第!\"卷第##期
文章编号：（!77#）#77#<:7;=##<77>?<7\"
$%&’()&*+,-+((.-+,/+0*1(2’.3+-2&
4315!\"，635##!77#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
单级倒立摆三种控制方法的对比研究
丛
摘
爽，张冬军，魏衡华
（中国科学技术大学自动化系，安徽合肥!\"77!?）
要：倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题，也因此成为自动控制实验中验证控制算
法优劣的极好的实验装置。通过分别分用极点配置法、优化控制策略的@AB及@AC方法对单级倒立摆系统进行了实际系统实时控制效果的实验对比，从理论和实验方法上讨论了这类典型非线性自不稳定系统的线性控制器的设计方法及其实际控制效果的特点，通过分析指出不同方法之间的优缺点，并通过实验得以证实，使人们从理论及实践的两个层次对不同的算法有更加深入和清晰的认识。
主题词：控制系统；控制器；非线性系统中图分类号：DE!?\"
文献标识码：F
!\"#$%&%’()*+’,-.\"/01&**!\"/’&\"23*’1\"-4\"5’1*+(/62*7/)*&’*-89*/-,2,#+.4’*#
GH6I$JK/+,，LMF6IN3+, :;4’&%<’：Q+R(.’(08S(+0K1K)&%&’()-&0-TT-2K1’’323+’.31U(2/K&(-’&-+&’/U-1-’%VQ’U(23)(&’J(W3+0(.TK1(XS(.-)(+’0(R-2(’3R(.-T%J3W/U3K’’J(23+’.31&’./’(,%-+/K’3)/’-223+’.31(XS(.-)(+’&VDJ(S/S(.23)S/.(&’J(/2’K/1.(/18’-)((XS(.-)(+’23+’.31.(&K1’&3T’J(&-+,1(-+R(.’(08S(+0K1K)&%&’()W-’J’J(S31(8S1/2()(+’)(’J30，3S’-)-Y/’-3+&’./’(,-(&3T@AB/+0@AC)(’J30&VDJ(1-+(/.23+’.311(.0(&-,+)(’J30&-+’J-&.(S.(&(+’/’-R(+3+1-+(/.-+&’/U-1-’%&%&’()/.(0-&2K&&(0’J.3K,J’J(3.-(&/+0S./2’-2/1(X ?引言@系统建模 传统的线性控制方法离不开被控系统的线性模型，为了 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。有关国内外教学及研究人员对倒立摆系统的研究文章已有不少报道，不过一般研究多是停留在仿真实验上。 本文针对倒立摆系统的控制问题，设计并且具体实现了几种线性控制方法，其中包括极点配置法、线性二次状态调节器（@AB）和线性二次输出调节器（@AC），同时根据实际的倒立摆系统进行了实时控制；对所获得的控制结果进行了对比研究，不仅从理论上分析了\"种方法各自的优缺点，而且从自不稳定的倒立摆实际控制系统中进一步证实了各方法的控制效果。 收稿日期：!7778#!8#9 修订日期：!77#87:879 进行线性控制器的设计，首先需要对被控系统进行建模。为此，对系统作如下假设：（#）摆杆为刚体；（!）忽略静摩擦力，小车与导轨的摩擦力正比于小车的速度，摆杆旋转时的摩擦力矩正比于其相对角速度；（\"）忽略电机电感，在小车上的控制量正比于输出控制电压,，比例系数为!。 则根据物理学牛顿定律，有下式成立 ’7?%@!,A37B%A*#C {’（E@*#C\"#）#%D7#&-+ F%7#23&\"@’#87#&-+\"#A’#?\"#A3#\"# [・ （#） 式（#）中第一个方程为小车的运动方程；第二个为摆杆的运动方程；第三个为摆杆的转动方程。各个参数的物理意义分别为：’7———小车质量；——摆杆质量；——小车与导’#—37—轨的摩擦力；——摆杆旋转时的摩擦力矩；——摆杆质3#—7#— 基金项目：中国科学院重点项目资助课题万方数据作者简介：丛爽（#9;#8），女，教授，博士，主要研究方向为先进控制策略的理论与应用等。 系统工程与电子技术・%4・#\"\"!年 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$心到转轴之间的距离；——小车位移；——摆杆与铅垂线!—!—之间的相对角度；——摆杆的转动惯量。\"— 对式（!）在!#\"，可得!#\"处线性化， *!$\"%$!$!&!’!\"()\" %#’*%$!&!