．{x|kπ＋ 2.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝ . 10 / 11 |sin x||cos x|2|sin xcos x| 3.函数y＝＋－的值域是 ． sin xcos xsin xcos x4.若α为第三象限角，则 cos α2sin α ＋的值为 ． 1－sin2α1－cos2α 5.在△ABC中，2sin A＝ 3cos A，则角A＝ . 4sin θ－2cos θ6 6.已知＝，求下列各式的值． 3sin θ＋5cos θ115cos2θ (1)2； sinθ＋2sin θcos θ－3cos2θ(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. 1 7.化简：2－cosα1＋tan2α sin α－cos α＋11＋sin α 8.证明：＝； cos αsin α＋cos α－1 1＋sin α (α为第二象限角)． 1－sin α 11 / 11 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容