ln(x+1)≤x的几个推论及其应用

张必平;雷松柏

【摘 要】@@ 利用导数容易证明我们熟知的不等式:rn定理当x>-1时,In(x+1)≤x(当且仅当x=0时等号成立).rn注意到曲线y=lhn(x+1)在原点处的切线方程为)y=x,图1给出了这个不等式的几何解释.

【期刊名称】《中学数学月刊》

【年(卷),期】2008(000)004

【总页数】2页(P34-35)

【关键词】应用;推论;等号成立;不等式;导数

【作 者】张必平;雷松柏

【作者单位】湖北省成宁市鄂南高中,437100;湖北省成宁市鄂南高中,437100

【正文语种】中 文

【中图分类】其他

· 3

4 ． 中学数学月刊 2008 年第 4 期数列 { 争 } 为“ 同不 等差 ”数列 ，则 争≤ 争 + (n—1)×l= 凡，所以 % ≤凡． 2l 例4 （ 2007 年全国卷 I 理 22 题 ） 已知数列 1%1 中 ai=2 ，Ctn+l=( 、 ／ 丁一1)（ %+2 ） ． (1) 求 {n ， l}的通项公式 ； (2) 若数列 IbnJ中 6l_2 ，6nF 盖 著 }， 证明 ：、 ／ 勺 『 _<6。≤a4n_3.分析(1) 利用构造法可求得 Ctn= 、 ／ 丁+、 ／ 丁（ 、 ／ 丁一1 ） ” ；(2)6 。> 、 ／ 丁容易由数学归纳法证得 ， 困难是证 6。≤‰争 因从 6。F 盖 著 }不太容易求 通项 6。， 所以试着分析结论 6 。$a 。， 由(1) ‰-3=、 ／ 虿 + 、 ／ 虿 （ 、 ／ 互 一 一1 ） 如 习 = 、 ／ 丁 + （ 2 一 、／ 丁 ） 【 (\\~--1)4]n-l，则将 6 。≤ (14n-3 变为 6。

一、 ／ 丁 ≤ (2- 、 ／ 丁 )【 (、 ／ 丁一1)4]n-’ ， 容易猜想{6。一、 ／ 丁 j为 “ 同不等比 ”数列 ，q= （ 、 ／ 丁一1 ）4 ．证 明(1) 利用构造法可求得 an=\\f+、 ／ 丁(\\/2-l)n，解略． (2)6。> 、 ／ 丁用数学归纳法证略． r)6 。+4-3VF 6扩订= 器一订= 2%一(3 —2VF) （ 6，亟， 因 6。 > 、 ／ 虿 一 ， 所 以 一 26 。+3 c3-2\\n-)cb 。一订） < 丝订） （ 6“丑 一 2 ～厂 2-+3 （、 ／ 芝 一 一 1 ） 4 （ 6 。- 、 ／ 互 一 ） ， 即 6 。+l- 、 ／ i 一 <( 、 ／ 乏 一- l)4(6 。- 、 ／ 丁 )． 所 以 {6 。一、 ／ 丁 1为“ 同不等比 ”数列 ，则 6。- 、 ／ 丁 ≤ （ 2- 、 ／ 丁 ） 【 (、 ／ 丁一1)4]n-l ， 所以 6。≤ 、 ／ 丁+ （ 2一、 ／ 丁 ） [ （ 、 ／ 虿一1 ） 4】 ”l=an-

3 ． 上述例题同属需放缩的数列与不等式的综合题，解决的关键在放缩， 放缩是一种不等 变形 ，没有 目标的指向，很难有效放缩． 如果 我们引入“ 同不等差 ”数列 、 “ 同不等比 ”数列的概念及其“通项公式”，再去放缩 ，放缩的指向性明显加强 ， 从

