圆单元复习练习题1

命题说明：天之骄学习研究部的老师从各地的一些试卷中整理出这份复习圆练习题。涵盖了圆的性质,圆与直线的位置关系,圆与圆的位置关系等内容。题目内容新颖,有作图题,归纳猜想证明题等近来中考新题型。建议同学们练习时间控制在2个小时。为了同学们更好的复习，答案附在后面。答案仅作参考，若有疑问，请与客服中心联系。

一、选择题

1．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ）

A 2π－3 B 4π－43 C 5π－4 D 2π－23

2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶

2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1

3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(（ ）

3,4)的位置在

A ⊙O内 B ⊙O上 C ⊙O外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

5．在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，如果把此直角三角形绕直线AC

AOB第4题图O'旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把此直角三角形绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，那么S1∶S2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12

6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A． 108° B． 144° C． 180° D． 216°

7．已知两圆的圆心距d= 3 cm，两圆的半径分别为方程x5x30的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含

8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对

9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结AD，那么 （ ）

A ∠BAD +∠CAD= 90° B ∠BAD∠CAD C ∠BAD =∠CAD D ∠BAD ∠CAD

A2ODCB

.

10．下面命题中，是真命题的有 （ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3∶且只有一个圆。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

11．下列语句中正确的个数是 （ ） ①平行四边形的四个顶点在同一圆上；②矩形的四个顶点在同一圆上；③菱形的四个顶点在同一圆上；④正方形四边中点在同一圆上；

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD = 120°，那么∠BCD是 （ ）

A 120° B 100° C 80° D 60°

2，则其面积之比为3∶

4；③圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中，等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有

AOBCD

AB2AC，13．在⊙O中，那么 （ ） A AB = AC B AB =2 AC C AB  2AC D AB  2AC

二、填空题

14．一个正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正 边形；

15．现用总长为80m的建筑材料，围成一个扇形花坛，当扇形半径为_______时，可使花坛的面积最大；

16．如图是一个徽章，圆圈中间是一个矩形，矩形中间是一个菱形， 菱形的边长 是 1 cm ，那么徽章的直径是 ；

17．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，如果C是

A 则sinC = ； AmC上任意一点，

m O · C B

18．一条弦分圆成2∶3两部分，过这条弦的一个端点引远的切线，则所成的两弦切角为 ；

19．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都为1. 顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个阴影部分的面积 之和是 ；

20．如图：这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的 外沿直径分别为2分米和8分米，轴心距为6分米，那 么两轮上的外公切线长为 分米。

★ 

20题图题图 第5021．如图，ABC是圆内接三角形，BC是圆的直径，∠B=35°，MN 是过A点的切线，那么∠C=________；∠CAM=________； ∠BAM=________；

22．如图，在A地往南40 m的B处有一幢民宅，东30 m的C处 有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑，因施工需要必须 在A处进行一次爆破，为使民宅、变电设施、古建筑都不遭到破 坏，则爆破影响面的半径r应控制的范围为_____________________；

A30C40DB三、解答题

23．求证：菱形的各边的中点在同一个圆上．已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H在同一个圆上．

24.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和⊙O在点C的切线相垂直，垂足为D，延长AD和BC的延长线交于点E，求证：AB=AE．

25.如图，⊙O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰 AC于 E，交 BC于D． 求证：BC=2DE

26．如图，过圆心O的割线PAB交⊙O于A、B，PC切⊙O于C，弦CD⊥AB于点H，

点H分AB所成的两条线段AH、HB的长分别为2和8． 求PA的长．

27．已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B. 求：公切线的长AB.

28．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，AB是⊙O1、⊙O2的内公切线，切点分别为A、B.求公切线的长AB.

29．如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点. 求证：AB⊥AC.

30．如图，△ABC，∠A的平分线交BC于D，圆O过点A且与BC相切于D，AB、

AC与分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：AF·FC＝GF·DC．

30．⊙O1和⊙O2是外切于点P的两个等圆.

(1)若两圆半径都是10mm，分别作⊙O1的弦PA1和⊙O2的弦PB1，且∠A1PB1=90°，测量点A1和B1的距离；再重复作弦PA2、PB2，要求同前.问这两次测量的距离A1B1与A2B2是否相等？它们与两圆的半径有没有联系？

(2)猜测：如果(1)中两等圆的半径为r，那么分别在两圆中互相垂直的弦PA与PB的端点A和端点B的距离等于多少？

(3)根据猜测，就一般情况写出“已知”与“求证”，并进行证明.

31.作图题。

如图，是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心．

32.归纳猜想。

如图,AB是⊙O的直径,把线段AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O的周长为la,试计算

11al 22(2) 把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3 ;

(1) 把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2(3) 把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4= ;

……

(4) 把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln= ;

A O B A O B A O B

结论:把大圆的直径分成n条线段,以每条线段为直径画小圆,那么每个小圆周长是 大圆周长的 ;

(5)请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积和大圆面积的关系.

