一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2023的倒数是（ ）A．2023
B．﹣2023
C．12023D．
120232．（3分）下列二次根式与A．
B．
是同类二次根式的是（ ）
C．
D．
3．（3分）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．15cmD．5cm
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） 视力人数
4.7以下8
4.77
4.89
4.914
4.9以上12
C．4.9和4.8
D．4.9和4.9
A．4.8和4.8B．4.8和4.9
5．（3分）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，则下面所列方程中正确的是（ ）A．C．
B．D．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）A．所有的等腰三角形都相似
B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝
的图象相交于A，B两点，
其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
B．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，顺次连结各边中点得到菱形A1B1C1D1，再顺次连结菱形A1B1C1D1各边中点，得到矩形A2B2C2D2，再顺次连结矩形A2B2C2D2各边中点，得到菱形A3B3C3D3，…，如此下去，四边形A2022B2022C2022D2022的面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x2，0），下列结论：①abc＜0；
1，且经过点（﹣2②a﹣b＝0；
③点（x1，y1）和（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2≥④不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤﹣2或
；
1时，y1＞y2；2⑤一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1其中错误的个数有（ ）
1，x2＝1．2A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤EF的最小值＝DC．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元一次方程2（x+3）＝4的解是 ．12．（3分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是
．
13．（3分）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），则A与B的距离为
．
14．（3分）观察下列一组数：，﹣，，﹣，，…，它们是按一定规律排列 ．
的，那么这一组数的第n个数是
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，
F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为 ．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是
．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
1017．（7分）（1）计算：132sin6038；
33a24a4（2）先化简，再求值：(1，其中a22．)a1a118．（7分）如图，某校教学楼上悬挂一块长为2m的标语牌，即CD＝2m．某班学生开展综合实践活动，测量标语牌的底部点D距地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2m，在测点A处安置测倾器，测得标语牌底部点D的仰角为31°，在与点A相距4m的测点B处安置测倾器，测得标语牌顶部点C的仰角为45°，求标语牌底部点D距地面的高度DH的长（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
019．（7分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 ；
°；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 （3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
20．（7分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交AC于点E，交BC的延长线于点D，点F是DE的中点，连接CF．（1）判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OF＝2，CF＝
，求劣弧
和弦BC所围成的阴影面积．
22．（8分）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数象在第一象限内相交于点A（m，3），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求∠AOB的度数；
的图
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在y轴上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
23．（8分）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．
（1）求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案．
（3）在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
24．（9分）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是
；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝6，BC＝8时，求DE的长．
25．（11分）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出线段AB的长（用a表示）；
（2）若⊙D为△ABC的外接圆，且△BCD与△ACO的面积之比为5：8，求此抛物线的解析式，并求出点D的坐标；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年四川省达州市渠县中考数学模拟训练试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2023的倒数是（ ）A．2023
B．﹣2023
C．12023D．
12023【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒数是故选：D．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．2．（3分）下列二次根式与A．
B．
是同类二次根式的是（ ）
C．
D．
．
【分析】把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，进行判断即可．【解答】解：A、∵故此选项不符合题意；B、∵C、∵