而降低 了此类问题的解决难度． In( x+l) ≤ 戈 的 几个 推 论 及其 应 用张必平雷松柏（湖北省 成宁市鄂 南高中 437100 ）利用导数容易证明我们熟知的不等式 ：定理 当 x>-l 时 ，In(x+l)≤x （ 当且仅当x=0 时等号成立 ） ． 注 意 到 曲 线y=ln（ x+l ）在原点 处 的切线方程为 y=石 ， 图 1 给出了这个 不等式的几何解释．┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃， ’ j┃l┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ J 二．1┃ ┃ ┃ ┃∥ 为”I ‘珂 j D i┃ ┃ ┃图 l┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛下面给出它的几个推论 ， 推论中等号成 立的条件是显然的 ，以下证明过程中略去． 推论 1当x>0 时， Inx ≤x-l （ 当且仅当x=l时等号成立 ） ． 证 明 当 x>0 时 ， x-l>-l ，所 以 Inx=ln[l+(x-l)] ≤石一1． 实际上 ，将定理中的 x 换成 x 一1 ，便是推论 1． 将定理与推论 1 用之于解题 ，在“脱去 ”对数符号的同时，对数值放大了，推论 2当戈>-1时 ，In( 菇+1) ≥x+l （ 当且仅当x=0 时等号成立 ） ．证明 当 x>-l 时 ，～立一=11-1>一l ， 石+1戈+ 】所 以 ln(z+1)= 一lnj 丁= 一ln(l-x+x)x十≥ 一（ 一i}r ） =j 手 r ．利用推论 2 解题 ，“脱去 ” 对数符号的同·34．中学数学月刊“同不 等差≤争+2l例42007年全国卷 I 理 22 题 ） 已知证、／丁（丁一1 ）； (2)6 。> 、 ／ 丁容易由数学归纳法证得 ， 困难是证 6。≤‰争 因从 6。F 盖 著 }不太容易求通项 6。， 所以试着分析结论 6 。$a 。， 由(1)‰-3=虿 +虿互一1 ）如习=丁 + （ 2 一丁 ）【(\\~--1)4]n-l丁 ≤ (2- 、 ／ 丁 )【 (、 ／ 丁一1)4]n-’容易猜想 {6。一、丁j为同不等比”数列 ，q= （ 、 ／ 丁一1 ）证 明 (1)利用构造法可求得 an=\\f+丁(\\/2 -l)n因6。>所以 2～厂 2-+3芝1）6。-即。+l-i<(乏 - l)4(6丁 )． 所 以 {6 。一、 ／ 丁 1为数列 ，则 6。- 、 ／ 丁 ≤ （ 2- 、 ／ 丁 ） 【 (、 ／ 丁一1)4]n-l ，所以 6。≤ 、 ／ 丁+ （ 2一、 ／ 丁 ） [ （ 、 ／ 虿一1 ）】”l=a n-3 ．上述例题同属需放缩的数列与不等式的综合题，解决的关键在放缩， 放缩是一种不等变形 ，没有 目标的指向，很难有效放缩． 如果我们引入同不等差数列 、定理当 x>-l时 ，当x=0时等号成立 ） ．注意到曲线 y=lnx+l）在原点处 的切线方程为 y=石图给出了这个

不等式的几何解释．┏━┳┓j┣╋┫ J二．1I‘珂┗┻┛下面给出它的几个推论 ， 推论中等号成立的条件是显然的 ，以下证明过程中略去．推论 1当x>0时，In x≤x-l当且仅当 x=l当x>0时x-l>-l x= ln[ l+(x-l)] ≤石一1．实际上 ，将定理中的 x 换成 x 一1 ，便是推论1．将定理与推论 1 用之于解题 ，在“脱去证明时 ，～立一=11 -1>一l ，石+1戈+一ln (l-x+x) x十≥ 一（一i}r ） =j 手 r对数符号的同2008 年第 4 期 中学数学月刊· 35-时 ，对数值缩小 了，这样 ，一 个对数式既可 以“放 ”也可 以 “缩” ， 根据实际题意，我们可 以灵活取舍，来探索解决问题的方法，推论 3当 xeR时 ，∥≥戈+l （ 当且仅当 x=0 时等号成立 ） ． 证明 由定理知 ， 当 x>-l 时 ，x+l ≤ ∥；而当 x ≤ -l 时，显然有 x+l0时，n ≤ 垒盟 ） ln(x+1)恒成立． 令 g(x)：鱼 丛） ln( 石+l!_(z>o) ，则 g ， (z) ： 卫 丞 羔+1 ） +I]x一（ 石+1 ） ln（ 石+1 ） 一 X2』-ln （ 戈+1 ） ． >0(定理 )，X2 所以g(x)在(0 ，+co)上单调递增，由于 g(x)在(O ，+ ∞ )上没有最小值 ，并且g(0) 没有意义 ，我们考察极限值Lm 承菇 ） ．r—W 1由于 limg（ 戈 ） =lim （ 戈 +1 ） In （ 1+ 戈 ） 菇 =j x—+O' lx In e=l ，所 以 Ⅱ≤ l ，故实数 o 的取值范 围是 （ 一 ∞ ， 1 ） ． 解法 2 根据推论 2 ，当戈 ≥O 时，(x+l) In(x+l) ≥石． 若 a ≤ 1 ， 由 戈 ≥0 知 ux ≤x ，所 以对所有 石≥ 0，都有(x+l)ln(x+l) ≥戤；若 a>l ，取 X.=Ll:l，则(x+l)ln(x+l)=alna< a(a-I)=ox( 推论 1)， 可见当 x=a-l 时 ，（ 戈+1 ） In(x+l) ≥ax 不成立 ，不合题意，综上 ，实数 Ⅱ 的取值范围是（ 一∞ ， 1].例 2 （ 2007 年 高考 山 东卷理 科 第 22设函数f(x)=x2+bln(x+l)，其中 6 ≠0 ． ( I) 当b> 争 时 ，判断函数火石 ） 在定义域上的单调性 ；( Ⅱ) 求函数 f(x)