期末复习圆练习题答案

一、选择题

1． D.提示：设两个半圆交点为D.连接CD,CD⊥AB. 阴影的面积为两个半圆的面积减去直角三角形的面积。BC=4222=23.则CD=3,AD=1,BD=3. 2．C．提示：设圆的半径为R,则三角形边长为3R, 正方形边长为长为R.

3． B.提示：用勾股定理可以求出点A到圆心的距离为5.

4． C. 提示：连接O’A,O’B. O’O.O’A⊥OA, O’B⊥OB.则OO’=2R,sin∠AOB=60°.

5．A.提示：绕直线AC旋转一周时,底面边长6,高为8.表面积S1=π(r2+rl)=96π. 绕直线AB旋转一周时,底面边长8,高为6.表面积S1=π(r2+rl)=144π.

6．D.提示：2πr=

A0BR=, 22R2R, 正六边形的边

2l.侧面展开图的圆心角等于216°. 360bb24acbb24ac2bb7．D.提示：设两圆的半径r1,r2. r1+r2=+===5.

2a2a2aabb24acbb24ac2b24acb24acr1-r2=-===13.d< r1-r2. 两圆内含.

2a2a2aa8．B.提示：从圆的圆心引两条相交直径，再过直径端点作切线，可以得到菱形。 9．C．提示：AB是直径，所以AD垂直BD.ABC是等腰三角形。AB=AC, ∠BAD =∠CAD. . 10．A.提示：④正确。①错在两条直径平分但不互相垂直。②面积之比为3∶2。③直径垂

直于过直径端点的切线。⑤这三点可能在同一直线上。

11． B．提示：圆内接四边形对角互补。矩形和正方形满足条件。

12．A．提示：∠BOD = 120°，∠BAD = 60°，圆内接四边形对角互补，∠BCD+∠BAD=180°，∠BCD=120°。

13．C．提示：为了便于比较，不妨设C点位于AB之间，则AC=BC，AC=BC,AC+BC=2AC>AB.

BOCA

二、填空题

14． 6．提示：根据多边形的内角和公式，180°(n-2)=720°,n=6. 15． 20.提示：设半径为r,则弧长为(80-2r),S=时，S取得最大值。

1r(802r)=r(40-r)=-r2+40r=-(r-20)2+400,r=202a2b216． 2.设矩形长为a,宽为b，则有ab=4r,解得a+b=r.菱形的边长()()=1。

22222

2

2

2

r=1.

17．

1。提示：连接OA,OB,则△OAB是正三角形．∠AOB=60°. AB=60°, ∠C=30°. 218． 72°。提示：如图。劣弧

BAB=144°，∠AOB=144°, ∠OBA=18°, ∠ABC=72°,

OCA

19．

32,五边形ABCDE的内角和为540°，五个阴影部分的扇形的圆心角为540°, 540°

3的扇形相当于个圆。图中五个阴影部分的面积之和是

232。

20． 33。提示：将两圆圆心与切点连接起来，并将两圆的圆心联结起来，两圆的半径差是3，可抽象出如下的图形。过O作OC⊥O’B,OO’=6, O’C=6232=33 BCAO'O

21． 55°, 35°,125°.提示：∠C与∠B互余，∠C=55°，∠CAM是弦切角，∠CAM=∠B. ∠BAM=90°+35°=125°.

22． r<25m.提示：r三、解答题

23． 证明：连结OE、OF、OG、OH． ∵AC、BD是菱形的对角线， ∴AC⊥BD于O．

∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形． 又OE、OF、OG、OH都是各直角三角形斜边上的中线，

∴OE=

1111AB,OF=BC,OG=CD, OH=AD 2222 ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴OE＝OF＝OG＝OH．

∴E、F、G、H都在以O为圆心，OE为半径的圆上．

应当指出的是：由于我们是在平面几何中研究的平面图形，所以在圆的定义中略去了“平面内”一词．更准确而严格的定义应是，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．证明四点共圆的另一种方法是证明这四个点所构成的四边形对角互补。

24. 提示：AB与AC位于同一个三角形中，所以只需证明∠B=∠E.圆中有直径的，通常

要将圆上的一点与直径的端点连接起来，构造直角三角形。我们发现∠ACD是弦切角，∠ACD =∠B。∠ACD与∠CAD互余。在△ACE中，∠CAD与∠E互余,所以 ∠B=∠E. 证明： 连结AC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ACD=∠B． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ACE=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，∠CAE+∠E=90°． 又∵CD⊥AE于D， ∴∠ADC=90°． ∴∠ACD+∠CAE=90°， ∴∠ACD=∠E， ∴∠B=∠E， ∴AB=AE．