\"\"()!!![・ \"\" !\"%[]![]]$+&\"!\" ! ! （#） [][][]・ ,令系统状态\"#［!!*，可得被控的状态空间方程为!!］ []（-）##\"（-）%$!（-）\" （-）#&\"（-）% （$） 其中 ##$\"%$! $!&! \"$!&!\" ’#.# [][(! \"\" \"$!+&! ][$\"%$!$!&! $!&!\" ][(! \"()! )\"\" ] (#.! $#[$\"%$!$!&! $!&!\" ](! [\"\"] &#[’#.# \"]将连续系统进行离散化处理，可得离散化后的被控系统 的状态方程为 \" （/%!）#)\"（/）%*!（/）% （/）#&\"（/）（%） 其中 )#0#+ 1 ，*# !,1 # （,1 (#）$’#， ,1———采样周期，实验\" & 中取,1#\"(\"\")*。 文中所实施的$种控制器的设计均采用被控系统在状态空间的离散模型直接进行。 !三种不同控制器的设计 三种控制器都需要用到系统状态的全反馈，而实际系统 中直接可测的状态只有小车位置和倒立摆的位置。一种方法是通过采用状态观测器来得到小车以及倒立摆的速度；实际上对于倒立摆系统而言，虽然不能直接测量小车以及倒立摆的速度，但是可以很容易地通过对直接可测的小车位置和倒立摆位置的线性差分得到。通过实验我们发现，由于系统的非线性以及噪声的影响，系统的状态观测器重构状态的效果不如通过线性差分得到系统状态的效果好。因此在三种控制器的设计中均是采用线性差分得到速度变量。本节中将对三种不同的线性控制器进行具体的设计。!\"#闭环状态反馈极点配置调节器 首先构造被控系统的能控性矩阵,)# * )* … ) 2(! *］ ，通过计算可得+,-.（,)）#%，即系统可控。根据线性系统理论，可以设计状态反馈控制器将闭环系统的极点配置在-域任意位置。设极点配置的控制律形式为 ! （/）#(.3\"（/）（)） 在控制律的作用下，闭环系统方程变为\"（/%!）#（) (*.3）\"（/），其极点为{$\"!$\"# …$\"2}， 控制律中的.3由/0.&+1,--公式给出 \"万方数据\"（/）#（/($\"!）（/($\"#）…（/($\"2） #/2%\"\"2(!/2(!%…%\"\"!/!%\"\" \"（2） %（#）##2%\"\"2(!# 2(!%…%\"\"!#!%\"\"\"’.3#（\"\" … \"!）,)%（#）通过仿真及实际的控制经验，我们将实际闭环极点的配置如下 /# ［\"433\"\"(\"4\"\"335\"433\"\"%\"4\"\"335\"43))\"(\"4\"%$\"!5 \"43))\"%\"4%$\"!5］ 此时求得控制增益矩阵为 .3#［(#44\")$(54#$$)($424\"$(\"45)#%］（5）!\"$ 最优控制策略中的%&’调节器 同样设状态反馈调节律的形式为!（/）#(.6\"（/），通过使性能指标函数 6 \"!# #(\" （/）, 0!\"（/）% !（/）,1!! （/）)（4） /#! 为最小，可求得 .6#（*,-*%1!） (（!*,-)）（3） 其中-由下列780,998方程获得 ),-)(),-*（*,-*%1!）(!*,-)%0!#-（!\"） 0!， 7!分别用来对状态向量\"（/），控制向量!（/）引起的性能度量的相对重要性进行加权。 在实际系统的控制过程中，我们取0!#!().’%.%；7!#\"(3。 根据式（3）和式（!\"），设计出状态反馈增益矩阵为.6#［(!4!#)#(!\"445#%5(%4%$\"!#(!45%$4!］（!!） !\"! 最优控制策略中的%&(调节器设输出反馈调节律的形式为 ! （/）#(.8\"（/）（!#） 此时可通过使性能指标函数 6 \"8# #(% （/）, 08%（/）% !（/）,78! （/）)（!$） /#! 为最小，和求得 .8#（*,-*%78） (（!*,-)）（!%） 其中-由下列780,998方程获得 ),-)(),-* （*,-*%78）(!*,-)%&,08&#-（!)）08，78分别用来对输出向量%（/），控制向量!（/）引起的性能度量的相对重要性进行加权。在实际系统的控制过程中，我们取08#%.’#.#；78#\"4)， 根据式（!%）和式（!)），设［・’&・ \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" 计出输出反馈增益矩阵为 !!\"［#!$\"#$% #&$\"#!# #’$\"(’’ （)*）#)$)%&&$］ 也是很有效的。