探 主持人．李闯 Ｅｍａｉｌ：ｌｉｃｈｕａｎｇｄｅ５２０＠１２６ ｃｏｍ 索 高中数学解题中常见错误剖析 于真灵 数学中有许多题目，求解的思路很容易想到，但 不少学生求解时，往往由于思考片面，易忽略某些特殊 情况的讨论，从而导致错解、漏解。现举例剖析如下。 错误一、集合中：忽视空集。 例１ 已知Ａ＝｛ｘｌｘ∈Ｎ 且 若Ａ ＵＢ＝Ａ，则 。 ∈ｚ），Ｂ＝｛ｘｌａｘ＝１）， 例３若 ，Ｙ∈ｌｌ＋，且卅 ＝１，则 ・Ｙ的最大值为 常见错误：由 ‘ｙ≤（警） 去，答案为去。 错误剖析：利用均值不等式求最值时，没有领悟 到和为定值的准确含义。 常见错误：Ａ＝｛１，３，４｝，Ａ ＵＢ＝Ａｃ＝＞ＢＣ＿Ａ。当ｘ＝ｌ时， 正解： 。Ｙ＝｛ 。４ｙ≤｛（丛 ） ＝ ，答案为 。 错误四、数列中：忽视等比数列中每一项不为零。 例４设数列｛％），ａｌ＝１， ｌ＝ｃａｎ＋１一Ｃ，ｎ∈Ｎ ，其中 １；当 ＝３时，０＝÷；当 ＝４时， 丢。综上所述，。＝ ・，号，｛。 了 ＝姗符合ＢＣ＿Ａ，故ａ＝０，１， １，寺。 错误二、函数中：概念不清导致错误。 ｏ，ｃ为常数，且ｃ≠０，求数￣ｒＪ｛ａＪ的通项公式。 常见错误：因为ａｎ＋ 一ｌ＝ｃ（ａ￣－ｉ），所以数列｛ ｌ｝是 ｎ∈Ｎ 。 错误剖析：上述解法只考虑了Ｂ≠ 的情形，忽视 首项为口＿１，公比为Ｃ的等比数列，故ａ．＝（ａ－１）ｃ １， 错误剖析：解答过程中忽视等比数列中每一项 均不为零这个隐含条件，从而漏掉了对 １是否为０ 正解：因为％＋ 一ｌ＝ｃ（ １），所以当口≠１时，｛珥广１） 是首项为 １，公比为ｃ的等比数列，ｎｒ广１＝（％一１）ｃ 例２已知函数 乙３）＝ｌｇ ，求 ）的定义域。 的讨论。 常见错误：由 二 ＞０得 ＞２或 ＜一２，所以函 数ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘｌｘ＜一２或 ＞２ｌ。 （ １）ｃ １。当ａ＝ｌ时，ａｎ＝ｌ仍满足上式。所以数列 错误剖析：上述解法中，将ｆ（ｘ 一３）与 ）的定义 ｆ 的通项公式为ａ．＝（ａ－１）ｃ １（ｎ∈ ）。 域等同起来。事实上 ｘ２－３）与 ）是两个不同的函 错误五、三角函数中：忽视三角函数的性质。 数，有不同的对应法则和定义域。 例５已知函数 ）＝ｓｉｎ（妣一詈）（ ＞０）在（ｏ， ） ，２ ）单调递减，则 ＝正解：对于，（ｘ２－３）＝ｌｇ主－＿，令 乙３＝ｆ，则 ＝ ＋ 单调递增，在（ 。 ３， ￡）＝ｌｇ芒｝。因为ｉ ＞０，即ｘ２＞４，则抖３＞４， 即￡＞１，所以 ）＝ｌｇ ｝的定义域为｛ Ｉ ＞１）。 错误三、不等式中：忽视均值不等式条件。 ＝常见错误 等）＝ｓｉｎ 了４俐一詈）＝１ 号俐一詈 ２ １Ｔ＋ ｊ∞＝鲁 告， ｅ Ｚ。 ２０１５年４月Ｃ ／５５ 索 错误剖析：忽视 ）是周期函数这一性质，导致 方向相反，故其夹角（ ， ）：盯，而不应该 的范围扩大。 是０，因此ｃｏｓ＜ ， ＞：一１，故结论应该是 正解：，（誓）＝ｓｉｎ（÷ 卜詈）＝１ｊ詈耵ｃｔ卜詈＝２ｋ盯 、／ｌ００—２４、／了。 ＋号 ＝导 ≥， ∈ｚ。又 ＞０，在（０，譬）单调递增， 错误八、立体几何中：忽视空间角的范围。 例８已知平行六面体ＡＢＣＤ－Ａ Ｂ。Ｃ．Ｄ 的底面 在（ ，２＂ｒｒ）单调递减，所以 ≤ ，即周期 ＡＢＣＤ是边长为ａ的正方 ｊ ｊ ∞ 形，侧棱ＡＡ。