，∴它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
，∴
与
的根指数相同，被开方数相同，∴它们是同类二次根
与
的根指数相同，被开方数不同，∴它们不是同类二次根式，
式，故此选项符合题意；D、∵
，∴
与
的根指数相同，被开方数不相同，∴它们不是同类二次根
式，故此选项不符合题意；故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的有关概念，解题关键是了解同类二次根式的定义，把二次根式化成最简二次根式．
3．（3分）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．15cmD．5cm
【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm，∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1，∵AC＝10cm，∴A1C1＝20cm，故选：B．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） 视力人数
4.7以下8
4.77
4.89
4.914
4.9以上12
C．4.9和4.8
D．4.9和4.9
A．4.8和4.8B．4.8和4.9
【分析】根据众数和中位数的定义求解．
【解答】解：在这50个数据中，4.9出现了14次，出现的次数最多，即这组数据的众数是4.9；
将这50个数据按从小到大的顺序排列，其中第25、26个数均为4.9，即这组数据的中位数是故选：D．
【点评】此题考查中位数、众数的求法：
①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如
＝4.9．
果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
5．（3分）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，则下面所列方程中正确的是（ ）A．C．
B．D．
【分析】根据他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，列分式方程即可．
【解答】解：根据题意，得，故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解题的关键．6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）A．所有的等腰三角形都相似
B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等
【分析】利用全等三角形的判定方法、相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、所有的等腰三角形都相似，未必满足有两个角对应相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两边分别相等的两个直角三角形全等，缺夹角相等，故原命题错误，不符合题意；C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，正确，是真命题，符合题意；
D、两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等，没有角边边这个判定
，
定理，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝
的图象相交于A，B两点，
其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
B．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】根据题意可得B的横坐标为2，再由图象可得当y1＜y2时，x的取值范围．【解答】解：∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝点，
∴A，B两点坐标关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴B点的横坐标为﹣2，∵y1＜y2
∴在第一和第三象限，正比例函数y1＝k1x的图象在反比例函数y2＝∴x＜﹣2或0＜x＜2，故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，顺次连结各边中点得到菱形A1B1C1D1，再顺次连结菱形A1B1C1D1各边中点，得到矩形A2B2C2D2，再顺次连结矩形
的图象的下方，的图象相交于A、B两
A2B2C2D2各边中点，得到菱形A3B3C3D3，…，如此下去，四边形A2022B2022C2022D2022的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题．【解答】解：根据中点四边形的性质可知，A1B1C1D1、A3B3C3D3…是菱形，A2B2C2D2、A4B4C4D4…是矩形，
∵四边形A1B1C1D1的面积＝S矩形ABCD，
四边形A2B2C2D2的面积＝×四边形A1B1C1D1的面积＝（）2•S矩形ABCD，四边形A3B3C3D3的面积＝（）3•S矩形ABCD，…，
∴四边形AnBn∁nDn的面积＝（）n•S矩形ABCD＝12×9•（）n，∴四边形A2022B2022C2022D2022的面积为：12×9×（）2022＝27×22×
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半，属于中考常考题型．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x2，0），下列结论：①abc＜0；②a﹣b＝0；
1，且经过点（﹣2③点（x1，y1）和（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2≥④不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤﹣2或
；
1时，y1＞y2；2⑤一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1其中错误的个数有（ ）
1，x2＝1．2A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣可判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断
②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断③，由抛物线经过（2，0）及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判断⑤．【解答】解：由图可知，抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣∴a＝b＞0，
∴a﹣b＝0，故②正确；∵抛物线和y轴交点在负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，∴①正确；
当x1＞x2≥﹣时，两点都在对称石侧．图象部分．y随x增大而增大，∴y1＞y2，∴③正确；
不等式ax2+bx+c≥0，抛物线在x轴上方时，x取值范围，而抛物线和x轴交点为（﹣2，0）和（1，0），
＝﹣，
∴解集是x≤﹣2或x≥1；∴④不正确．
