最新湖北省武汉市中考数学模拟试卷
一、选择题 1．在实数0，A．
，﹣，|﹣2|中，最小的是（ ）
D．|﹣2|
B．﹣ C．0
2．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2 3．下列计算中，正确的是（ ） A．3=
﹣2
B． =﹣3 C．m÷m=m D．（a﹣b）=a﹣b
623222
4．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元） 5 人数（单位：个）
2
10 4
20 5
50 3
100 1
关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ） A．5
B．10
C．20
D．50
5．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣a=a B．（﹣2a）=4a C．x•x=x D．x÷x=x
6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
3
2
2
2
3
﹣2
﹣6
6
2
3
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
7．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）
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&知识就是力量&
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．
根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%． 其中结论正确的序号是（ ） A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
9．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的
垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（ ）
A．（0，64） B．（0，128） C．（0，256） D．（0，512）
10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（ ）
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A．1+
+ B． + C．2+ D．1+2
二．填空题
11．分解因式：ax﹣ay= ．
12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为 ．
13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= ．
14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．
2
2
15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是 ．
16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是 ．
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三、解答题（8大题，共72分）
17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4）， （1）求k的值；
（2）求不等式2x＞kx+4的解集．
18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点， （1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；
（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是 ．
19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．
（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率； （2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率． 20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．
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21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB=AC时，（如图1）， ①∠EBF= °；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； （2）当AB=kAC时（如图2），求
的值（用含k的式子表示）．
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24．已知抛物线y=ax﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与 y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE⊥
2
BC．
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参考答案与试题解析
一、选择题 1．在实数0，A．
，﹣，|﹣2|中，最小的是（ ）
D．|﹣2|
B．﹣ C．0
【考点】实数大小比较．
【分析】求出|﹣2|=2，根据正数大于负数和0，负数都小于0，得出负数小，即可解答． 【解答】解：|﹣2|=2， ∴
∴最小的数是故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0．正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2．函数y=
中自变量x的取值范围是（ ） ，
，
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2 【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．下列计算中，正确的是（ ）
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A．3=
﹣2
B． =﹣3 C．m÷m=m D．（a﹣b）=a﹣b
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【考点】负整数指数幂；算术平方根；同底数幂的除法；完全平方公式．
【分析】分别根据负整数指数幂及同底数幂的除法法则、数的开方法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、原式=
=，故本选项正确；
B、原式=3，故本选项错误； C、原式=m
26﹣2
=m，故本选项错误；
4
D、原式=a+b﹣2ab，故本选项错误． 故选A．
【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．
4．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元） 5 人数（单位：个）
2
10 4
20 5
50 3
100 1
2
关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ） A．5
B．10
C．20
D．50
【考点】中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：本题数据个数为15，把数据按由小到大顺序排序，第8个数据为20， 所以中位数为20． 故选C．
【点评】本题考查了中位数，求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a﹣a=a B．（﹣2a）=4a C．x•x=x D．x÷x=x
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3
2
2
2
3
﹣2
﹣6
6
2
3
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【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂． 【分析】利用合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、a﹣a≠a，故本选项错误； B、（﹣2a）=4a，故本选项正确； C、x•x=x
6
2
4
3
﹣2
3﹣22
23
2
=x，故本选项错误；
D、x÷x=x，故本选项错误． 故选B．
【点评】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则．此题比较简单，注意掌握指数的变化．
6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．
【分析】图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4． 【解答】解：∵D、F分别是OA、OC的中点， ∴DF=AC，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2， ∴△DEF与△ABC的面积比是1：4． 故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．
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7．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案．
【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形； 圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆； 圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆； 球主视图、左视图、俯视图都是圆， 故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．
根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%． 其中结论正确的序号是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】条形统计图；扇形统计图． 【专题】图表型．
【分析】①用了解很少的学生数除以该组所占比例即可得到总人数； ②用学生总数乘以该组所占的比例得到基本了解的学生数； ③扇形所对圆心角的度数等于圆周角乘以该组所占比例； 【解答】解：①∵了解很少的学生有25人，占学生总数的50%， ∴参加问卷调查的学生有25÷50%=50人，故①正确； ②50×30%=15人，
