通山县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），

若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（ ） A．1

B．±2

C．或3

D．1或2

11x,x[0,)222． 已知函数f(x)，若存在常数使得方程f(x)t有两个不等的实根x1,x2

3x2,x[1,1]2（x1x2），那么x1f(x2)的取值范围为（ ）

A．[,1) B．[,3431313) C．[,) D．[,3)

1628863． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）

A． B． C． D．

4． 在△ABC中，若A=2B，则a等于（ ） A．2bsinA

B．2bcosA

C．2bsinB

D．2bcosB



5． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

a

ax－1，x≤1

1A．－

43C．－

41B．－

25D．－

4

6． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

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A．（1，+∞） C．

B．（﹣∞，﹣1） D．

7． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

3123A．cab B．acb C．abc D．bac

8． 已知函数f(x)sinx2x，且af(ln),bf(log2),cf(20.3)，则（ ）

【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（ ） A．7049 B．7052 C．14098 D．14101

2x110．已知函数fx1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ）

x1A．1 B．1 C．2 D．2 11．设a,b,c分别是ABC中，A,B,C所对边的边长，则直线sinAxayc0与

bxsinBysinC0的位置关系是（ ）

A．平行 B． 重合 C． 垂直 D．相交但不垂直 12．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

二、填空题

y2x13．设x,y满足约束条件xy1，则zx3y的最大值是____________．

y10x＋y－5≤0

14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，若z＝2x＋by（b＞0）的最小值为3，则b＝________．

x－2y＋1≤0

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15．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

16．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

三、解答题

17．（本小题满分10分）

已知集合Ax2a1x3a1，集合Bx1x4． （1）若AB，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得AB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18．∠ABC=如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点． （Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

OA⊥底面ABCD，OA=2，，

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1

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：

（1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD．

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21．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为

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等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

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通山县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|． 当1≤x＜2时，2≤2x＜4，

则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|）， 此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x≤4时， f（x）=1﹣|x﹣3|；

此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x≤8时，2＜≤4，

则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c．

∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（，），（3，1），（6，c）共线，

∴=，

解得c=1或2． 故选D．

【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．

2． 【答案】C 【解析】

3131t1，由x，可得x，4244113111322由13x，可得x（负舍），即有x1,x2，即x2，则

433422331x1fx23x13x22,.故本题答案选C.

162试题分析：由图可知存在常数，使得方程fxt有两上不等的实根，则

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考点：数形结合．

【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

3． 【答案】A

【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：

故选A．

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．

4． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B，

∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB， ∴sinA=2sinBcosB， 根据正弦定理sinA=

，sinB=

=，

=2R得：

代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．

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故选D

5． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

46． 【答案】C

2

．

【解析】解：不等式（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，

2

即（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立

若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a故选C．

．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需

7． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 8． 【答案】D

9． 【答案】B

+

【解析】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，

∴

，可得an+1=an﹣1，

因此数列{an}是周期为2的周期数列．

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a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4， ∴S2015=1007（3+4）+3=7052．

【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．

10．【答案】A 【解析】

2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 试题分析：由已知得fx11．【答案】C 【解析】

试题分析：由直线sinAxayc0与bxsinBysinC0，

则sinAba(sinB)2RsinAsinB2RsinAsinB0，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 12．【答案】D

【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．

二、填空题

13．【答案】【解析】

试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A,7 3712处取得最大值为. 333第 10 页，共 18 页

考点：线性规划． 14．【答案】 【解析】

约束条件表示的区域如图， ＝3，∴b＝1. 答案：1 15．【答案】

．

当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，zmin＝2＋b，∴2＋b

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

，

化为：x+y=3．

22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

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16．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

三、解答题

2]17．【答案】（1）a(，1；（2）不存在实数，使AB． 0，【解析】

试题分析：（1）对集合A可以分为A或A两种情况来讨论；（2）先假设存在实数，使AB，则必2a11a0有，无解．

3a14a1第 12 页，共 18 页

点：集合基本运算. 18．【答案】

【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP ∵，∴

，

，∴

所以AB与MD所成角的大小为．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q， ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，

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考

∵

，

，

∴

，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系： A（0，0，0），B（1，0，0），，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1）

，

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，

•

=0 即

取，解得 ∵

•

=（

，

，﹣1）•（0，4，

）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ， ∵∴， ∴

，AB与MD所成角的大小为

．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量

=（0，4，

）上的投影的绝对值，由

，得d=

=

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，

所以点B到平面OCD的距离为．

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．

19．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x， 设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0）， 由h（x）＝ln x得

1

h′（x）＝，（x＞0），

x1x0＝m则有，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1. ∴m的值为1.

1

（2）φ（x）＝x2＋x＋a－ex，

2φ′（x）＝x＋1－ex， 令t（x）＝x＋1－ex， ∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0， x＝0时，t′（x）＝0.

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∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0， 即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0， 当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

20．【答案】 又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 所以直线EF∥平面PCD．

（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．

所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD． 又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．

【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．

21．【答案】

【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立， 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立， 则

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解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键．

22．【答案】

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD； 又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，

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又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AE＝2

AB2－BE2＝23，

又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点， ∴BM是最短边，即C1B＝C1M. 则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

C1C2

即4＋C1C2＝12＋（），

2

46

解得C1C＝，

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C 1146＝AC×BD×C1C＝×23×2×＝82. 223即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82.

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