∵ax2+bx+c＝0的两个根x1＝1，x2＝﹣2，∴a+b（）+c＝0的两个根x1＝1，x2＝﹣2，∴cx2+bx+a＝0的两个根x1＝1，x2∴⑤正确．故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤EF的最小值＝DC．其中正确的是（ ）
1，2A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤
【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形∴∠BAC＝∠DAC＝45°．∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
∴PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF＝OE，∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，∴PM+PN＝AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，∴PE2+PF2＝PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误；连接OM，ON，
∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，∴OM＝OP，ON＝OP，∴OM＝OP＝ON，
∴点O是△PMN的外接圆的圆心，∴OP＝MN，
∴MN最小时为垂直AD时，∴OP＝DC，故⑤正确．故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元一次方程2（x+3）＝4的解是 x＝﹣1 ．【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【解答】解：去括号，可得：2x+6＝4，移项，可得：2x＝4﹣6，合并同类项，可得：2x＝﹣2，系数化为1，可得：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．（3分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【解答】解：如图所示：连接OA，∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴＝S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积＝S扇形OBC是解题关键．
13．（3分）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），则A与B的距离为 2
．
【分析】根据度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，得到点B的坐标，再利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：∵A的位置表示成（60°，6），∴B可以表示为（150°，4），∴∠AOB＝90°，∴A与B的距离为故答案为：2
．
＝2
．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意得出横纵坐标的意义是解题关键．
14．（3分）观察下列一组数：，﹣，
，﹣
，
，…，它们是按一定规律排列 ．
的，那么这一组数的第n个数是 （﹣1）n+1•
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【解答】解：∵一组数：，﹣，
，﹣
，
，…，
∴这组数为：，﹣，，﹣，，…，
∴这一组数的第n个数是（﹣1）n+1•
，
故答案为：（﹣1）n+1•
．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，
F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为 3 ．【分析】设D（m，），根据已知条件表示出点E，点F坐标，易得CF＝，AB＝
2m，由△AEF的面积为1，得△ACF的面积为2，所以的值
【解答】解：设D（m，），
∵ABCD是矩形，且点E为AC的中点，∴E点纵坐标为
，
＝2，即可求出k
代入反比例函数解析式得x＝2m，∴E（2m，
），
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，得y＝
，
），＝
，
∴F（3m，∴CF＝﹣
∵△AEF的面积为1，∴△ACF的面积为2，∵AB＝3m﹣m＝2m，
∴
解得k＝3．故答案为：3．
＝2，
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合应用，根据中点坐标公式表示各点坐标是解
决本题的关键．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是
﹣
．
【分析】如图，连接AC，BD交于点O．证明直线EF经过点O，取OB的中点J，连接CJ，GJ．求出GJ，CJ，根据CG≥CJ﹣GJ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，
∵直线EF平分正方形ABCD的面积，∴直线EF经过点O，
取OB的中点J，连接CJ，GJ．∵AB＝AD＝4，∠DAB＝90°，∴BD＝
＝
，
＝4
，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2∵EF⊥PB，∴∠OGB＝90°，∴JG＝OB＝∴CG≥CJ﹣GJ＝∴CG的最小值为
，CJ＝
﹣﹣
＝
，．
＝，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查正方形的性质，中心对称，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
1017．（7分）（1）计算：132sin6038；
33a24a4（2）先化简，再求值：(1，其中a22．)a1a1【分析】（1）根据零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、立方根计算；（2）根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把a＝【解答】解：（1）原式＝＝＝2；
（2）原式＝（
﹣
）•
﹣1+1﹣
+2
﹣1+1﹣2×
+2
+2代入计算即可．
0＝•
＝当a＝
，
+2时，原式＝
＝
．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、实数的运算法则是解题的关键．
18．（7分）如图，某校教学楼上悬挂一块长为2m的标语牌，即CD＝2m．某班学生开展综合实践活动，测量标语牌的底部点D距地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2m，在测点A处安置测倾器，测得标语牌底部点D的仰角为31°，在与点A相距4m的测点B处安置测倾器，测得标语牌顶部点C的仰角为45°，求标语牌底部点D距地面的高度DH的长（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，如图所示：则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+2）m，∴EN＝4+（x+2）＝（x+6）（m），在Rt△DEN中，tan∠DEN＝∴DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈（x+6）×0.6，解得：x≈9，