∴参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有15人， 故②错误； ③360°×30%=108°，
∴“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°，故③正确； 故选C．
【点评】本题考查了两种统计图的认识，解题的关键是正确的利用这两种统计图的关系．
9．如图，已知直线l：y=
x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的
垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（ ）
A．（0，64） B．（0，128） C．（0，256） D．（0，512）
【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题；规律型．
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【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=4，求出OA4的长等于4，即可求出A4的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（0，1）， ∴OA=1， ∵点B在直线y=∴OB=2， ∴OA1=4， ∴OA2=16， 得出OA3=64， ∴OA4=256，
∴A4的坐标是（0，256）． 故选C．
【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（ ）
x上，
n4
A．1++ B． + C．2+ D．1+2
【考点】勾股定理；坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长，设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，分别求出CF、EF、OE即可．
【解答】解：如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．
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设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA， ∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB ∴CF=
AC=
，AF=BF=1，
∵∠BOC=∠AOC=22.5°， ∴∠EOA=∠EAO=22.5°， ∴∠FEA=∠FAE=45°， ∴AF=EF=1，AE=∴OC=OE+EF+CF=1+故选A．
， +
．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是确定直线OC是AB的垂直平分线，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题
11．分解因式：ax﹣ay= a（x+y）（x﹣y） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：ax﹣ay， =a（x﹣y）， =a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
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2
2
2
22
2
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【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为 3.2×10 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：32000=3.2×10． 故答案为：3.2×10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= 8 ． 【考点】概率公式．
【分析】根据黄球的概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个球，其中黄球n个， 根据古典型概率公式知：P（黄球）=解得n=8． 故答案为：8．
【点评】用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 2200 米．
=．
n
4
4
n
4
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【考点】一次函数的应用． 【专题】数形结合．
【分析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．
【解答】解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得
，
解得：
，
∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米． 故答案为：2200．
【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．
15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣6 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 【专题】动点型．
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【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y
AE，FC=
EO..
轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=
设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．
【解答】解：∵双曲线y=关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称． ∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB， ∴OC⊥AB．∠BAC=60°． ∴tan∠OAC=∴OC=
OA．
=
．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E， 过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF． ∴△AEO∽△OFC． ∴
=
=
．
∵OC=∴OF=
OA， AE，FC=
EO．
设点A坐标为（a，b）， ∵点A在第一象限， ∴AE=a，OE=b． ∴OF=
AE=
a，FC=
EO=
b．
∵点A在双曲线y=上， ∴ab=2． ∴FC•OF=
b•
a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
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∵点C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy =6． ∴xy=﹣6．
∵点C在双曲线y=上， ∴k=xy=﹣6． 故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．
16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3
，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是
．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四点共圆，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=到BD=CE=
．
AD=4
，求得CE=DE﹣CD=
，通过△ACE≌△ABD，于是得
【解答】解：过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，
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∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°， ∴A，B，D，C四点共圆，AC=BC， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=∴CE=DE﹣CD=
，
AD=4
，
∵∠DAE=∠CAB=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD， ∴BD=CE=故答案为：
． ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（8大题，共72分）
17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4）， （1）求k的值；
（2）求不等式2x＞kx+4的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】（1）将已知点的坐标代入直线的解析式即可求得k值； （2）将k的值代入不等式解之即可．
【解答】解：（1）∵直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），
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∴﹣2k=4， 解得：k=﹣2；
（2）∵k=﹣2，
∴不等式为2x＞﹣2x+4， 解得：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点， （1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；
（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是 矩形 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 【分析】（1）由ASA证得这两个三角形全等；
（2）利用（1）中全等三角形的性质判定AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，则根据”对角线相等的平行四边形为矩形“推知四边形ABCD是矩形．
【解答】（1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，点O是AC的中点， ∴OA=OC． 又∵AB∥CD， ∴∠OAB=∠OCD， 在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（ASA）；