控制系统对倒立摆初始角度的可控范围也是6!(7，其稳态时摆角误差比采用极点配置法时精度要高，89:调节器控制时能够达到的摆角稳态精度是6)1(7。不过它的瞬态性能相对较差，同时此方法的鲁棒性也较极点配置法差些，在控制过程中对摆杆施加扰动而使摆角产生变化，使摆角可控的最大摆角范围只有6)#7。!\"( %&)调节器实验结果及分析 利用%1%节中式（)*）所获得的控制增益矩阵值!!2［3!$\"#$%，，对实际的单级3&$\"#!#，3’$\"(’’，3)$)%&&$］第))期单级倒立摆三种控制方法的对比研究 !实验结果分析及对比 实际倒立摆控制系统是由+!微型计算机、单极倒立摆、小车、导轨、电位计、电机、放)!位,-.、.-,数据采集卡、大器等部件构成。小车固定在导轨上可进行水平方向的运动，倒立摆通过转轴固定在小车上，可在转轴上进行转动。电位计测量小车位移及摆角，并通过放大器将信号传送给由控制器计算并输,-.数据采集卡。微机获得量测数据后， 出控制量，通过放大器驱动电机，电机通过皮带驱动小车使倒立摆保持竖直。整个实时控制是通过/0%1)编写的控制程序完成的。!\"# 极点配置调节器实验结果及分析 利用%1)节中式（\"）所获得的控制增益矩阵值!%23!$$#(% 3\"$!%%( 3%$*$#% 3#$\"(!’］ ，对实际的单级倒立摆系统进行状态反馈控制，从倒立摆系统获得的控制小车位置轨迹和倒立摆摆角轨迹的实际输出曲线以及控制曲线如图)所示。 （4）小车位置和倒立摆摆角的输出曲线 （5）控制量曲线图 图) 曲线图 从实际控制的情况来看，多变量极点配置控制器对于倒立摆这样的严重不稳定系统的控制是相当有效的，只要倒立摆的初始角度在6!(7以内，都能对其进行很好的倒立控制，而且它的稳态性能也比较好。仿真时摆角稳态误差可以达到)#3(数量级，实际控制时由于摩擦和噪声等因素的影响，稳态时摆角误差也能达到小于6%7。对极点配置法的抗干扰的鲁棒性进行测试，即在控制过程中对摆杆施加扰动使摆角产生变化，当所施加的扰动使摆角产生的偏差在6)$7以内时，系统均能够调节恢复到平衡的零角度位置。!\"$ %&’调节器实验结果及分析 利用%1!节中式（))）所获得的控制增益矩阵值!&\"［#)$)!(! #)#$$\"!’ #’$’%#)! #)$\"’%$)］ ，对实际的单级倒立摆系统进行状态反馈控制，此时从倒立摆系统获得的控制小车位置轨迹和倒立摆摆角轨迹的实际输出曲线以及控制曲线如图!所示。 从实际控制的情况来看，与 极点配置控制器一样，89:调节图!小车位置和倒立摆 器对自不稳定倒立摆系统的控制 万方数据摆角的输出曲线 倒立摆系统进行状态反馈控制，此时从倒立摆系统获得的控制小车位置轨迹和倒立摆摆角轨迹的实际输出曲线以及控制曲线如图%所示。 从实际控制的情况来看，在所设计的%种控制器中，89;调节器对于单极倒立摆系统的控制是最好的。虽然此时对倒立摆系统的初始最大可控角度也只有6!(7，其稳态时摆角误差也是6%7，但是89;调节器的瞬态图% 小车位置和倒立摆变化性能最好，同时此方法的鲁 摆角的输出曲线 棒性也是最强的，它的抗扰动的摆角变化范围为6!’7。 从上面的讨论及实际的控制情况中可以得出如下结论。（)）在应用线性系统理论设计控制器时，模型精度要求较高。实验仪器的参数’#，’)，()较易精确测量， 因而<)，)#，))，\"的测量比较关键。它们都应经过多次实验测量。（!）本文实验仪器的*，!采用电位计测量， 因而在采样电路里不可避免地会混杂有噪声。同时由于皮带的震动、伸缩，同样会使控制系统中混杂有噪声。它决定了系统的控制精度，同时使系统稳态不可能达到平衡点不动，而是会在平衡点附近振动。 （%）由于导轨的长度有限以及由控制执行机构的物理特性决定控制量变化范围有限\"!［#(=+(=］ ，这进一步增加了控制的难度。 （’）从仿真与实际控制对比来看，二者的大致趋势是一致的，但在一定程度上存在较大差别。一组仿真结果较好的反馈控制增益，实际控制可能会失败；仿真中允许的初始角度可能很大，控制器鲁棒性较好，但实际控制器鲁棒性可能较差。这主要是由于建模时没有考虑系统静摩擦力以及系统噪声的影响。 （(）从三种控制器的实际控制效果来看，89;控制器具有较优的鲁棒性及瞬态特性，状态反馈极点配置控制器次之，89:控制器的鲁棒性及瞬态特性较差；但是89:控制器具有较优的稳态特性，89;次之，极点配置控制器较差。这是因为89;控制器重点考虑*，!在\"控制下的变化规律， （下转第&&页） ［・II・ \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" !!