∴DH＝DN+NH≈9+1.2＝10.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为10.2m．
，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（7分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 20 ；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 36 °；（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）用360°乘以“不达标”所占的百分比即可得出答案；（3）先求出C等级的女生和D等级的男生，然后补全统计图即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷15%＝20（人），故答案为：20；
（2）360°×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝36°，
答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；故答案为：36；
（3）C等级的人数有：20×25%＝5（人），C等级的女生人数有：5﹣2＝3（人），
D等级的男生人数有：20﹣（1+2+6+4+5+1）＝1（人），补全统计图如下：
（4）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（7分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据题意作出图即可；
【解答】解：如图：
猜想：DF＝3BF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，
∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质．关键在于利用平行四边形的对角线互相平分得到△ABO是等腰三角形．
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交AC于点E，交BC的延长线于点D，点F是DE的中点，连接CF．（1）判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OF＝2，CF＝
，求劣弧
和弦BC所围成的阴影面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据直角三角形的性质得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠
OAC，于是得到结论；
（2）根据切线的性质得到∠OCF＝90°，根据勾股定理得到OC＝45°，过点C作CH⊥AB于H，得到CH＝可得到结论．
【解答】解：（1）CF与⊙O相切，理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∵OC是⊙O的半径，∴CF与⊙O相切；（2）∵CF与⊙O相切，∴∠OCF＝90°，∵OF＝2，CF＝∴OC＝∴OC＝CF，∴∠COF＝45°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOC＝45°，过点C作CH⊥AB于H，
，＝
，
，求得∠COF＝
OC＝1，根据扇形和三角形的面积公式即
∴CH＝∴劣弧
OC＝1，
和弦BC所围成的阴影面积＝扇形BOC的面积﹣三角形COB的面积＝
＝﹣．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（8分）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数象在第一象限内相交于点A（m，3），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求∠AOB的度数；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在y轴上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
的图
【分析】（1）先求出点A的坐标为（，3），再根据三角函数的定义即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知∠OAB＝30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB＝CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由OA＝
，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三种情形，分别得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数∴m＝∴A（
＝，3），
，＝
＝
，
，
的图象经过点A（m，3），
∴AB＝3，BO＝∴tan∠AOB＝
∴∠AOB＝60°；
（2）∵AB⊥x轴于点B，点C在直线AB上，∴设点C的坐标为（
，y），
过点C作CG⊥OA于G，
由题意得CB＝CG，当点C在AB上时，则OC平分∠AOB，由（1）知∠AOB＝60°，∴∠BOC＝30°，∴BC＝∴C（
OB＝1，，1），
当点C在AB延长线上时，同理可得C'（综上所述：C（
，﹣3），，1）或（
，﹣3）；
（3）在Rt△ABO中，OB＝当AO＝AP＝2
，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，
时，则P（6，0），
，0）或（﹣2
，0），
当OA＝OP时，则P（2
当PA＝PO时，则P在OA的垂直平分线上，过点P作PH⊥OA于H，如图，则OH＝AH＝
，
∵∠POH＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ABO中，cos30°＝∴OP＝
＝2，
，
∴P（2，0），
综上所述：P（6，0）或（2，0）或（﹣2，）或（2，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
23．（8分）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．
（1）求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案．
（3）在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【分析】（1）设一件乙种农机具的价格是x万元，则一件甲种农机具的价格是3x万元，根据用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，根据投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，列出一元一次不等式组，解得4.5≤m≤8，有4种方案，再设需要的总资金为w万元，然后由一次函数的性质即可解决问题；
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，根据该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），列出二元一次方程，求出非负整数解即可．