的长为ｂ，且Ａ ≥孚，所以∞≤寻，即０＜ ≤号。４－ｋ＝０，得∞： Ｉ。 Ｃ ＡＡ。和ＡＢ、ＡＤ的夹角均为 错误六、导数中：求函数单调区间时忽视函数的 １２０。。 定义域。 求：直线ＢＤ 和Ａｃ的夹角的余弦值。 例６已知函数 ｘ）＝ｌｎ（１＋ ） ，求 ）的单调 常见错误：因为面 ， 区间。 丽 ，所以 常见错误；厂 ｌ 一１＝ ｌ十ｘ ，由厂 ）＞０得一１＜ ＝ＡＡ：２＋Ａ Ｄｉ ＋Ａ ＋２ＡＡ：・ＡＤ一２ＡＡ ・Ａ Ｄ・Ａ ＜０， ）的单调增区间为（一１，０）；再Ｅｈｆ （ ）＜０得 ＞０ ＝Ｖ＇—ａＺ＋ｂＺ＋ａＺ＋２ａｂｅｏｇｌ２—０￣－Ｏ－２ａｂｃｏｇｌ２０￣＝Ｖ 。 或 ＜一１， （ ）的单调减区间为（一∞，一１）Ｕ（０，＋∞）。 又Ｉ Ｉ：、／ ＡＢ：、／ 。，所以 ・ ：（ ＋ 错误剖析：求单调区间时忽视了函数 ）的定义 ． ）．（ ＋ ） ・ ・Ｘ－￣ 域（一１，＋∞）。单调性是函数的局部性质，单调区间应 ＝ａＥ－ａ￣＋ａｂｃｏｓ１２０。＋ａｂｃｏｓ１２０。＝一０６ ｏ 是定义域的一个子区间；多个单调区间应该用“和” 联结。 。ｓ耐 ＝ ＩＢＤ正解：函数，（ ）的定义域间为（一１，＋。。），且ｌ厂 （ ） １ ｌ焉・ｔ４ＣＩ、＝ ２／ ・ａ２＋ ｂ 、／２０ ｂ 一１ 音，Ｅｈ ｆ （ ）＞０得一１＜ ＜ｏ，厂（ ）的单调 错误剖析：两个向量夹角的范围为［０，耵】，因此两 增区间为（一１，０）。由厂 （ ）＜０得 ＞０，ｌ厂（ ）的单调减 区间为（０，＋∞）。 个向量之间所求余弦值的范围为卜１，１】。而两异面直 错误七、向量中：忽视向量的方向。 线夹角的范围为（０， ］，故两异面直线之问所求余弦 例７已知直线ＡＢ与平 面Ｏｌ所成的角为３０ｏ，直线Ａｃ 值的范围应是（０，１】，故本题正确答案为—＝ 一。 、／４０ｚ＋２６ 与平面ＯＬ所成的角为６０。， 错误九、排列组合中：出现“多计漏计”。 ＡＢ＝６ｃｍ，Ａ Ｃ＝８ｃｍ，且斜线段ＡＢ 例９ ５名护士和４名医生中，挑选出４人组成 和ＡＣ在平面ＯＬ内的射影ＡＢ 和ＡＣ 互相垂直，求ＢＣ。 一个医疗队，要求至少有２名护士和１名医生，则这 常见错误：因为ＡＢ＝６，Ａｃ＝８， ＢＡＢ１＝３０。， 样的选法共有 种。 Ｃ ＝６０。，所以ＡＢ ＝３、／３，ＢＢ ＝３，ＡＣ ＝４，ＣＣ。＝ 常见错误：先选出２名护士和１名医生，以保证 ４ 。因为亩：耐＋ ＋ ＋ ， 上平面 基本要求，有ｃ；・ｃ 种。再从剩下的６人中选出１人， 仅， 上平面ｄ， 上 ，所以 有ｃ 种，共有ｃ；・Ｃ ・Ｃ￣＝２４０（种）。 ｌ商 、／（ ＋ 耐＋ ）。 错误剖析：先选出的２名护士和１名医生中的 某个人和后来从剩下的６人中选出的１人，两者有 ＝ＶＢＢ１＂２＋ ４ 。＋Ａ Ｃ１＂２＋Ｃ１ 。＋２ 阳 ・ＣＣ１ 先来后到的顺序，但是最终的结果是一样的，因而 ＝、／１００＋２ Ｘ ３ Ｘ ４、／／了ｃ０ｓ（两，两） 出现重复计数。本题应分成两类：一类是从５名护 士中选２人，４名医生中选２人；一类是从５名护士 ＝Ｘ／１００＋２４、／了。 错误剖析：对于两个向量之间的夹角，在确定 中选３人，４名医生中选１名，因此共有Ｃ；・ｃ ２＋ｃ ・ 时，应注意考虑向量的方向，本题错误的原因在于 Ｃ￣＝１００（种）。 没有仔细观察 和 之间的夹角。由于 和 （作者单位：绥宁县第一中学） ２０１５年４月Ｃ ／５６ 探