25. 提示：由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由圆内接四边形性质可得∠B=∠DEC，所以∠C=∠DEC，所以DE=CD，连结AD，可得AD⊥BC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC=2CD，即BC=2DE． 证明：连结AD ∵AB是⊙O直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC

∴BC=2CD，∠B=∠C ∵⊙O内接四边形ABDE

∴∠B=∠DEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角) ∴∠C＝∠DEC ∴DE=DC ∴BC=2DE 26．

提示：圆中既有切线也有割线，考虑使用切割线定理。PC2=PAPB=PA(PA+PB)=PA2+10PA.又有相交弦，故也考虑用相交弦定理,AHBH=CH2 解：∵ PC为又∵AB⊥CD, ∴CH2=AHBH=16

PC2=CH2+PH2=16+(PA+2)2=PA2+4PA+20

O的切线，

∴PC2=PAPB=PA(PA+AB)=PA2+10PA

∴PA2+10PA=PA2+4PA+20 ∴PA= 27．

10 3

提示：因为切线垂直于过切点的半径，为求公切线的长AB，首先应连结O1A、O2B，得直角梯形O1ABO2.这样，问题就转化为在直角梯形中，已知上、下底和一腰，求另一腰的问题了.

解：连结O1A、O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB.过O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有 O1C⊥CO2,O1C=AB,O1A=CB. 在Rt△O1CO2中， O1O2=13， O2C=O2B-O1A=5， ∴O1C=1325212(cm). ∴AB=12cm.

由圆的对称性可知，图中有两条外公切线，并且这两条外公切线的长相等. 28．

提示：可以仿照27题作辅助线，我们不难发现，在△O1CO2中，边O2C等于两圆半径的和.

解：连结O1A、O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB.过点O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于点C，则AB=O1C，BC=O1A. 在Rt△O1CO2中,O1O2=10,

O2C=O2B+O1A=6, ∴O1C=102628(cm). ∴AB=8cm.

由圆的对称性可知，图中两条内公切线，并且这两条内公切线的长相等.另外，如果两圆有两条外（或内）分切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上. 29．

证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O. 因为OB、OA是⊙O1的切线， ∴OB=OA. 同理OC=OA. ∴OB=OA=OC，

∴△ABC是直角三角形， ∴AB⊥AC.

注意在解决有关两圆相切的问题时，常常要借助它们的公切线，所以过切点作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法.

30．提示：证明乘积式，通常转化为证明线段间的比例关系式。欲证明可转化为证明

AF·FC＝GF·DC，

AFGFAFDC＝，或者证明＝,再转化为证明△AFG∽△DCF．

GFFCDCFC证明：连结DF．

∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF＝∠ADC＝∠BAD＝∠EFD． ∴EF∥BC． ∴∠C＝∠AFE． ∴△AFG∽△DCF． ∴

AFGF＝， DCFC即AF·FC＝GF·DC． 30．

分析:题目本身要求的知识点并不多，难度也并不大，但它给我们指出了一种研究数学问题的方法：观察——实验——猜想——归纳——推理论证. 解：(1)∵A1B1=20mm,A2B2=20mm ∴A1B1=A2B2且等于半径的2倍.

(2)猜测：若⊙O1和⊙O2的半径都等于r，那么互相垂直的弦PA与PB的端点A、B的距离为2r.

(3)已知：半径为r的两等圆⊙O1和⊙O2外切于点P，PA为⊙O1的弦，PB为⊙O2的弦，且∠APB=90°. 求证：AB=2r.

证明：∵⊙O1和⊙O2相切于点P，连结O1O2 ∴O1O2必过P点 连O1A，O2B ∵O1A=O1P ∴∠1=∠2 同理∠3=∠4 ∵∠APB=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠4=90° ∴∠AO1P+∠BO2P

=[180°-（∠1+∠2）]+[180°-(∠3+∠4)] =360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180° ∴O1A∥O2B 又∵O1A=O2B=r

∴四边形O1ABO2为平行四边形 ∴AB=O1O2=2r.

31.作法：①在AB上任取一点C． ②连结AC、BC．

③分别作AC、BC的垂直平分线l1、l2，l1与l2相交于点O．则点O即为所求圆心．

32.归纳猜想。

11111(2)l(3)l(4)l,(5) S2S

n4nn3n推导过程如下:

AB=2r,那么⊙O的面积为Sr2

r11(1) 把AB分成两条相等的线段,每个小圆的面积S2()2r2S;

244r11(2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的面积S()2r2S;

3399r11(3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的面积S()2r2S;

441616……

r11(4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的面积S()22r22S

nnnn