第二讲数值数组及运算

数组和矩阵的创建数利用MATLAB函数创建矩阵函数说明zeros全0矩阵ones全1矩阵eye单位矩阵diag对角数组←→对角矩阵magic魔方矩阵(行、列和对角线元素之和相等）rand0-1上均匀分布随机矩阵randn正态分布随机矩阵random各种分布随机矩阵0-1均匀分布随机阵正态分布随机矩阵a=rand(3,2)a=randn(3,2)a =a =0.8147 0.9134-0.4326 0.28770.9058 0.6324-1.6656 -1.14650.1270 0.09750.1253 1.1909数组和矩阵的创建Ma=zeros(3,2)a=ones(3,2)a =a =0 01 10 01 10 01 1魔矩阵对角线元素b=diag(a)a =b =1611612

单矩二矩阵的操作矩阵数值的提取格式说明A(r,c)r行c列上的元素A(r,:)r行上的全部元素A(:,c)c列上的全部元素A(:)A的各列连接而成的一唯数组A(s)由数列s指定的数组A(L)由逻辑数组L指定选出的数组删除部分矩阵a=magic(4)a(:,3)=[]%删除第3列a =a =16 2 31316 2 135 11 1085 11 7 6129 7 124 14 1514 14 1小矩阵生成大矩阵a=magic(4)b=[a a+1;a+2 a+3]b =a =16 2 3 13 17 3 4 1416 2 3 135 11 10 8 6 12 11 95 11 10 7 6 12 10 8 7 139 7 6 124 14 15 1 5 15 16 24 14 15 118 4 5 1519 5 6 167 13 12 108 14 13 1111 9 8 1412 10 9 156 16 17 37 17 18 4提取部分矩阵a=magic(4)b=a(2,:)a =b =16 2 3 135 11 10 85 11 10 7 6 12c=a(2:4,1:3)4 14 15 1c =5 11 109 7 14 15符号说明操作符Enter回车，矩阵下一行，下一条命令：冒号，用于构造向量，代表一行或一列；用于区分行，用于区分列（）算术式中的运算次序[]用于构造向量或矩阵{}用于构成数组单元.小数点，域访问符..父目录…续航符%用于注释语句!用于调用操作系统命令=用于赋值3

函数名功能函数名功能sin正弦函数exp自然指数函数cos余弦函数pow2二次幂tan正切函数abs绝对值函数asin反正弦函数angel复数的幅角acos反余弦函数real复数的实部atan反正切函数imag复数的虚部sinh双曲正弦函数conj复数共轭运算cosh双曲余弦函数rem求余数或模运算tanh双曲正切函数mod模除求余asinh反双曲正弦函数fix向0方向取整acosh反双曲余弦函数floor不大于自变量的最大整数atanh反双曲正切函数ceil不小于自变量的最小整数sqrt平方根round四舍五入的整数log自然对数e为底sign符号函数log10常用对数ged最大公因子log2以2为底的对数lcm最小公倍数2.矩阵乘（∗）运算规则：A矩标量与矩阵相乘。aBm×n=[a×bij]m×na =a =1 2 31 2 34 5 5 67 8 97 8 92*aa*2ans =ans =2 4 62 4 68 10 18 10 114 16 1814 16 18三矩阵和数组运算1.矩阵加、减（＋,－）运算Am×n±Bm×n=[aij±bij]m×n规则：　相加、减的两矩阵必须有相同的行和列，两矩阵对应元素相加减。　允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作a±Bm×n=[a±bij]m×n通常a*b≠b*aa =1 2 3a*bans=4 5 614 32 507 8 932 77 12250 122 194b=a'b*ab =ans=1 4 766 78 902 5 878 93 1083 6 990 108 1263 矩阵的除法矩4