的极值点； ( Ⅲ ) 证明对任意的正整数 n ， 不等式 In(L+l》12 -寺 都成立，凡 分析 (I) ， cn) 问不难 ，第(Ⅲ )问官方提供的参是通过构造辅助函数来展开的，事实上 ，注意观察 目标不等式及不等号的方向，利用推论 2 很容易证明．证 明( Ⅲ ) 根 据 推论 2,lnl+1 ＼ >上 一生一：j 一1+]n+l ’， l 由 凡3 ≥ Tt,2>TL2_l=(n+l) （ n-l ） ，得击 一>n-l= 寺专 ，所以 In( l+l 》 12 专 ．例 3(2007 年 高考辽 宁卷理科第 22 题第( Ⅲ )问 ） 已 知 函数八算） =eze-2t（ e'+x ） +X2+ 2t2+1，证明√ （ 筇） ≥ 手 f(x)=ez'-2t(e'+x)+X2+2t2+1=(eu- 2te';+t2) 十（ t2_2tx+x2)+1=(r—z)2+（ ￡ 一z)2+l ≥ 2 （ 鼍丝 ） +l=2 （阳） 2+

1 ．根据推论 3 ，矿略 ≥ l ，所 以以石） ≥ } （ ∥一菇） 2+1 ≥ 手 ．从以上数例可 以 看出 ，利用 In (x+l) ≤菇 及其几个推论求解一些不 等式 问题 十分方 便，在近几年各地高考和模拟试题中，还有很 多这方面的例子 ，本文限于篇幅 ，不便详谈 ， 建议各位同行在教学中给予重视，2008年第 4 期35“放”也可 以“缩根据实际题意，我们可 以灵 x=0由定理知 ， 当 x>-l 时 ，x+l ≤ ∥；而当 x ≤ -l 时，显然有 x+lo) ，则 g(z) ： 卫 丞 羔+1 ） +I]x一（ 石+1 ） ln（ 石+1 ） 一』-ln （戈+1>0(定理 )，所以g(x)在(0 ，+co)上单调递增，由于 g(x)在(O ，+ ∞ )上没有最小值 ，并且 g(0) 没有意义 ，我们考察极限值Lm 承菇 ） ． r—W=lim+11+菇 j是 （∞解法 2根据推论 2 ，当戈 ≥O 时，(x+l) In (x+l) ≥石．若a由知ux≤x，所 以对所有，都有(x+l)ln(x+l) ≥戤；a>l，取 X.=Ll:l，则(x+l)ln(x+l)=alna< a(a-I)=ox( 推论 1)， 可见当 x=a-l 时 ，（ 戈

+1 ）2年高考 山 东卷理 科 第 22上的单调性 ；Ⅱ) 求函数 f(x)的极值点；Ⅲ )证明对任意的正整数 n ， 不等式凡(I)cn)问不难 ，第(Ⅲ )问官方明Ⅲ)根 据 推论 2,lnl+1 ＼ >上一生一：j 一 1+]n+l由 凡3 ≥ Tt,2>TL2_l=(n+l) （ n-l ） ，得击一>n-l=寺专 l+l》123(2007年 高考辽 宁卷理科第 22 题第( Ⅲ )问 ） 已 知 函数八算） =eze-2t（ e'+x ） +X2+ 2te';+t2)十（t2_2tx+x2)+1=(r—z)2+（ ￡ 一z)2+l ≥鼍丝 ） +l=2阳）2+1 ．菇）2+1≥手从以上数例可 以 看出 ，利用 In (x+l) ≤菇及其几个推论求解一些不 等式 问题 十分方便，在近几年各地高考和模拟试题中，还有很多这方面的例子 ，本文限于篇幅 ，不便详谈 ，建议各位同行在教学中给予重视，

【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_monthly-journal-high-school-mathematics_thesis/0201258178257.html

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