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（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，则AB=CD． 又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案是：矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．
（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率； （2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式直接解答； （2）列出树状图，然后利用概率公式解答．
【解答】解：（1）四张卡片中，偶数为2，4；P（偶数）==； （2）列树状图为：
P（和为3）==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
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（1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣3，2） ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接根据关于y轴对称轴坐标点的特征进行填空即可； （2）根据题意画出图形；
（3）根据扇形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：（1）根据图可知：点B坐标为（3，2）， 由于B点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数， 可知B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）， 故答案为（﹣3，2）； （2）作图如图1：
（3）作图如图2，
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OA==，
旋转过程中OA所扫过的面积S==．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换和旋转变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，熟练地掌握扇形面积公式，此题难度不大．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，
（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
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∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， 又∵CM是⊙O的切线， ∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°， ∵CO=AO， ∴∠BAC=∠ACO， ∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°， ∴∠OAC=∠CAD， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCA=∠CAD， ∴OC∥AD， 又∵OC⊥CE， ∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形， ∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°， ∴△ABC∽△CDE， ∴
=
，
⊙O的半径为3，
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∴AB=6， ∴
=
2
，
∴BC=12， ∴BC=2∴AC=
，
=2
，
．
∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元， 根据题意得解得
．
，
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），
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即y=﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x， 解得x≥33， ∵y=﹣50x+15000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB=AC时，（如图1）， ①∠EBF= 22.5 °；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； （2）当AB=kAC时（如图2），求
的值（用含k的式子表示）．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．
②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．
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（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系． 【解答】解：（1）①∵AB=AC∠A=90° ∴∠ABC=∠C=45° ∵∠EDB=∠C ∴∠EDB=22.5° ∵BE⊥DE ∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5° ②在△BEF和△DEB中
∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5° ∴△BEF∽△DEB
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点， ∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形 设EF=x，BE=y， 则：BG=GD=FD=
y+y﹣x
y
∵△BEF∽△DEB ∴
=
﹣1）y y+y﹣（
﹣1）y=2y
即： =得：x=（∴FD=
∴FD=2BE．
（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N， ∵DG∥AC， ∴∠GDB=∠C， ∵∠EDB=∠C， ∴∠EDB=∠GDE，
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∵BE⊥DE， ∴∠BED=∠DEG， DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF， ∴△GBN∽△FDN， ∴
=
，即
=
，
又∵DG∥AC， ∴△BND∽△BAC， ∴∴
=
，即
=
=k，
=．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．
24．已知抛物线y=ax﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与 y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的表达式；
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2
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（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE⊥
BC．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点和对称轴，再根据△ABC的面积求出AB，从而得出点A、B的坐标，最后把点A的坐标代入y=ax﹣2ax﹣4计算即可；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，设PH=k，AH=2k，根据tan∠PAB=，得出P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0），再代入抛物线的解析式求出k，即可得出P的坐标；
（3）设AE交y轴于点D，先根据tan∠ACO=tan∠PAB，得出∠PAB=∠ACO，再根据∠ACO+∠OAC=90°，得出PA⊥AC，根据tan∠BCE=，得出∠ACE=∠OCB，根据B、C的坐标求出∠OCB=∠ACE=45°和BC的长，根据A、C的坐标得出AC和CE的长，从而证出ACO∽△EBC，得出∠EBC=∠AOC=90°，从而证出BE⊥BC． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax﹣4， ∴与y轴交点C（0，﹣4），对称轴为直线x=﹣∴OC=4，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12， ∴AB=6，
∴点A（﹣2，0），B（4，0）， ∵抛物线过点A， ∴0=4a+4a﹣4， ∴a=，
∴抛物线表达式为y=x﹣x﹣4；
2
2
2
=，再根据∠ACO=∠BCE，证出△
=1，
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（2）如图1，过P作PH⊥x轴于点H． 设PH=k，AH=2k， ∵tan∠PAB=，
∴P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）． ∵点P在抛物线上，
∴k=（2k﹣2）2
﹣（2k﹣2）﹣4， ∴k=，
∴点P的坐标是（5，）；
（3）如图2，设AE交y轴于点D， ∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∴tan∠ACO=， ∵tan∠PAB=， ∴∠PAB=∠ACO， ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠PAB+∠OAC=90°， ∴PA⊥AC， ∵tan∠BCE=， ∴∠ACO=∠BCE， ∴∠ACE=∠OCB，
∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴∠OCB=∠ACE=45°，BC=4
，
∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∴AO=2，OC=4， ∴AC=2， ∴CE=2
，
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在△AOC和△EBC中， =∴
=
=，
，
=
=
，
∵∠ACO=∠BCE， ∴△ACO∽△EBC， ∴∠EBC=∠AOC=90°， ∴BE⊥BC．
【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，要注意k的取值范围．
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