例: x1+2x2+3x3 =4 ⎡⎢123⎤⎡x1⎤⎡4⎤5x1+7x2+8x3=9⎢578⎥⎢x⎥=3x1+5x2+6x3=0⎢⎥⎥⎢⎥⎢2⎢9⎥⎥⎣356⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦方程Ax=BAx = Ba=[1 2 3;5 7 8;3 5 6]; b=[4;9;0];x=a\\bx = 17.5000 -25.500012.5000矩阵的逆与矩阵的秩A=[1 2 3; 5 7 8; 3 5 6];A=[1 2 3; 5 7 8; 3 6 9];inv(A)ans =rank(A) = 21.0000 1.5000 -2.5000inv(A)-3.0000 -1.5000 3.5000Warning: Matrix is close to 2.0000 0.5000 -1.5000singular or badly scaled.Results may be inaccurate. rank(A)RCOND = 4.4402e-018.ans =inv(A)*A3ans=1.5000 2.0000 2.00000 0 00 0 1.0000A=[1 2 3 ;4 -5 6;7 -8 9]c=cond(A)c =39.7036c1=cond(A,1)c1 =57.0000c2=cond(A,2)c2 =39.7036c3=cond(A,inf)c3 =72.0000矩阵的逆与矩阵的秩定一满矩阵的条件数与病态矩阵矩阵的条件数等于矩阵的范数与其逆矩阵范数的乘积cond(A)=‖A‖‖A-1‖coco4. 矩阵乘方——a^n,a^p,p^aa ^ p ——a 自乘p次幂方阵>1的整数对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。5

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];ans=30 36 422^a66 81 96ans = 1.0e+004 * 0.7962 0.9782 1.1603 102 126 1501.8029 2.21 2.62762.8097 3.4523 4.0950矩阵运算规则运算式说明A+B加A-B减A*B矩阵乘A.*B数组乘A^b乘方A.^b数组乘方A’矩阵共轭转置A.’非共轭转置A\\B矩阵左除A.\\B数组左除A/B矩阵右除A./B数组右除矩阵的特征值和特征向量=0行列式是A的特征方程det(A-λI）是关于(n次方程A)，它的根就是的n次多项式，A的特征值，det(A-λI）每一个特征值对应无穷多个特征向量。T=[V[V当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。a^0.5ans =0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 -0.0385i1.5873 -0.5940i 1.9503 -0.1611i 2.3134 + 0.2717i5. 矩阵的其它运算inv ——矩阵求逆det ——行列式的值eig ——矩阵的特征值diag——对角矩阵’——矩阵转置sqrt ——矩阵开方特征值计算A=magic(3)A =8 1 63 5 74 9 2T=eig(A)T =15.00004.90-4.906

特征值计算[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A,'nobalance')V =-0.5774 -0.8131 -0.3416V=-0.5774 0.4714 -0.4714-1.0000 -1.0000-0.4202-0.5774 0.3416 0.8131-1.0000 0.5798 -0.5798-1.0000 0.4202 1.0000D =D =15.0000 0 00 4.90 015.0000 0 00 0 -4.900 4.90 00 0 -4.90魔矩a =上下三角阵b=tril(a)b =16 0 0 0 5 11 0 0 9 7 6 0 4 14 15 16.矩阵的一些特殊操作函数说明diag提取对教元素，生成对角矩阵repmat铺放矩阵模块reshape重新改变矩阵的“行数，列数”flipud上下交换矩阵元素fliplr左右交换矩阵元素rot90逆时针旋转90度矩阵triu提取上三角阵tril提取下三角阵上下、左右交换矩阵元素b=flipud(a)b=fliplr(a)b =b =4 14 15 113 3 2 169 7 6 128 10 11 55 11 10 812 6 7 916 2 3 131 15 14 4矩阵的变维a=[1:12];a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(4,3);b =c(:)=a(:)1 4 7 10c =2 5 8 111 5 93 6 9 12 2 6 103 7 114 8 127

关系运算和逻辑运算运算符说明==等于=~不等于>大于<小于>=大于等于<=小于等于&与|或~非xor异或逻辑运算a =[ 0 0 1 0 0]b =[ 1 1 0 1 1]a&b(与）ans=0 0 0 0 0a|b（或）ans=1 1 1 1 1xor(a,b)（异或）ans=1 1 1 1 11.数组加减(.+,.-)a.±b 对应元素相加减（与矩阵加减相似）a,b均为数组a•±b=[ai±bi]a为数组b为标量a•±b=[ai±b]关系运算（关系表达0，1）x=1:5x =c=x>y1 2 3 4 5c =y=6-x0 0 0 1 1y =d=x<=y5 4 3 2 1d =a=x==y1 1 1 0 0a =0 0 1 0 0b=x~=yb =1 1 01 17. 数组运算数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的线性代数表示的矩阵运算含义不同8