\"#（$\"#%$\"$&）!!%（$\"%%$\"$!）!&!&\"#（$##%$#$&）!!%（$#%%$#$!）!& 将’代入式（$）和式（&），并考虑到!\"\"(!\"$#!\"#(!\"%#从而有$\"\"#!\"\"，&\"#(&\"\"#&\"%(&\"$#)&，$\"##’，$\"%)!，#( )!)! ，，$\"$#’，$#\"#&\"\"，$###$#’，$#$#’)&)&#% 将以上各纠正参数的近似值代入上式可得 !!\"#(’*’#&$!&\"#(’*’#&$ 其中+和\"的意义同前。 由上式可以得出如下结论： !采样点&方向上的量测误差主要影响相应大地纵坐标!\"的精度，而!方向上的量测误差主要影响相应大地横坐标&\"的精度。 \"采样点量测误差对其大地坐标的影响在整个图幅内是均匀的。 的地形图进行采*&+\"’$）#若按#&’!()的分辨率对\"（ +!&\"+!!\" 度。 综合考虑定向点和采样点量测误差的影响，可以看出提高点量测精度和扫描分辨率是提高地图定位精度的主要途径。 样，各采样点大地坐标的中误差,!#-&,，,&#-&,。 \"\" 由此可知，采样点的量测误差对大地坐标的精度有较大影响，提高采样点的量测精度可以提高相应大地坐标的精 第\"\"期航片数字地图的制作与定位技术研究 !结论 本文提出的航片数字地图制作原理与定位方法是基于数学模型方法，在已知的参考点位置情况下，通过一定的坐标转换与解算，确定出任一采样点的大地坐标，实现地图上目标点的定位。通过提高参考点与采样点的量测精度和扫描分辨率，可以有效地提高航片数字地图的定位精度。 本文所论述的航片数字地图的制作方法与定位技术，经过在工程实践中的应用，证明是可行的，具有一定的理论意义和使用价值。 参考文献： ［\"］-./012/345678.996:;)./.<=.:>,6/;?,206@A@)/0?/;69B)/689.@@:.996B2;)./［C］38DE?FE92(G):2BH.!6B@2/!?,206F9.:6@@)/0，\"II%，&&3 ［#］J>!6/)/.H，E20B).J，K200)./F3J>;.,2;6!L2906;L92:5)/02/!M.:2;)./L6:G/)N)6@J((B)6!;.O(;):2BF2PB.2!@./Q6,.;6BPF)B.;6!D6G):B6)/JEJQ= ［8］3J)9D6G):B6H)@@)./8./;9.B2/!H2/206,6/;，\"II#3 ［%］孙仲康，沈振康R数字图像处理及应用［H］国防工业出版社，R北京：\"IS&R ［$］谢利理，李玉忍R用数字地图提高无人机目标定位精度的新方法［C］（\"）R西北工业大学学报，\"IIS，\"TR［&］张亚平R地形图定位技术研究［C］（\"）R无线电工程，\"IIU，#UR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （上接第$I页） .，而MVQ则综合考虑!，从而MVQ!!，!在!控制下的规律， 控制器的稳态效果较好但是牺牲了系统的鲁棒性。实际上，当把状态反馈极点配置调节器的期望闭环极点确定为MV1设计所得到的闭环极点时，用极点配置法所得到的控制效果就能够达到与MV1的控制效果相同，当然，这只是一种特例。在实际设计极点配置控制器时，主要地是依靠控制工程师的经验来选择期望极点。 ・ !结论 根据离散线性系统理论及离散最优控制理论设计了三种倒立摆系统控制器，从理论和实验上证明了%种方法的可行性。同时对%种方法进行了深入比较，指出MV1控制器相对于其它两种方法较优。近年来，智能控制理论的方法取得了一定的成功。本论文的后继工作将进一步研究设计智能控制器以改善倒立摆控制系统的瞬态特性和鲁棒性。 参考文献： ［\"］［日］绪方胜彦R离散时间控制系统［H］西安交通大学出版社，R西安：\"II’R ［#］张冬军R多维模糊控制器设计及其在倒立摆控制中的应用：［学士论文］［=］中国科学技术大学，R合肥：#’’’R［%］郑志刚R二级倒立摆和二级平行摆的实时控制：［学士论文］［=］中国科学技术大学，R合肥：\"IITR ［$］WB;.G2,PXE，X>.813Q62BL),64;2Y)B)Z2;)./.<2L9)(B6M)/5?/[69;6!F6/!>B>,A@)/04)/0B68./;9.B?,(>;［C］3?WWF9.:3\\8./;9.BLG6.9PJ((B3， （&）：\"IIU，\"$$$IS]&’$R 万方数据 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容