【解答】解：（1）设一件乙种农机具的价格是x万元，则一件甲种农机具的价格是3x万元，由题意得：﹣解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴3x＝3×0.5＝1.5，
答：一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元；（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，由题意得：解得：4.5≤m≤8，∵m为整数．
∴m可取5，6，7，8．∴有4种方案，
设需要的总资金为w万元，则w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．∵1＞0，
，
＝8，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝5时，w最小＝1×5+5＝10，此时，10﹣m＝5，
答：有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少；（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，整理得：b＝15﹣a，∵a、b均为非负整数，∴
或
，
∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（9分）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 AE＝CF ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝6，BC＝8时，求DE的长．
【分析】（1）结论AE＝CF．证明△AOE≌△COF（SAS），可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明∠AED＝90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．
【解答】解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．故答案为：AE＝CF；
（2）结论成立．理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝6，∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴
＝
，
∴△AOE∽△COF，∴
＝
，
∵CF＝OA＝6，OB＝OC＝BC＝4，∴
＝，
∴AE＝9，∵AD＝2OA＝12，∴DE＝
＝
＝3
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（11分）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出线段AB的长（用a表示）；
（2）若⊙D为△ABC的外接圆，且△BCD与△ACO的面积之比为5：8，求此抛物线的解析式，并求出点D的坐标；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线的解析式求得点A，B的坐标，依据坐标求得OA，OB，则结论可求；
（2）利用等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到△OAC和△DBC为等腰直角三角形，利用已知条件及勾股定理解答即可求得a值，则抛物线的解析式可求；过点D作DE⊥OA于点E，利用点的坐标和勾股定理求得线段OE，DE，则结论可求；（3）利用分类讨论的方法分两种情形解答：①当点P在AC的下方时，过点P作PF⊥OA于点F，利用相似三角形的判定与性质求得线段AF，PF的关系，设AF＝m，m＞0，则PF＝2m，OF＝OA﹣AF＝2﹣m，则P（2﹣m，﹣2m），利用待定系数法解答即可得出结论；②当点P在AC的上方时，利用①的结论和对称性找出点P的位置，再利用待定系数法求得直线AG的解析式，最后与抛物线的解析式联立即可求得结论．【解答】解：（1）令y＝0，则（x+1）（x﹣a）＝0，∴x＝﹣1或x＝a，∵a＞1，
∴B（﹣1，0），A（a，0），∴OB＝1，OA＝a，∴AB＝a+1．
（2）令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣c），
∴OC＝c，∴OA＝OC＝c，
∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵⊙D为△ABC的外接圆，∴∠D＝2∠OAC＝90°，∵DB＝DC，∴∵
，
，△BCD与△ACO的面积之比为5：8，
∴，
∴DB＝∵BC＝∴∴a2＝4，∵a＞1，∴a＝2．
a＝a．＝
a，
，BC＝
DB，
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴DB＝
a＝
，AB＝a+1＝3．
过点D作DE⊥OA于点E，如图，
则BE＝AE＝AB＝，
∴OE＝EB﹣OB＝，DE＝∴D（，﹣）；
＝＝，
（3）抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA，点P的坐标（1，﹣2）或（﹣，﹣）．理由：
①当点P在AC的下方时，过点P作PF⊥OA于点F，如图，
∵∠CBD＝∠CAO＝45°，∠DBO＝∠CAP，∴∠CBO＝∠PAO．∵∠BOC＝∠AFP＝90°，∴△OBC∽△FAP，∴
，
设AF＝m，m＞0，则PF＝2m，OF＝OA﹣AF＝2﹣m，∴P（2﹣m，﹣2m），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，∴（2﹣m）2﹣（2﹣m）﹣2＝﹣2m．解得：m＝1或m＝0（不合题意，舍去）．∴m＝1，∴P（1，﹣2）；
②当点P在AC的上方时，如图，
∵y＝x2﹣x﹣2＝
﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2的对称轴为直线x＝，∴点D在抛物线的对称轴上．
设抛物线的对称轴x＝交AC于点F，交x轴于点H，则OH＝，∴AH＝OA﹣OH＝，∵∠CAO＝45°，∴OF＝AH＝
设点（1，﹣2）为点E，∵C（0，﹣2），
∴点C，E关于直线x＝对称，
设抛物线的对称轴x＝交CE于点M，连接EF，则HM＝2，∴FM＝HM﹣FH＝，∴CM＝EM＝FM＝＝CE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴∠FEC＝∠FCE＝45°．
延长EF交y轴于点G，连接AG并延长交抛物线于点P，∵∠ECG＝90°，
∴△GCE为等腰直角三角形，∵∠FCE＝∠ECG＝45°，∴CF⊥EG，FG＝FE，
∴AC为EG的垂直平分线，∴AE，AG关于直线AC对称，∴∠CAP＝∠CAE．
由（3）①知：∠EAC＝∠DBA，∴∠CAP＝∠DBA，∴此时的点P满足条件．∵CG＝CE＝1，∴OG＝1，∴G（0，﹣1）．
设直线AG的解析式为y＝kx+b，∴
，
∴．
∴直线AG的解析式为y＝x﹣1．
∴，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴P（﹣，﹣）．
综上，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA，点P的坐标（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法的应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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